高中数学必修五课件：3.3.2-2《简单的线性规划问题》(人教A版必修5)PPT推荐.ppt

高中数学必修五课件：3.3.2-2《简单的线性规划问题》(人教A版必修5)PPT推荐.ppt

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BA无最大无最大值有最小有最小值B无最小无最小值有最大有最大值C无最大无最大值和最小和最小值D有最大有最大值和最小和最小值解析解析：

可行域无上界：

可行域无上界答案答案：

A3在如在如图所示的区域内，所示的区域内，zxy的最小的最小值为_解析解析：

当直线：

当直线xyz0经过原点时，经过原点时，z最小，最最小，最小值为小值为0.答案答案：

04.在如在如图所示的区域内，所示的区域内，zxy的最大的最大值为_解析解析：

因为：

因为z为直线为直线zxy的纵截距，所以要的纵截距，所以要使使z最大，只要纵截距最大就可以，当直线过最大，只要纵截距最大就可以，当直线过（0,2）点点时，直线的纵截距最大，最大值为时，直线的纵截距最大，最大值为2.答案答案：

21基本概念基本概念

（1）约束条件和束条件和线性性约束条件：

束条件：

变量量x，y满足的足的一次不等式一次不等式（组）叫做叫做对变量量x，y的的约束条件；

如果束条件；

如果约束条件都是关于束条件都是关于x，y的一次不等式，那么又称的一次不等式，那么又称为线性性约束条件束条件线性性约束条件除了用一次不等式表示束条件除了用一次不等式表示外，有外，有时也用一次方程表示也用一次方程表示

（2）目目标函数和函数和线性目性目标函数：

求最大函数：

求最大值或最小或最小值所涉及的所涉及的变量量x，y的解析式，叫目的解析式，叫目标函数；

如果函数；

如果这个解析式是关于个解析式是关于x，y的一次解析式，那么又称的一次解析式，那么又称为线性目性目标函数函数要点阐释要点阐释（3）线性性规划划问题：

一般地，在：

一般地，在线性性约束条件下，束条件下，求求线性目性目标函数的最大函数的最大值或最小或最小值问题，统称称为线性性规划划问题（4）可行解与可行域：

可行解与可行域：

满足足线性性约束条件的解束条件的解（x，y）叫做可行解由所有可行解叫做可行解由所有可行解组成的集合叫做可行成的集合叫做可行域域（5）最最优解：

使目解：

使目标函数取得最大函数取得最大值或最小或最小值的的可行解，称可行解，称为这个个问题的最的最优解解2解决线性规划问题的一般方法解决线性规划问题的一般方法解决解决线性性规划划问题的一般方法是的一般方法是图解法，其步解法，其步骤如下：

如下：

（1）确定确定线性性约束条件，注意把束条件，注意把题中的条件准确中的条件准确翻翻译为不等式不等式组；

（2）确定确定线性目性目标函数；

函数；

（3）画出可行域，注意作画出可行域，注意作图准确；

准确；

（4）利用利用线性目性目标函数函数（直直线）求出最求出最优解；

解；

（5）实际问题需要整数解需要整数解时，应调整整检验确定的确定的最最优解解（调整整时，注意抓住，注意抓住“整数解整数解”这一关一关键点点）说明说明：

求线性目标函数在约束条件下的最值问：

求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是：

题的求解步骤是：

作图作图画出约束条件画出约束条件（不等式组不等式组）所确定的平所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线条直线l.平移平移将直线将直线l平行移动，以确定最优解所平行移动，以确定最优解所对应的点的位置对应的点的位置求值求值解有关的方程组求出最优解的坐标，解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值再代入目标函数，求出目标函数的最值特别提醒特别提醒：

寻找整点最优解的方法：

寻找整点最优解的方法平移找解法：

先打网格、描整点、平移直线平移找解法：

先打网格、描整点、平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优解，这种方法应最先经过或最后经过的整点便是最优解，这种方法应充分利用非整数最优解的信息，结合精确的作图才行充分利用非整数最优解的信息，结合精确的作图才行当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解调整优值法：

先求非整点最优解及最优值，再调整优值法：

先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优解，最后筛选出整点最优借助不定方程知识调整最优解，最后筛选出整点最优解解由于作图有误差，有时由图形不一定能准确而由于作图有误差，有时由图形不一定能准确而迅速地找到最优解，此时将可能的数逐一检验即可迅速地找到最优解，此时将可能的数逐一检验即可题型一求线性目标函数的最值题型一求线性目标函数的最值典例剖析典例剖析解解：

画出约束条件表示的点：

画出约束条件表示的点（x，y）的可行域，如的可行域，如图所示的阴影部分图所示的阴影部分（包括边界直线包括边界直线）作直线作直线l：

3x5y0，把直线向右上方平移至，把直线向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点的位置时，直线经过可行域上的点M，此时，此时，l1：

3x5yz0的纵截距最小，此时的纵截距最小，此时z3x5y取最小值取最小值图解法是解决线性规划问题的有效方法其关键在图解法是解决线性规划问题的有效方法其关键在于平移直线于平移直线axby0时，看它经过哪个点时，看它经过哪个点（或哪些点或哪些点）时时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值还是最小值A有最小有最小值2，最大，最大值3B有最小有最小值2，无最大，无最大值C有最大有最大值3，无最小，无最小值D既无最大既无最大值，也无最小，也无最小值解析解析：

