数学命题及其教学PPT推荐.ppt

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对于复合判断，还可按其复合形式复合形式分为负判负判断断、联言判断联言判断、选言判断选言判断和假言判断假言判断。

Page4按判断的质质来分，判断可分为肯定判断肯定判断和否定判断否定判断。

按判断的量量来分，则可分为全称判断全称判断和特特称判断称判断。

数学中常用的四种判断形式数学中常用的四种判断形式全称肯定判断全称肯定判断（A），其逻辑形式是：

“所有的S都是P”，简记为SAP；

全称否定判断全称否定判断（E），其逻辑形式是：

“所有的S都不是P”，简记为SEP；

特称肯定判断特称肯定判断（I），其逻辑形式是：

“有些S是P”，简记为SIP；

Page5特称否定判断特称否定判断（O），其逻辑形式是：

“有些S不是P”，简记为SOP；

判断的结构判断的结构2命题及其基本运算命题及其基本运算表述数学判断的语句则称为数学命题（判断判断）=（量项量项）+（主项主项）+（联项联项）+（谓项谓项）什么是命题？

什么是命题？

表述判断的语句称为命题命题。

由于判断有真假判断有真假之分,故命题应具有可判性、有真假之分。

真命题与假命题真命题与假命题Page6如“”和“”，由于含有变量x，故无法判断其真假，这样的语句称为开句开句，不是命题,但若当x赋值后,则它都可成为数学命题。

就是将命题符号化、形式化，将若干命题用逻辑联系词联结起来构建新的命题，由于关键是逻辑联系词，因此，命题运算实际上是命题的逻辑联结。

命题的运算（复合）命题的运算（复合）Page7命题的基本运算否定（非）、合取（与、且、联言命题）、析取（或、选言命题）、蕴涵、等价。

（1）否定（非否定（非“”）给一个命题p，它与“”构成复合命题“p”，称为命题p的否定，也称为负命题。

否定真值表pp1001Page8

（2）合取（与、且合取（与、且“”）给定两个命题p,q，用连接词“”联结起来，构成复合命题“pq”,称为命题命题p,q的合取式的合取式，也称为联言命题联言命题。

合取真值表pqpq110010101000Page9（3）析取（或析取（或“”）给定两个命题p,q，用连接词“”联结起来，构成复合命题“pq”,称为命题命题p,q的析取式的析取式，也称为选言命题选言命题。

析取真值表pqpq110010101110Page10（4）蕴涵蕴涵（若若则则、如果、如果那么那么“”）给定两个命题p,q，用连接词“”联结起来，构成复合命题“pq”,称为命题命题p,q的蕴含式的蕴含式，也称为假言命题假言命题。

其中p叫做前件（或条件）,q叫做后件（或结论）。

蕴含真值表pqpq110010101011Page11（5）等价（当且仅当）等价（当且仅当）给定两个命题p,q,用连接词“”联结起来，构成复合命题“pq”,称为命题命题p,q的等值式的等值式，也称为充要条件假言命题充要条件假言命题。

等价真值表pqpq110010101001Page12例1求复合命题（pq）p的真值。

例2求复合命题pq的真值。

复合命题的真值复合命题的真值Page13常用的逻辑等价式：

常用的逻辑等价式：

若两个命题的真值完全相同，则这两个命题称为等假命题（或逻辑等价）.记着“”.逻辑等价的两个命题，在推理证明时可以互相替换.常用的逻辑等价式有：

幂等律：

ppp，ppp.交换律：

ppqp，ppqp.结合律：

（pq）rp（qr）,（pq）rp（qr）,分配律：

p（qr）（pq）（pr）,p（qr）（pq）（pr）.Page14吸收律：

p（pq）p,p（pq）p.DeMorgun律：

（pq）pq,（pq）pq.双否律：

（p）p.幺元律：

p0p,p1p.极元律：

p11,p00.互补律：

pp1,pp0.利用逻辑等价可以将复杂的命题简单化，也可推证两个命题的等价关系.Page153命题运算应用举例命题运算应用举例

（1）反映逻辑思维的基本规律）反映逻辑思维的基本规律同一律。

在同一思维过程中，每一思想都必须是严格确定的和同一的。

它的公式是AA,表示成命题形式AA。

由真值表知它是恒真命题.AAA1011同一律要求：

思维对象应保持同一；

表示同一事物的概念应保持同一.Page16矛盾律。

在同一思维过程中，同一对象的两个互相矛盾的思想不能同真。

它的公式是（AA）（A与非A不能同真）。

由真值表可知它是一个恒真命题。

AAAA（AA）10010011矛盾律是同一律的引申，它是用否定形式来表达同一律的内容.同一律说：

p是p；

矛盾律说：

p不是p.Page17排中律。

在同一思维过程中，同一对象的两个互相矛盾的思想必有一真。

它的公式是AA（A或非A），易证它是一恒真命题。

排中律要求思维要有明确性，避免模棱两可.它是同一律和矛盾律的补充和发挥，进一步指明正确的思维不仅要求确定、互不矛盾，而且应该明确地表示肯定或否定，不能模棱两可，不可含糊不清.矛盾律和排中律是反证法的逻辑基础.当要证明某一命题的真实性有困难时，根据排中律，只要证明这一命题的负命题是假的即可.Page18

