高考数学一轮复习 选修系列 131 合情推理与演绎推理 理.docx

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高考数学一轮复习选修系列131合情推理与演绎推理理

选修系列13.1合情推理与演绎推理理

1．合情推理

（1）归纳推理

①定义：

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．

②特点：

由部分到整体、由个别到一般的推理．

（2）类比推理

①定义：

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

②特点：

由特殊到特殊的推理．

（3）合情推理

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

2．演绎推理

（1）演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．（　×　）

（2）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．（　√　）

（3）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．（　×　）

（4）“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．（　√　）

（5）一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n（n∈N*）．（　×　）

（6）在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．（　×　）

1．观察下列各式：

a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于（　　）

A．28B．76

C．123D．199

答案　C

解析　从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10＋b10＝123.

2．下面几种推理过程是演绎推理的是（　　）

A．在数列{an}中，a1＝1，an＝（an－1＋）（n≥2），由此归纳数列{an}的通项公式

B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质

C．两直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°

D．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人

答案　C

解析　A、D是归纳推理，B是类比推理，C符合三段论模式，故选C.

3．（2017·济南调研）类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：

①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；

④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．

则正确的结论是________．

答案　①④

解析　显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．

4．（教材改编）在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n（n<19，n∈N*）成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________________．

答案　b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n<17，n∈N*）

解析　利用类比推理，借助等比数列的性质，

b＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n<17，n∈N*）．

5．（2017·西安质检）观察下列式子：

1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：

对于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.

答案　n2

解析　∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32，

1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，

∴归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.

题型一　归纳推理

命题点1　与数字有关的等式的推理

例1　（2016·山东）观察下列等式：

－2＋－2＝×1×2；

－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；

－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；

－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；

…

照此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝__________.

答案　×n×（n＋1）

解析　观察等式右边的规律：

第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n＋1.

命题点2　与不等式有关的推理

例2　（2016·山西四校联考）已知x∈（0，＋∞），观察下列各式：

x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1（n∈N*），则a＝________.

答案　nn

解析　第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.

命题点3　与数列有关的推理

例3　古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数N（n,3）＝n2＋n，

正方形数N（n,4）＝n2，

五边形数N（n,5）＝n2－n，

六边形数N（n,6）＝2n2－n.

……

可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10,24）＝____________.

答案　1000

解析　由N（n,4）＝n2，N（n,6）＝2n2－n，可以推测：

当k为偶数时，N（n，k）＝n2＋n，

∴N（10,24）＝×100＋×10

＝1100－100＝1000.

命题点4　与图形变化有关的推理

例4　（2017·大连调研）某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为（　　）

A．21B．34C．52D．55

答案　D

解析　由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.

思维升华　归纳推理问题的常见类型及解题策略

（1）与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．

（2）与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．

（3）与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．

（4）与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

（1）（2015·陕西）观察下列等式：

1－＝，

1－＋－＝＋，

1－＋－＋－＝＋＋，

…

据此规律，第n个等式可为_________________________________________________________

_______________．

（2）（2016·抚顺模拟）观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是________．

答案　

（1）1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋

（2）183

解析　

（1）等式左边的特征：

第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：

第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋…＋.

（2）由前两个图形发现：

中间数等于四周四个数的平方和，∴“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.

题型二　类比推理

例5　

（1）（2017·西安月考）对于命题：

如果O是线段AB上一点，则||＋||＝0；将它类比到平面的情形是：

若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0；将它类比到空间的情形应该是：

若O是四面体ABCD内一点，则有________．

（2）求的值时，采用了如下方法：

令＝x，则有x＝，解得x＝（负值已舍去）．可用类比的方法，求得1＋的值为________．

答案　

（1）VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0

（2）

解析　

（1）线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，可得空间中的结论为VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0.

（2）令1＋＝x，则有1＋＝x，

解得x＝（负值已舍去）．

思维升华　

（1）进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．

（2）类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．

　在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：

＋＋＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．

答案　＋＋＋＝1

解析　设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：

＋＋＋＝1.

题型三　演绎推理

例6　设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．

（1）证明：

a2＝；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）证明：

对一切正整数n，有＋＋…＋<.

（1）证明　当n＝1时，4a1＝a－5，a＝4a1＋5，

又an>0，∴a2＝.

（2）解　当n≥2时，4Sn－1＝a－4（n－1）－1，

∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4，

即a＝a＋4an＋4＝（an＋2）2，

又an>0，∴an＋1＝an＋2，

∴当n≥2时，{an}是公差为2的等差数列．

又a2，a5，a14成等比数列，

∴a＝a2·a14，即（a2＋6）2＝a2·（a2＋24），

解得a2＝3.

由

（1）知a1＝1，

又a2－a1＝3－1＝2，

∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．

∴an＝2n－1.

（3）证明　＋＋…＋

＝＋＋＋…＋

＝[（1－）＋（－）＋…＋（－）]

＝（1－）<.

思维升华　演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

（1）某国家流传这样的一个政治笑话：

“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为（　　）

A．大前提错误B．小前提错误

C．推理形式错误D．非以上错误

（2）（2016·洛阳模拟）下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（　　）

A．大前提：

无限不循环小数是无理数；小前提：

π是无理数；结论：

π是无限不循环小数

B．大前提：

无限不循环小数是无理数；小前提：

π是无限不循环小数；结论：

π是无理数

C．大前提：

π是无限不循环小数；小前提：

无限不循环小数是无理数；结论：

π是无理数

D．大前提：

π是无限不循环小数；小前提：

π是无理数；结论：

无限