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色的。
二、关于顶点着色的几个简单结果二、关于顶点着色的几个简单结果q（G）=1当且仅当当且仅当G为零图。
为零图。
q（Kn）=n。
q奇圈或奇阶轮图的色数均为奇圈或奇阶轮图的色数均为3，偶阶轮图的色数为偶阶轮图的色数为4。
q设设G中至少含有一条边，则中至少含有一条边，则（G）=2当且仅当当且仅当G为二部图。
为二部图。
三、色数的上界三、色数的上界定理定理118.78.7对于任意无向图对于任意无向图G，均有均有（G）（G）+1。
qn=1时，结论成立。
时，结论成立。
q设设n=k（k1）时结论成立，则当时结论成立，则当n=k+1时，时，设设v为为G中中任任一一个个顶顶点点，令令G=G-v，则则G的的阶阶数数为为k，由由假假设设可知可知（G）（G）+1（G）+1。
当当将将G还还原原成成G时时，由由于于v至至多多与与G中中（G）个个顶顶点点相相邻邻，而而在在G的的点点着着色色中中，（G）个个顶顶点点至至多多用用了了（G）种种颜颜色色，于于是是在在（G）+1种种颜颜色色中中至至少少存存在在一一种种颜颜色色给给v涂涂色色，使使v与与相相邻邻顶顶点点涂不同颜色。
涂不同颜色。
证证明明提示：
对提示：
对G的阶数的阶数n作归纳法。
作归纳法。
例例118.48.4求下面各图的色数。
求下面各图的色数。
定理定理118.88.8（布鲁克斯定理布鲁克斯定理）若连通无向图若连通无向图G不是不是Kn（n3），也不是奇也不是奇数阶的圈，则数阶的圈，则（G）（G）。
q因为因为
（1）为二部图，由定理为二部图，由定理17.22可知，可知，（G）=2。
q
（2）为为6阶轮图阶轮图W6，由定理由定理17.21可知，可知，（G）=4。
q由定理由定理17.24可知，可知，（G）4，又因为又因为（3）中有奇圈，于是中有奇圈，于是（G）3，因而因而（G）为为3或或4，用，用3种颜色不可能给种颜色不可能给G4着色，于是只能着色，于是只能是是（G）=4。
解答解答小节结束小节结束11118.58.58.58.5地图着色与平面图的点着色地图着色与平面图的点着色地图着色与平面图的点着色地图着色与平面图的点着色一、地图与面着色一、地图与面着色1、地图与国家、地图与国家
（1）地图）地图连通无桥平面图的平面嵌入与所有的面。
连通无桥平面图的平面嵌入与所有的面。
（2）国家）国家地图的面。
地图的面。
（3）两个国家相邻）两个国家相邻两个国家的边界至少有一条公共边。
两个国家的边界至少有一条公共边。
有有5个国家，个国家，1与与2相邻，相邻，1与与4相邻，相邻，2,3,4均与均与5相邻。
相邻。
541232、地图的面着色、地图的面着色定义定义118.98.9
（1）地地图图G的的一一种种面面着着色色对对地地图图G的的每每个个国国家家涂涂上上一一种种颜色，使相邻国家涂不同的颜色。
颜色，使相邻国家涂不同的颜色。
（2）G是是k-面面可可着着色色的的能能用用k种种颜颜色色给给G的的面面着着色色，就就称称对对G的面进行了的面进行了k着色。
着色。
（3）G的的面面色色数数*（G）=kG是是k-面面可可着着色色的的，但但不不是是（k-1）-面可着色的，即最少用面可着色的，即最少用k种颜色给种颜色给G的面着色。
的面着色。
q研究地图的着色可以转化成对它的对偶图的点着色研究地图的着色可以转化成对它的对偶图的点着色。
说说明明二、地图的面着色转化成对偶图的点着色二、地图的面着色转化成对偶图的点着色定定理理118.98.9地地图图G是是k-面面可可着着色色的的当当且且仅仅当当它它的的对对偶偶图图G*是是k-点点可着色的。
可着色的。
三、四色定理三、四色定理定理定理118.108.10任何平面图都是任何平面图都是4-可着色的可着色的。
四四色色猜猜想想问问题题，提提出出来来已已经经近近150年年了了，但但时时至至今今日日还还没没有有得到彻底解决。
