人教版八下数学1823正方形课时2 正方形的的判定教案+学案Word格式文档下载.docx

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小英剪完后,比较了由对角线相互分成的4条线段,发现它们是相等的.按照小英的意见,这说明剪出的四边形是正方形.你的意见怎样?

你认为应该如何检验,才能又快又准确呢?

二、合作探究

知识点一:

正方形的判定

【类型一】利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形

例1如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°

,CD为∠ACB的平分线,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F.求证:

四边形CEDF是正方形.

解析:

要证四边形CEDF是正方形,则要先证明四边形CEDF是矩形,再证明一组邻边相等即可.

证明:

∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,∴DE=DF,∠DFC=90°

,∠DEC=90°

.又∵∠ACB=90°

,∴四边形CEDF是矩形.∵DE=DF,∴矩形CEDF是正方形.

方法总结:

要注意判定一个四边形是正方形,必须先证明这个四边形为矩形或菱形.

【类型二】利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形

例2如图,在四边形ABFC中,∠ACB=90°

,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.

(1)试判断四边形BECF是什么四边形?

并说明理由;

(2)当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?

请回答并证明你的结论.

   

(1)根据中垂线的性质:

中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC.又∵CF=AE,∴可证BE=EC=BF=FC.根据“四边相等的四边形是菱形”,∴四边形BECF是菱形;

(2)菱形对角线平分一组对角,即当∠ABC=45°

时,∠EBF=90°

,有菱形为正方形.根据“直角三角形中两个角锐角互余”得∠A=45°

.

解:

(1)四边形BECF是菱形.理由如下:

∵EF垂直平分BC,∴BF=FC,BE=EC,∴∠3=∠1.∵∠ACB=90°

,∴∠3+∠4=90°

,∠1+∠2=90°

,∴∠2=∠4,∴EC=AE,∴BE=AE.∵CF=AE,∴BE=EC=CF=BF,∴四边形BECF是菱形;

(2)当∠A=45°

时,菱形BECF是正方形.证明如下:

∵∠A=45°

,∠ACB=90°

,∴∠3=45°

,∴∠EBF=2∠3=90°

,∴菱形BECF是正方形.

正方形的判定方法:

①先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等;

②先判定四边形是菱形,再判定这个菱形有一个角为直角;

③还可以先判定四边形是平行四边形,再用判定定理1或判定定理2进行判定.

探究点二:

正方形的判定的应用

【类型一】正方形的性质和判定的综合应用

例3如图,点E,F,P,Q分别是正方形ABCD的四条边上的点,并且AF=BP=CQ=DE.求证:

(1)EF=FP=PQ=QE;

(2)四边形EFPQ是正方形.

(1)证明△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP,即可证得EF=FP=PQ=QE;

(2)由EF=FP=PQ=QE,可判定四边形EFPQ是菱形,又由△APF≌△BQP,易得∠FPQ=90°

,即可证得四边形EFPQ是正方形.

(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°

,AB=BC=CD=AD.∵AF=BP=CQ=DE,∴DF=CE=BQ=AP.在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中,

∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS),∴EF=FP=PQ=QE;

(2)∵EF=FP=PQ=QE,∴四边形EFPQ是菱形.∵△APF≌△BQP,∴∠AFP=∠BPQ.∵∠AFP+∠APF=90°

,∴∠APF+∠BPQ=90°

,∴∠FPQ=90°

,∴四边形EFPQ是正方形.

此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.注意解题的关键是证得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP.

【类型二】与正方形的判定有关的综合应用题

例4如图,△ABC中,点O是AC上的一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平

分线于点E,交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F,连接AE、AF.

(1)求证:

∠ECF=90°

(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?

请说明理由;

(3)在

(2)的条件下,要使四边形AECF为正方形,△ABC应该满足条件:

______________________(直接添加条件,无需证明).

(1)由CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO,可推出∠BCE=∠OCE,∠GCF=∠OCF,则∠ECF=

×

180°

=90°

(2)由MN∥BC,可得∠BCE=∠OEC,∠GCF=∠OFC,可推出∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,得出EO=CO=FO,点O运动到AC的中点时,则EO=CO=FO=AO,这时四边形AECF是矩形;

(3)由已知和

(2)得到的结论,点O运动到AC的中点时,且△ABC满足∠ACB为直角时,则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直,因而四边形AECF是正方形.

