16章二次根式知识点及例题.docx
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16章二次根式知识点及例题
16章二次根式知识点及例题
第十六章二次根式
知识点一、二次根式
1.定义：
一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，称为二次根号，二次根号下的叫做被开方数．
注意：
（1）二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号“”．
（2）二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0．
（3）根指数是2，这里的2可以省略不写．
（4）形如的式子也是二次根式，它表示b与的乘积．
例题：
1.下列各式中，一定是二次根式的是．
（1）
（2）（3）（4）（5）（6）（7）
2.下列各式中，一定是二次根式的是（）
A.B.（x为任意实数）C.（m为任意实数）D.
练习：
1.下列各式中，一定是二次根式的是．
（1）
（2）（3）（4）（5）（6）
2.下列各式中，一定是二次根式的是（）
A.B.（x为任意实数）C.（m为任意实数）D.
知识点二、二次根式有意义的条件
1.从总体上描述：
在二次根式中，当时，有意义，当时，无意义．
2.从具体的情况总结，如下：
（1）单个二次根式如有意义的条件：
；
（2）多个二次根式相加+有意义的条件：
；
（3）二次根式作为分式的分母如有意义的条件：
；
（4）二次根式作为分式的分子如有意义的条件：
．
例题：
1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义．
（1）
（2）（3）（4）（5）（6）
2.函数自变量的取值范围是（）
A.B.C.D.
3.若有意义，则x的取值范围是_______．
练习：
1.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A.B.C.D.
2.下列四个式子中，x的取值范围为的是（）
A.B.C.D.
3.有意义的x的取值范围是_______．
知识点三、二次根式的性质（重点，难点）
性质1：
式子具有双重非负性，它即表示二次根式，又表示非负数的算式平方根，
具体描述为：
（1）是非负数，的最小值是0；
（2）的被开方数是非负数．
注意：
几个非负数的和为0时，这几个非负数必须同时为0．
例题：
1.（2015.外国语期末卷）若，则=_______．
2.若，则=_______．
3.若，则=_______．
4.若，求的值______．
5.若，求x，y的值．
练习：
1.（2015.铜盘中学期末卷）若x，y为实数，且,则的值为________．
2.若，则=_______．
3.已知,b为实数，且，求，b的值．
4.若，求的值．
性质2：
，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身．
注意：
不能忽略这一限制条件，导致类似的错误．
性质3：
，即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为；当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为．
注意：
不要认为一定是非负数，从而出现如的错误．
与的区别与联系：
表达式
区别
意义不同
表示非负数的算式平方根的平方
表示实数的算术平方根
取值范围不同
为任意实数
运算结果不同
运算顺序不同
表示非负数先开平方再作平方
表示对实数先平方再开平方运算
联系
与均为非负数，且当时，
例题：
1.计算：
（1）
（2）（3）（4）
2.计算：
（1）
（2）（3）（4）
3.当m<3时，_______．
4.设三角形的三边长为，，，试化简：
．
练习：
1.计算：
（1）
（2）（3）（4）
2.若，则等于（）
A.B.C.D.
3.已知实数在数轴上的位置如图所示，化简：
．
4.已知为实数，求代数式的值．
知识点四、二次根式的乘除
1.二次根式的乘法法则：
．
提示：
（1）在设计二次根式运算时没有特备说明，所有字母都表示正数；
（2）可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．
推广：
．
2.的逆运用：
（）．
例题：
1.计算：
（1）
（2）（3）
（4）（5）（6）
2.化简：
（1）
（2）
3.
（1）比较与的大小__________，
（2）比较的大小__________．
练习：
1.计算：
（1）
（2）（3）（4）
2.化简：
（1）
（2）
3.比较的大小__________，
（2）比较的大小__________．
3.分母有理化：
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
①有理化因式：
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为有理化因式。
②有理化因式确定方法如下：
单项二次根式
有理化因式
两项二次根式
有理化因式
③分母有理化的方法与步骤：
（1）现将分子、分母化成最简二次根式；
（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
例题：
1.化简为（）
A.B.C.D.
2.下列各式中正确的是（）
A.B.C.D.
3.已知a=，b=，则a与b的大小关系式是ab.
5.将下列各式分母有理化.
