平面向量十一种类型.docx
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平面向量十一种类型
平面向量专题
咼考真题
类型一:
向量的坐标表示
类型二:
几何形状
类型三:
比值
类型四:
系数的计算
类型五:
数量积
类型六:
夹角的计算
类型七:
面积计算
类型八:
长度的计算
类型九:
三点共线恒等式
类型十:
基底系数判断
类型十一:
求最值问题
咼考真题
2011年10.(5分)(2011?
江苏)已知可,?
是夹角为彳JT的两个单位向量,-2巳,■lJ1
l=k.」+.」,若.1?
h=0,则实数k的值为.
2012年9•如图,在矩形ABCDKAB,2,BC2,点E为BC的中点,
点F在边CD上,若A^|AFv2,则A^|BF的值是厶
2013年10•设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,
12—一——
AD-AB,BEBC,若DEiAB2AC(1,2为实数),
23
则12的值为•
2014年12•(5分)(2014?
江苏)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8
AD=5,-产3由,・」?
'=2,则任?
Ji的值是亠==_^•
2015年6.已知向量a=(2,1),b=(1,2),若na+nb=(9,8)(m,nR),则mn的值为
2016年13.如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上两个三等分点,
I
2017年12•如图,在同一个平面内,向量OA,OB,oC的模分别为1,1,2,OA与
II
Oc的夹角为,且tan=7,OB与Oc的夹角为45°.若OcmOAnOB(m,nR),
则mn▲•(偏于向量分解)
【答案】3
所以
5—,n
4
【名师点睛】
(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数、
方程、不等式的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等
式问题.
(2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题,是此类问题的一般方法.
(3)向量的两个作用:
①载体作用,关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,
转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用,利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距
离问题.
2018年
12.在平面直角坐标系曲中,A为直线:
匕•■詔上在第一象限内的点,玄冬於,以AB为直径
的圆C与直线I交于另一点D.若•CD=0,则点A的横坐标为
(偏于综合)
【答案】3
【解析】分析:
先根据条件确定圆方程,再利用方程组解出交点坐标,最后根据平面向量的
数量积求结果•
a.十5
详解:
设瞰乩如個P),则由圆心C为山中点得C]——必易得oC(x-5)(x-a)+-0,
I-一n+5
与联立解得点D的横坐标.-•所以近[、2;.所以「I’J
I亠1a.十5--j
由得或,
因为所以
点睛:
以向量为载体求相关变量的取值或范围,是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方
程等相结合的一类综合问题•通过向量的坐标运算,将问题转化为解方程或解不等式或求函
数值域,是解决这类问题的一般方法•
类型一:
向量的坐标表示
若AB
1
1.如图所示,在△ABC中,BD^2觅辰3ED
2.已知?
ABCD勺顶点A—1,—2),B(3,-1),q5,6),则顶点D的坐标为
答案(1,5)
有无三种可能性
解析设D(x
y),则由AB=DC得(4,1)=(5—x,6—y),
4=5—x即
1=6—y
x=1
解得
y=5.
3.已知点A—1,5)和向量a=(2,3),若AB=3a,则点B的坐标为
设点B的坐标为(x,y),则AB=(x+1,y—5).
〉x+1=6,
由AB=3a,得y—5=9,
4.,在厶ABC中,点P在BC上,且E3F=2PC点Q是AC的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),
则Bc=.
BC=3PC=3(2PQ-Pa=6pQ—3PA=(6,30)—(12,9)=(—6,21).
5.已知平面向量a=(1,2),b=(—2,m),且a//b,贝U2a+3b=.
由a=(1,2),b=(—2,m),且a/b,
得1Xm=2X(—2),即m=—4.
从而b=(—2,—4),
那么2a+3b=2(1,2)+3(—2,—4)=(—4,—8).
6.已知梯形ABCD其中AB//CD且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),Q4,2),则点D
的坐标为.
•••在梯形ABCD^,AB//CDDC=2AB
•••DC=2AB
设点D的坐标为(x,y),
则DO(4,2)-(x,y)=(4—x,2-y),
AB=(2,1)—(1,2)=(1,—1),
•••(4—x,2—y)=2(1,—1),即(4—x,2—y)=(2,—2),
4—x=2,
2—y=—2,
x=2,
解得故点D的坐标为(2,4)
y=4,
7.右二点A(1,—5),B(a,—2),q—2,—1)共线,则实数a的值为
5
答案一5
4
解析註(a—1,3),屁>(—3,4),
根据题意AB//AC,4(a—1)=3x(—3),即4a=—5,
…a=—
8.已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与0B的交点P的坐标为
答案(3,3)
解析方法一由OP,B三点共线,可设6P=入64(4入,4入),则AP=6P—OA=(4入一
又AC=OOOA=(—2,6),由AP与AC共线,得(4入一4)X6—4入X(—2)=0,解得
所以6P=討*(3,3),所以点P的坐标为(3,3)
方法二设点F(x,y),则6P=(x,y),因为6B=(4,4),且&与Ofe线,所以彳=*,即x
又AP=(x—4,y),Ab=(—2,6),且AP与AC共线,
所以(x—4)x6—yx(—2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).