如图所示，作：

如图所示，作出可行域，作直线出可行域，作直线l0：

xy0，平移，平移l0，当，当l0过点过点A（2,0）时，时，z有最小值有最小值2，无，无最大值最大值答案答案：

B题型二求解非线性目标函数的最值题型二求解非线性目标函数的最值解解：

画出满足条件的可行域：

画出满足条件的可行域

（1）令令tx2y2.则对则对t的每个值，的每个值，x2y2t表示一表示一簇同心圆簇同心圆（圆心为原点圆心为原点O），且对同一圆上的点，且对同一圆上的点，x2y2的值都相等由下图可知：

的值都相等由下图可知：

当当（x，y）在可行域内取在可行域内取值时，当且，当且仅当当圆过C点点时，u最大，最大，过（0,0）时u最小又最小又C（3,8），umax73，umin0.方法点评方法点评：

（1）对形如对形如z（xa）2（yb）2型的目型的目标函数均可化为求可行域内的点标函数均可化为求可行域内的点（x，y）与点与点（a，b）间间的距离平方的最值问题的距离平方的最值问题题型三线性规划的实际应用题型三线性规划的实际应用【例例3】某投某投资人打算投人打算投资甲、乙两个甲、乙两个项目，目，根据根据预测，甲、乙，甲、乙项目可能的最大盈利率分目可能的最大盈利率分别为100%和和50%，可能的最大，可能的最大亏亏损率分率分别为30%和和10%，投，投资人人计划投划投资金金额不超不超过10万元，要求确保可万元，要求确保可能的能的资金金亏亏损不超不超过1.8万元，万元，问投投资人人对甲、乙两甲、乙两个个项目各投目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

多少万元，才能使可能的盈利最大？

上述不等式上述不等式组表示的平面区域如表示的平面区域如图所示，阴影部所示，阴影部分分（含含边界界）即可行域即可行域作直作直线l0：

x0.5y0，并作平行于直并作平行于直线l0的一的一组直直线x0.5yz，zR，与可行域，与可行域相交，其中有一条直相交，其中有一条直线经过可行域上的可行域上的M点，且与直点，且与直线x0.5y0的距离最大，的距离最大，这里里M点是直点是直线xy10和和03x0.1y1.8的交点的交点答答：

投资人用：

投资人用4万元投资甲项目、万元投资甲项目、6万元投资乙项万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能万元的前提下，使可能的盈利最大的盈利最大方法点评方法点评：

充分利用已知条件，找出不等关系，：

充分利用已知条件，找出不等关系，画出适合条件的平面区域，然后在该平面区域内找出画出适合条件的平面区域，然后在该平面区域内找出符合条件的点的坐标实际问题要注意实际意义对变符合条件的点的坐标实际问题要注意实际意义对变量的限制必要时可用表格的形式列出限制条件量的限制必要时可用表格的形式列出限制条件3某工厂制造甲、乙两种某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲品，已知制造甲产品品1kg要用煤要用煤9吨，吨，电力力4kW，劳力力（按工作日按工作日计算算）3个；

个；

制造乙制造乙产品品1kg要用煤要用煤4吨，吨，电力力5kW，劳力力10个又个又知制成甲知制成甲产品品1kg可可获利利7万元，制成乙万元，制成乙产品品1kg可可获利利12万元，万元，现在此工厂只有煤在此工厂只有煤360吨，吨，电力力200kW，劳力力300个，在个，在这种条件下种条件下应生生产甲、乙两种甲、乙两种产品各多品各多少千克，才能少千克，才能获得最大得最大经济效益？

效益？

利利润目目标函数函数为z7x12y.作出不等式作出不等式组所表示的平面区域，即可行域所表示的平面区域，即可行域（如如下下图）作直作直线l：

7x12y0，把直，把直线l向右上方平移至向右上方平移至l1位置位置时，直，直线l经过可行域上的点可行域上的点M时，此，此时z7x12y取最大取最大值答答：

应生生产甲种甲种产品品20千克，乙种千克，乙种产品品24千克，千克，才能才能获得最大得最大经济效益效益误区解密凭空而想，没抓住问题本质致误误区解密凭空而想，没抓住问题本质致误因因为x、y为整数，而离点整数，而离点A最近的整点是最近的整点是C（1,2），这时S13，所以所求的最大，所以所求的最大值为13.错因分析错因分析：

显然整点：

显然整点B（2,1）满足约束条件，且此满足约束条件，且此时时S14，故上述解法不正确，故上述解法不正确对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点最近的整点而要先对边界点作目标函数而要先对边界点作目标函数tAxBy的图象，的图象，则最优解是在可行域内离直线则最优解是在可行域内离直线tAxBy最近的整点最近的整点正解正解：

与错解中第一段解题过程相同：

与错解中第一段解题过程相同因为因为x，y为整数，所以当直线为整数，所以当直线5x4yt平行移动平行移动时，从点时，从点A起第一个通过的可行域的整点是起第一个通过的可行域的整点是B（2,1），此，此时时Smax14.1常常见的几种目的几种目标函数的最函数的最值的求法：