（1）
（2）（3）
（4）（5）（6）（m≠n）
练习：
1.已知a=，b=，则a与b的关系是（）
A.a=bB.ab=1C.a=-bD.ab=-1
2.满足不等式A.4B.5C.6D.7
3.的倒数是.
4.设，则、、c从小到大的顺序是.
5.将下列各式分母有理化.
（1）
（2）（3）（4）
4.二次根式的除法法则：
．
提示：
乘除法：
二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
例题：
1.计算：
（1）
（2）（3）
练习：
1.计算：
（1）
（2）（3）
4.最简二次根式：
（1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
（2）被开方数中不含分母，小数；（3）分母中不含根式．
例题：
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
A.B.C.D.
2.（2014.华伦单元卷）把根号外的因式移动到根号内的结果是（）
A.B.C.D.
3.是整数，则正整数的最小值是（）
A.4B.5C.6D.7
练习：
1.下列根式中不是最简二次根式的是（）
A.B.C.D.
2.下列各式中，属于最简二次根式的是（）
A.B.C.D.
3.化简二次根式的结果是（）
A.B.C.D.
4.已知aA.B.C.D.
5.是整数，则正整数的最小值是（）
A.3B.4C.5D.6
6.李明的作业本上有四道题：
（1），
（2），（4），（4），如果你是他的数学老师，请找出他做错的题是（）
A.
（1）B.
（2）C.（3）D.（4）
知识点五、二次根式的加减
1.加减法：
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
注意：
同类二次根式：
化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，例如和3。
一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。
要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化成最简二次根式后，再判断。
例题：
1.下列计算正确的是（）
A.B.C.D.
2.填空
（1）5+2=
（2）+（3）=（4）=
3.计算
（1）
（2）
（3）（4）
练习：
1.（2014.外国语学校期中卷）下列计算正确的是（）
A.B.C.D.
2.（2015.平南县月考卷）若，则x的值为（）
A.4B.2C.2D.4
3.计算
（1）
（2）
（3）（4）
2.混合运算：
有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
例题：
1.下列计算正确的是（）
A.B.C.D.
2.下列计算正确的有（）
，，，
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.正方形的对角线长是cm，则正方形的周长是，面积是．
4.计算
（1）
（2）
（3）（4）
5.若3，m，5三角形的三边，化简．
6.化简求值：
•••，其中x=5．
练习：
1.下列化简或计算正确的是（）
A.B.C.D.
2.已知，，则代数式的值是（）
A.24B.C.D.
3.已知矩形的周长为（）cm，一边长为（）cm，矩形的另一边长为，面积为．
4.计算：
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
5.先将÷化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值．
6.（2014.华南实验中学期末卷）先化简，再求值：
，其中+1，-1．
知识点六、二次根式强化
1.非负数和为0：
0+0=0
1.若，则．
2.已知＋＝0，求的值．
3.若三角形的三边、、满足，若第三边为奇数，求的值．
4.已知x，y为实数，且满足，求的值．
2.：
得：
．
1.当x＝______时，式子＋有意义．
2.已知，则2xy的值为（）
A.-15B.15C.D.
3.（2014.华伦单元卷）若，则x-y的值为（）
A.-1B.1C.2D.3
4.若实数a,b,c满足，试求的值．
3.绝对值结合数轴化简：
1.（2014•黔南州）实数a在数轴上的位置如图，化简=．
2..（2015春•姜堰市期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：
．
3.若，试化简：
．
4.若，则．
1.如果成立，那么x的取值范围是（）
A.x>0B.x≥0C.x<0D.x≤0
2.，则x的取值范围是（）
A.x≥2B.x＜0C.xx＜2D.x≤2
5.整体化简：
先判断根号有意义的取值范围，再看整体正负值不变．
1.（2010•祁门县校级模拟）使式子成立的条件是（）
A.a≥5B.a＞5C.0≤a≤5D.0≤a＜5
2.把中根号外的移入根号内得（）.
A.B.C.﹣D.﹣
6.：
配方成平方和为0的形式．
1.已知，求的值．
2.已知，求的值．
7.乘法公式的灵活运用．
1.若，则xy的值为（）
A.B.C.D.
2.如果，那么的值等于（）
A.B.C.D.
3.（2010•祁门县校级模拟）计算=．
4.已知，求的值.，求的值．
5.已知，求的值．
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