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时间序列平稳性
第九章时间序列计量经济学模型的理论与方法
在第一章中已提到，经济分析中所用的三大类重要数据中，时间序列数据是其中最常见,也是最重要的一类数据。
因此，对时间序列数据的分析也就成了计量经济分析最为重要的内容之一。
迄今为止，我们对时间序列的分析是通过建立以因果关系为基础的结构模型进行的。
而无论是单方程模型还是联立方程模型，这种分析背后有一个隐含的假设，即这些数拯是平稳的（stationary）。
否则的话，通常的t、F等假设检验程序则不可信。
在经典回归分析中，我们通过假设样本观测点趋于无穷时，解释变量X的方差趋于有界常数，给岀了X平稳性的一个重要条件。
这样，既为大样本下的统讣推断奠定了基础，也使得所考察的时间序列更靠近平稳性这一假设。
涉及时间序列数据的另一问题是虚假回归（spuriousregression）或伪回归，即如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较髙的可决系数。
在现实经济生活中，情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。
这样，仍然通过前而的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
时间序列分析模型方法就是在这样的情况下，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起来的全新的计量经济学方法论。
时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。
§9.1数据的平稳性及其检验
一、时间序列数据的平稳性
时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列数据的平稳性问题。
假左某个时间序列
是由某--随机过程（stochasticprocess）生成的，即假定时间序列｛X」（t=l,2,…）的每一
个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果X”满足下列条件：
1）均值E（Xf）=/z与时间t无关的常数：
2）方差var（Xf）=o2与时间t无关的常数；
3）协方差cov（X,X,+A）=Zl只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数。
则称该随机时间序列是平稳的（stationary）,而该随机过程是一平稳随机过程（stationarystochasticprocess）.
例9.1.1.一个最简单的随机时间序列X,是一具有零均值同方差的独立分布序列：
X,=,“~N（0,沪）（9.1.1）
该序列常被称为是一个白噪声（whitenoise）。
由于乙具有相同的均值与方差，且协方差为
零，因此由定义一个白噪声序列是平稳的。
例9丄2.另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（randomwalk）,该序列由如下随机过程生成：
（9.1.2）
这里，角是一个白噪声。
容易知道该序列有相同的均值E（Xf）=E（X/_,）o为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设的初值为X。
，则易知
X、=X。
+“]
X?
=X]+“2=Xo+“+“2
X’=儿+“]+//,+••-+//,
由于X。
为一常数，耳是一个白噪声，因此Vaitxf）=rj2,即X「的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列。
然而，对X,取一阶差分（firstdifference）
AXj=/-Xf_]=“『（9.1.3）
由于“，是一个白噪声，则序列｛AXJ是平稳的。
后面我们将会看到，如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。
事实上，随机游走（9.1.3）是下而我们称之为1阶自回归AR
（1）过程的特例
Xt=+//,（9.1.4）
不难验证，|0|>1时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升（0>1）或持续下降因此是非平稳的：
0=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。
第二节中将证明，只有当时，该随机过程才是平稳的,。
（9.1.4）式又是如下k阶自回归AR（K）过程的特例：
X’=Q\X冷+九X』+…+如X-+"（9.1.5）
该随机过程平稳性条件也将在第二节中介绍。
二、平稳性检验的图示判断
给岀一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。
一个平稳的时间序列（图9.1.1（a））在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程：
而非平稳序列（图9.1.1（b））则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。
图9・1平稳时间序列与非平稳时间序列图
然而，这种直观的图示也常岀现误导，因此需要进行进一步的判别。
通常的做法是检验样本自相关函数及其图形。
首先左义随机时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction,ACF）如下：
pk=仏（9.1.6）
Zo
分子是序列滞后k期的协方差，分母是方差，因此自相关函数是关于滞后期k的递减函数。
由于实际上我们对一个随机过程只有一个实现（样本），因此，只能计算样本自相关函
数（Sampleautocorrelationfunction）。
一个时间序列的样本自相关函数怎义为：
为（X厂科X*-乂）
rk=—,k=l,2,3,..・（9.1.7）