(1)证明:

∵CE平分∠BCO,CF平分∠GCO,∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF,∴∠ECF=

(2)解:

当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:

∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF.又∵∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF,∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,∴EO=CO,FO=CO,∴OE=OF.又∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO,∴四边形AECF是平行四边形.∵∠ECF=90°

,∴四边形AECF是矩形.

(3)∠ACB=90°

在解决正方形的判定问题时,可从与其判定有关的其他知识点入手,例如等腰三角形,平行线和角平分线.从中发现与正方形有关联的条件求解.

三、教学小结

本节课你有哪些收获?

师生共同归纳小结.

本节课,我们学习了正方形的性质和判定,弄清了正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系:

四、学习检测

1.李珍在学习了正方形之后,给同桌杨静出了道题,从下列四个条件:

①AB=BC,②∠ABC=90°

③AC=BD,④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形(如图),现有下列四种选法,你认为其中错误的是  (  )

A.①②  B.②③  C.①③  D.②④

B(解析:

A项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当∠ABC=90°

时,菱形ABCD是正方形,故A选项错误;

B项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当∠ABC=90°

时,平行四边形ABCD是矩形,当AC=BD时,无法得出四边形ABCD是正方形,故B选项正确;

C项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当AC=BD时,菱形ABCD是正方形,故C选项错误;

D项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当∠ABC=90°

时,平行四边形ABCD是矩形,当AC⊥BD时,矩形ABCD是正方形,故D选项错误.故选B.)

2.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是()

 A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD

 B.AD∥BC,∠A=∠C

 C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD

 D.AO=CO,BO=DO,AB=BC

 解析:

根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定选项A是矩形;

根据“两直线平行,同旁内角互补”“等量代换”“同旁内角互补,两直线平行”可判定选项B是平行四边形;

根据“对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形”可判定选项C是正方形;

根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定选项D是菱形.故选C.

3.在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F.

 

(1)依题意补全图

(1);

 

(2)若∠PAB=20°

求∠ADF的度数;

 (3)如图

(2),若45°

<

∠PAB<

90°

用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.

 【解析】 对于

(1),按照要求作出图形即可;

对于

(2),由四边形ABCD为正方形可得AB=AD,结合轴对称的性质,连接AE,得到两个等腰三角形△ABE和△ADE,进而使问题获解;

对于(3),可以在

(2)的基础上,进一步寻找线索,其中EF与FD都与

点F有关,围绕这个关键点,结合轴对称的性质,连接BF,可得∠BFD是直角,最后根据勾股定理求解.

 解:

(1)如图

(1)所示.

 

(2)如图

(2),连接AE,

 ∵点E是点B关于直线PA的对称点,

 ∴∠PAB=∠PAE,AE=AB.

 ∵∠PAB=20°

 ∴∠PAE=20°

∠BAE=40°

 ∵四边形ABCD是正方形,

 ∴AB=AD,∠BAD=90°

 ∴AE=AD,∠EAD=∠BAE+∠BAD=130°

∴∠ADF=∠AED=(180°

-∠EAD)=25°

 (3)如图,连接AE,BF,BD,

 设BF与AD的交点为点G.

 由轴对称知FE=FB,AE=AB,又∵AF=AF,∴△AEF≌△ABF,∴∠ABF=∠AEF.

 ∴AE=AD,

 ∴∠AEF=∠ADF,

 ∴∠ABF=∠ADF,

 ∵∠AGB=∠DGF,

 ∴∠DFG=∠BAG=90°

 在Rt△ABD中,AB2+AD2=BD2,

 ∴2AB2=BD2.

 在Rt△BFD中,BF2+FD2=BD2,

 ∴EF2+FD2=BD2,

 ∴EF2+FD2=2AB2.

【板书设计】

课时2正方形的判定

1.正方形的判定方法

一组邻边相等的矩形是正方形;

有一个角是直角的菱形是正方形.

2.正方形性质和判定的应用

3.学习检测

【教学反思】

在本节数学课的教学中,采用探究式教学,让学生产生学习兴趣,通过实践活动调动学生的积极性,给学生动手操作的机会,变被动为主动学习,引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程,以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识,养成良好的学习习惯.

课时2正方形的判定学案

【学习目标】

【学习重点】

【学习难点】

【自主学习】

一、知识回顾

1.什么是正方形?

正方形有哪些性质?

2.矩形、菱形的判定方法有哪些?

二、自主探究

知识点1:

活动1准备一张矩形的纸片,按照下图折叠,然后展开,折叠部分得到一个正方形,

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