得到彻底解决。
小节结束小节结束11118.68.68.68.6边着色边着色边着色边着色本节讨论的图是无环的无向图。
本节讨论的图是无环的无向图。
一、对图一、对图G进行边着色进行边着色定义定义118.108.10
（1）对对图图G边边的的一一种种着着色色对对图图G的的每每条条边边涂涂上上一一种种颜颜色色，使相邻的边涂不同的颜色使相邻的边涂不同的颜色。
（2）G是是k-边可着色的边可着色的能用能用k种颜色给种颜色给G的边着色。
的边着色。
（3）G的的边边色色数数（G）=k若若G是是k-边边可可着着色色的的，但但不不是是（k-1）-边可着色的，即边可着色的，即最少用最少用k种颜色给种颜色给G的边着色。
二、关于边着色的一些定理二、关于边着色的一些定理定理定理118.118.11G为简单平面图，则为简单平面图，则（G）（G）（G）+1。
q该定理是维津定理。
该定理是维津定理。
q定理说明，对简单图来说，它的边色数定理说明，对简单图来说，它的边色数只能取它的只能取它的（G），或者是它的或者是它的（G）+1。
q究竟哪些图的究竟哪些图的（G）是是（G），哪些是哪些是（G）+1，至今还是至今还是一个没有解决的问题。
一个没有解决的问题。
例例18.518.5设设G为长度大于或等于为长度大于或等于2的偶圈，则的偶圈，则（G）=（G）=2.设设G为长度大于或等于为长度大于或等于3的奇圈，则的奇圈，则（G）=（G）+1=3.qn=4时时，由维津定理可知，结论正确。
由维津定理可知，结论正确。
qn=5时，由维津定理可知，结论正确。
时，由维津定理可知，结论正确。
qn6时时，（Wn）=n-15，Wn中中间间顶顶点点关关联联的的n-1条条边边必必须须用用n-1种颜色着色。
种颜色着色。
而而外外圈圈Cn-1上上的的任任何何边边都都准准确确的的与与其其余余的的4条条边边相相邻邻，于于是是总总可以找到可以找到n-1种色中的一种为它涂色，所以种色中的一种为它涂色，所以（Wn）n-1。
又由维津定理可知，又由维津定理可知，（Wn）n-1，所以所以（Wn）=n-1。
例例18.618.6（Wn）=（Wn）=n1，其中其中n4。
定理定理118.128.12二部图的边色数等于最大度。
二部图的边色数等于最大度。
证证明明例例18.718.7当当n（n1）为奇数时，为奇数时，（Kn）=n；
当当n为偶数时，为偶数时，（Kn）=n1。
例例17.517.5证明证明（W4）=（W4）=3，（W5）=（W5）=4。
由维津定理可知结论是正确的。
解答解答例例求下面所示各图的边色数。
求下面所示各图的边色数。
小节结束小节结束q
（1）中无奇长回路，所以它为二部图，由定理中无奇长回路，所以它为二部图，由定理17.30可知可知=4。
q由维津定理可知，由维津定理可知，
（2）中中=4，又存在又存在4种颜色的边着色，种颜色的边着色，所以所以4，因而因而=4。
解答解答本章主本章主本章主本章主要内容要内容要内容要内容q顶点的着色与点色数。
顶点的着色与点色数。
q关于点色数的一些定理。
关于点色数的一些定理。
q地图及其面着色、面色数。
地图及其面着色、面色数。
q平面图的四色定理。
平面图的四色定理。
q边着色及边色数。
边着色及边色数。
q关于边着色的一些定理。
关于边着色的一些定理。
本章学习要求本章学习要求本章学习要求本章学习要求q深刻理解点着色、边着色、点色数、边色数的概念。
深刻理解点着色、边着色、点色数、边色数的概念。
q理理解解并并记记住住地地图图面面着着色色与与它它的的对对偶偶图图点点着着色色的的关关系系的的定定理。
理。
q会应用点色数及边色数解决一些简单的实际问题。
会应用点色数及边色数解决一些简单的实际问题。
小节结束小节结束解图20图19解小节结束小节结束作业作业作业作业习题十八习题十八：
2323、3232结束结束
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