r-1
易知，随着k的增加，样本自相关函数下降且趋于零。
但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得多。
图9.1.2给出了图9.1.1中平稳序列（a）与非平稳序列（b）的样本自相
图9.1.2平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图
确左样本自相关函数某一数值几是否足够接近于0是非常有用的，因为它可检验对应的自相关函数的真值是否为0的假设。
巴特雷特（Bartlett）曾证明，如果时间序列由白噪声过程生成，则对所有的k>0,样本自相关系数近似地服从以0为均值，1/n为方差的正态分布，其中n为样本容量。
也可检验对所有k>0,自相关系数都为0的联合假设，这可通过如下0“统讣量进行：
m
Qlb=n（n+2）》
k=\
该统计呈:
近似地服从自由度为m的才分布@为滞后期长度）。
因此，如果计算的Q值大于
显著性水平为Q的临界值，则有1-&的把握拒绝所有（k>0）同时为0的假设。
例9.1.3表9.1.1序列Randoml是通过一随机过程（随机函数）生成的有19个样本的随机时间序列，容易验证该样本序列的均值为0,方差为0.0789。
从图形看（图9.1.3）,它在英样本均值0附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到0,随后在0附近波动且逐渐收敛于0。
由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。
根据Bartlett曾表明的，该序列的自相关系数应遵从以0为均值，以1/19为方差的正态分布，因此任一久（k>0）的95%的置信区间都将是［-0.4497,0.4497］。
可以看出k>0
时，耳的值确实落在了该区间内，因此可以接受0）为0的假设。
同样地，从0“统计量的计算值看,滞后17期的计算值为26.38,未超过5%显著性水平的临界值27.58,因此可以接受所有的自相关系数/\（k>0）都为0的假设。
因此，该随机过程是一个平稳过程。
序列Random2是以（9.1.2）式生成的一随机游走时间序列样本（图9.1.4）,英中第0项取值为0,随机项是由Randoml表示的白噪声。
图形表示出该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0,但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。
样本自相关系数显示，打二0.48,落在了区间［-0.4497,0.4497］之外，因此在概
的显著性水平上拒绝Q的真值为0的假设。
该随机游走序列是非平稳的。
表9.1.1一个纯随机序列与随机游走序列的检验
序号
Randoml
自相关系数
rk（k二0,1,...17）
Qm
Random2
自相关系数
rk（k二0,L...17）
為
1
-0.031
1.000
-0.031
1.000
2
0.188
-0.051
0.059
0.157
0.480
5.116
3
0.108
-0.393
3.679
0.264
0.018
5.123
4
-0.455
-0.147
4.216
-0.191
-0.069
5.241
5
-0.426
0.280
6.300
-0.616
0.028
5.261
6
0.387
0.187
7.297
-0.229
-0・016
5.269
7
-0.156
-0.363
11.332
-0.385
-0.219
6.745
8
0.204
-0.148
12.058
-0.181
-0.063
6.876
9
-0.340
0.315
15.646
-0.521
0.126
7.454
10
0.157
0.194
17.153
-0.364
0.024
7.477
11
0.228
-0.139
18.010
-0.136
-0.249
10.229
12
-0.315
-0.297
22.414
-0.451
-0.404
18.389
13
-0.377
0.034
22.481
-0.828
-0.284
22.994
14
-0.056
0.165
24.288
-0.884
-0.088
23.514
15
0.478
-0.105
25.162
-0.406
-0.066
23.866
16
0.244
-0.094
26.036
-0.162
0.037
24.004
17
-0.215
0.039
26.240
-0.377
0.105
25.483
18
0.141
0.027
26.381
-0.236
0.093
27.198
19
0.236
0.000
（a）（b）
图9.1.3纯随机序列Raondoml样本图及其样本自相关系数图
（a）（b）
图9・1.4随机游走序列Raondom2样本图及其样本自相关系数图
例9.1.4检验中国支岀法GDP时间序列的平稳性。
表9.1.2是1978-2000年间中国支出法GDP时间序列。
其图形（图9.1.5）表现出了一个持续上升的过程，即在不同的时间段上，其均值是不同的，因此可初步判断是非平稳的。
而且从它们的样本自相关系数的变化看，也是缓慢下降的，再次表明它们的非平稳性。
从滞
后21期的0“统计量看，计算值为164.23,超过了显著性水平为5%时的临界值32.67。
因
此，进一步否泄了该时间序列的自相关系数在滞后一期之后的值全部为0的假设。
这样，我们得岀的结论是1978-2000年间中国GDP时间序列是非平稳序列，
表9.1.21978-2000年中国支出法GDP（单位：
亿元）
年份
GDP
年份
GDP
年份
GDP
1978
3605.6
1986
10132.8
1994
46690.7
1979
4073.9
1987
11784
1995
58510.5
1980
4551.3
1988
14704
1996
68330.4
1981
4901.4
1989
1
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