类型二:
几何形状
1.若点o是厶ABC所在平面内的一点,且满足|OB-OC二|OB^OC—2OA,贝仏
ABC的形状为.
2.已知平面上有四个互异点ABCD,若(备DC—2DA•(AB-AC=0,则
△ABC的形状为.
类型三:
比值
1.如图所示,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且ANU2NCAM与BN相交于点P,求AP:
PM的值.
类型四:
系数的计算
1.如图,在四边形ABC冲,A吐2ADU1,ACU『3,且/CAB
2
=〒,/BAD^—~,设ACu入AB+卩AD贝U入+卩=
63
2.已知:
如图,|OA=|OB=1,OAf0B勺夹角为120°,OC与
dA勺夹角为30°,若OCU入OA+卩OB入
于.
3.设两个向量a=(入+2,入2-COS2a)和b=m2+sina,其中入,ma
为实数•若a=2b,则命的取值范围是.
4.如图,在边长为单位长度的正六边形ABCDE中,点P是厶CDE.,■;,.-
内(包括边界)的动点,设辰aAfe+BAF(a,R),贝Ua、
+B的取值范围是.\/
FE
解析不妨以点A为原点,AD所在直线为x轴建立直角坐标系,设P(x,y)•则(x,y)=a2,中+B寸,—¥,二a+B=2x,当点p在CE上时,a+B=3,当P在D点时,a+B—4.
5.已知△ABC为等边三角形,A吐2.设点P,Q满足AP—入AB,AQ—(1—入)AC,
3
入€R,若BQ-C^P——2,贝U入—.
类型五:
数量积
A
1.设E、F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点,
RFEC已知AB=3,AC—6,则Afe-AF—.
12
2.若等边三角形ABC的边长为23,平面内一点M满足CM—6春3CA则MA・Mb
3.设厶ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(3b—c)cosA—acosC,
Saab(—辺,则bA-aC—.
4.在厶ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,且|a|—1,|b|—2,|c|—3,贝Ua-b
+b-c+c-a—.
5.如图,△ABC勺外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,BC=7,则AO-
类型六:
夹角的计算
1.已知向量a,b满足(a+2b)-(a—b)=一6,且|a|=1,|b|=2,贝Ua与b的
夹角为.
2.已知非零向量a,b满足|a+b|=|a—b|=^^|a|,则a+b与a—b的夹角为
3.已知平面向量a、b,|a|=1,|b|=.3且|2a+b|7,则向量a与向量a
+b的夹角为
解析v|2a+b|2=4|a|2+4a-b+1b|2=7,|a|=1,|b|=£,二4+4a-b
+3=7,a-b=0,•••a丄b.如图所示,a与a+b的夹角为/COAvtan/COA
=|~CA"=.■■'3,^ZCO=~3,即a与a+b的夹角为
类型七:
面积计算
1.已知0是厶ABC的内部一点,Oa霽Oc0,AB-辰2,且/BAG60
则厶OBC的面积为.
1
解析由AB-AC=|AB||ACcos60°=2,得|AB|AC=4,S“bc=ABIAC
|sin60
1
°=;3,由0A+0+0C=0知,。
是厶ABC的重心,所以SaoBC=3SaABC
答案~33
类型八:
长度的计算1.已知向量p的模为:
2,向量q的模为1,p与q的夹角为寸,且a=3p+2q,b
=p-q,则以a,b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为.
解析
由题意可知较小的对角线为|a—b|=|3p+2q—p+q|=|2p+3q|=
:
2p+3q2=4p2+12p-q+9q2
=.
/8+12边乂¥+9=畅.
答案
29
类型九:
三点共线恒等式
1.如图,已知点6是厶ABC勺重心,过G作直线与AB,AC两边分
别交于MN两点,且AMxAB,AN=yAC,则
xy
x+y
的值为
易知Ag=1aB+3aC,mn=-xAb+yAC
11
故辰=3-xAB+-AC
33
由于加与M共线,所以-—xy=-