人教版八下数学1823正方形课时2 正方形的的判定教案+学案Word格式文档下载.docx

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小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的．按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形．你的意见怎样？

你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？

二、合作探究

知识点一：

正方形的判定

【类型一】利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形

例1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：

四边形CEDF是正方形．

解析：

要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．

证明：

∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°

，∠DEC＝90°

.又∵∠ACB＝90°

，∴四边形CEDF是矩形．∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．

方法总结：

要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．

【类型二】利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形

例2如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°

，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE.

（1）试判断四边形BECF是什么四边形？

并说明理由；

（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？

请回答并证明你的结论．

（1）根据中垂线的性质：

中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC.又∵CF＝AE，∴可证BE＝EC＝BF＝FC.根据“四边相等的四边形是菱形”，∴四边形BECF是菱形；

（2）菱形对角线平分一组对角，即当∠ABC＝45°

时，∠EBF＝90°

，有菱形为正方形．根据“直角三角形中两个角锐角互余”得∠A＝45°

.

解：

（1）四边形BECF是菱形．理由如下：

∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1.∵∠ACB＝90°

，∴∠3＋∠4＝90°

，∠1＋∠2＝90°

，∴∠2＝∠4，∴EC＝AE，∴BE＝AE.∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；

（2）当∠A＝45°

时，菱形BECF是正方形．证明如下：

∵∠A＝45°

，∠ACB＝90°

，∴∠3＝45°

，∴∠EBF＝2∠3＝90°

，∴菱形BECF是正方形．

正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用判定定理1或判定定理2进行判定．

探究点二：

正方形的判定的应用

【类型一】正方形的性质和判定的综合应用

例3如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE.求证：

（1）EF＝FP＝PQ＝QE；

（2）四边形EFPQ是正方形．

（1）证明△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，即可证得EF＝FP＝PQ＝QE；

（2）由EF＝FP＝PQ＝QE，可判定四边形EFPQ是菱形，又由△APF≌△BQP，易得∠FPQ＝90°

，即可证得四边形EFPQ是正方形．

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°

，AB＝BC＝CD＝AD.∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP.在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，

∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF＝FP＝PQ＝QE；

（2）∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四边形EFPQ是菱形．∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ.∵∠AFP＋∠APF＝90°

，∴∠APF＋∠BPQ＝90°

，∴∠FPQ＝90°

，∴四边形EFPQ是正方形．

此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意解题的关键是证得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP.

【类型二】与正方形的判定有关的综合应用题

例4如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平

分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.

（1）求证：

∠ECF＝90°

；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，要使四边形AECF为正方形，△ABC应该满足条件：

______________________（直接添加条件，无需证明）．

（1）由CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠BCE＝∠OCE，∠GCF＝∠OCF，则∠ECF＝

×

180°

＝90°

（2）由MN∥BC，可得∠BCE＝∠OEC，∠GCF＝∠OFC，可推出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，得出EO＝CO＝FO，点O运动到AC的中点时，则EO＝CO＝FO＝AO，这时四边形AECF是矩形；

（3）由已知和

（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，因而四边形AECF是正方形．

（1）证明：

∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠ECF＝

（2）解：

当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：

∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.又∵∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF.又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠ECF＝90°

，∴四边形AECF是矩形．

（3）∠ACB＝90°

在解决正方形的判定问题时，可从与其判定有关的其他知识点入手，例如等腰三角形，平行线和角平分线．从中发现与正方形有关联的条件求解．

三、教学小结

本节课你有哪些收获?

师生共同归纳小结.

本节课,我们学习了正方形的性质和判定,弄清了正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系:

四、学习检测

1.李珍在学习了正方形之后,给同桌杨静出了道题,从下列四个条件:

①AB=BC,②∠ABC=90°

③AC=BD,④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形（如图）,现有下列四种选法,你认为其中错误的是　　（　　）

A.①②　　B.②③　　C.①③　　D.②④

B（解析:

A项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当∠ABC=90°

时,菱形ABCD是正方形,故A选项错误;

B项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当∠ABC=90°

时,平行四边形ABCD是矩形,当AC=BD时,无法得出四边形ABCD是正方形,故B选项正确;

C项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当AC=BD时,菱形ABCD是正方形,故C选项错误;

D项,∵四边形ABCD是平行四边形,∴当∠ABC=90°

时,平行四边形ABCD是矩形,当AC⊥BD时,矩形ABCD是正方形,故D选项错误.故选B.）

2.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是（）

　A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD

　B.AD∥BC,∠A=∠C

　C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD

　D.AO=CO,BO=DO,AB=BC

　解析:

根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定选项A是矩形;

根据“两直线平行,同旁内角互补”“等量代换”“同旁内角互补,两直线平行”可判定选项B是平行四边形;

根据“对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形”可判定选项C是正方形;

根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定选项D是菱形.故选C.

3.在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F.

（1）依题意补全图

（1）;

（2）若∠PAB=20°

求∠ADF的度数;

　（3）如图

（2）,若45°

<

∠PAB<

90°

用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.

　【解析】　对于

（1）,按照要求作出图形即可;

对于

（2）,由四边形ABCD为正方形可得AB=AD,结合轴对称的性质,连接AE,得到两个等腰三角形△ABE和△ADE,进而使问题获解;

对于（3）,可以在

（2）的基础上,进一步寻找线索,其中EF与FD都与

点F有关,围绕这个关键点,结合轴对称的性质,连接BF,可得∠BFD是直角,最后根据勾股定理求解.

　解:

（1）如图

（1）所示.

（2）如图

（2）,连接AE,

　∵点E是点B关于直线PA的对称点,

　∴∠PAB=∠PAE,AE=AB.

　∵∠PAB=20°

　∴∠PAE=20°

∠BAE=40°

　∵四边形ABCD是正方形,

　∴AB=AD,∠BAD=90°

　∴AE=AD,∠EAD=∠BAE+∠BAD=130°

∴∠ADF=∠AED=（180°

-∠EAD）=25°

　（3）如图,连接AE,BF,BD,

　设BF与AD的交点为点G.

　由轴对称知FE=FB,AE=AB,又∵AF=AF,∴△AEF≌△ABF,∴∠ABF=∠AEF.

　∴AE=AD,

　∴∠AEF=∠ADF,

　∴∠ABF=∠ADF,

　∵∠AGB=∠DGF,

　∴∠DFG=∠BAG=90°

　在Rt△ABD中,AB2+AD2=BD2,

　∴2AB2=BD2.

　在Rt△BFD中,BF2+FD2=BD2,

　∴EF2+FD2=BD2,

　∴EF2+FD2=2AB2.

【板书设计】

课时2正方形的判定

1．正方形的判定方法

一组邻边相等的矩形是正方形；

有一个角是直角的菱形是正方形．

2．正方形性质和判定的应用

3．学习检测

【教学反思】

在本节数学课的教学中，采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学生动手操作的机会，变被动为主动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯．

课时2正方形的判定学案

【学习目标】

【学习重点】

【学习难点】

【自主学习】

一、知识回顾

1．什么是正方形？

正方形有哪些性质？

2.矩形、菱形的判定方法有哪些？

二、自主探究

知识点1：

活动1准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，