（2）命题的四种形式及关系）命题的四种形式及关系原命题：

pq逆命题：

qp（换位）否命题：

pq（换质）逆否命题：

qp从真值表容易证明,原命题与其逆否命题等价，逆命题与否命题等价。

即：

pqqp.以上结论也可以用命题运算律加以证明，如：

pqpqqp（q）pqpPage19命题的四种形式原命题：

若P,则Q.逆命题：

若P,则Q.逆否命题：

若P,则Q.否命题：

若P,则Q.（互逆）（互逆）互否互否互逆否Page20（3）命题的制作命题的制作逆命题的制作逆命题的制作直接换位得逆命题将一个复合命题中相同个数的条件、结论（不是全部）交换位置得逆命题“偏逆命题”例如：

命题“若a0,b0,则ab0”有两个条件和一个结论,因此,它有一个逆命题“若ab0,则a0,b0”和两个偏逆命题“若ab0,b0,则a0”及“若ab0,a0,则b0”。

Page21当命题的条件、结论中含有选言判断,在制作逆命题时,选言判断只能当作一个整体,不能再加分解。

例如,命题“若a0或a0或a0”而没有偏逆命题。

逆否命题的制作逆否命题的制作简单命题的逆否命题的制作,只需将条件、结论先否定,再换位即可。

Page22（4）命题的条件命题的条件充分条件、必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件。

复合命题的逆否命题制作，则需通过命题运算才能得到。

例如,求命题“若a=0或b=0,则ab=0”的逆否命题。

应首先将命题表述为（a=0）（b=0）（ab=0）；

然后进行命题运算：

（ab=0）（a=0）（b=0）（ab0）（a0）（b0）最后,得逆否命题“若ab0,则a=0且b=0”。

Page23若命题pq真,则称p是q成立的充分条件充分条件；

若命题qp真,则称p是q成立的必要条件必要条件；

若命题pq与pq同真,则称p是q成立的充要充要条件条件（既充分又必要条件既充分又必要条件）；

若命题pq与pq同假,则称p是q成立的既不既不充分又不必要条件。

充分又不必要条件。

1100序号pq1010pqqp10111101Page24分析上表：

当pq真时,p真足可保证q也真（不排除p假时q还可真）,因而p是q的充分条件；

当qp真时,没有p真就不会有q真（不排除有了p真还可q假）,因而p是q的必要条件；

当pq与qp同真时,p与q同真假,因而p与q互为充要条件；

由此,命题条件与结论间的逻辑关系可分为四种情形：

p是是q的充分而非必要条件的充分而非必要条件（表中的）；

p是是q的必要而非充分条件的必要而非充分条件（表中的）；

p是是q的充的充要条件要条件（表中的）；

p是是q成立的既不充分又不成立的既不充分又不必要条件。

必要条件。

Page25（5）命题的合并同一数学对象诸性质定理的合并同一数学对象诸判定定理的合并例如，设p：

两直线平行,：

同位角相等,：

内错角相等。

则命题p,p可合并为：

（p）（p）（p）（p）p（）p（）即：

两直线平行，则同位角且内错角相等。

应用命题运算，将几个简单命题合并成一个形式简单的复合命题，称为命题的合并.Page26在上例中，两判定定理“若同位角相等，则两直线平行”、“若内错角相等，则两直线平行”，可合并为：

这就是：

两直线被第三直线所截，若同位角或内错角相等，则这两直线平行。

Page27（6）对含有量词的命题否定）对含有量词的命题否定命题中的量词常用两个：

表示全体的全称量词表示部分的特称量词含有量词命题的否定，有下述关系成立：

（p（x）x（p（x）x（p（x）.Page28二、数学命题的教学二、数学命题的教学数学中的定义、法则、定律、公式、性质、公理、定理等，都是数学命题.数学命题是数学知识的主体，它与概念、推理、证明有着密切的联系：

命题由概念组成，概念由命题揭示；

命题是组成推理的要素，而很多数学命题是经过推理获得的；

命题是证明的的重要依据，而命题的真实性一般都需要经过证明才能确认.数学命题教学的基本任务，是使学生认识命题的条件和结论，掌握证明命题的推理过程和证明方法，运用所学的命题进行计算、推理或论证，提高数学基本能力，解答实际问题.并在此基础上，使学生弄清数学命题间的关系，把学过的命题系统化，形成结构紧密的知识体系.Page291重视数学命题引入的教学重视数学命题引入的教学

（1）发现式引入，即通过实践去发现

（2）过渡性引入2重视数学命题证明与推导的教学重视数学命题证明与推导的教学3重视数学命题应用的教学重视数学命题应用的教学4重视建立数学命题系统知识的教学重视建立数学命题系统知识的教学（五）数学命题教学基本要求Page30思考题：

1.什么是判断？

2.常用的逻辑联结词有哪些？

3.什么是逻辑等价？

4.指出命题四种形式的相互关系.5.写出命题“等腰三角形顶角的平分线也是底边的中垂线”的逆命题和逆否命题.6.何谓充分条件？

何谓必要条件？