第五章.地理要素间的相关分析与回归分析PPT文档格式.ppt

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二、多要素间相关程度的测定偏相关系数的计算与检验复相关系数的计算与检验

（一）偏相关系数的计算与检验

（一）偏相关系数的计算与检验定义：

在多要素所构成的地理系统中，先不考虑其他要素的影响，而单独研究两个要素之间的相互关系的密切程度，这称为偏相关。

用以度量偏相关程度的统计量，称为偏相关系数。

n偏相关系数的计算偏相关系数的计算计算：

3个要素的偏相关系数（3.1.5）（3.1.6）（3.1.7）4个要素的偏相关系数（3.1.8）（3.1.9）（3.1.10）（3.1.11）例如：

对于某4个地理要素x1，x2，x3，x4的23个样本数据，经过计算得到了如下的单相关系数矩阵：

利用公式计算一级偏向关系数，如表3.1.6所示：

r1234r1324r1423r2314r2413r3412-0.1700.8020.635-0.1870.821-0.337r123r132r142r143r231r241r243r241r3420.8210.8080.6470.895-0.8630.9560.945-0.8750.371利用公式计算二级偏相关系数，如表3.1.7所示：

4个要素的一级偏相关系数有12个，这里给出了9个；

二级偏相关系数有6个，这里全部给出来了。

表表3.1.63.1.6一级偏相关系数一级偏相关系数表表3.1.73.1.7二级偏相关系数二级偏相关系数n偏相关系数的性质偏相关系数的性质偏相关系数分布的范围在-1到1之间；

偏相关系数的绝对值越大，表示其偏相关程度越大；

偏相关系数的绝对值必小于或最多等于由同一系列资料所求得的复相关系数，即R123|r123|。

n偏相关系数的显著性检验偏相关系数的显著性检验偏相关系数的显著性检验，一般采用t检验法。

其统计量计算公式为式中：

为偏相关系数;

n为样本数；

m为自变量个数。

（3.1.14）查t分布表，在自由度为23-3-1=19时，t0.001=3.883，显然，这表明在置信度水平=0.001上，偏相关系数r2413是显著的。

譬如，对于上例计算得到的偏相关系数，由于n=23，m=3，故

（二）复相关系数的计算与检验

（二）复相关系数的计算与检验复相关系数：

反映几个要素与某一个要素之间的复相关程度。

n复相关系数的计算复相关系数的计算当有两个自变量时当有三个自变量时（3.1.15）（3.1.16）当有k个自变量时（3.1.17）复相关系数的性质复相关系数介于0到1之间，即复相关系数越大，则表明要素（变量）之间的相关程度越密切。

复相关系数为1，表示完全相关；

复相关系数为0，表示完全无关。

复相关系数必大于或至少等于单相关系数的绝对值。

n复相关系数的显著性检验复相关系数的显著性检验F检验法。

其统计量计算公式为（3.1.18）例题：

在上例中，若以x4为因变量，x1，x2，x3为自变量，试计算x4与x1，x2，x3之间的复相关系数。

解：

按照公式（3.1.16）计算检验：

，故复相关达到了极显著水平。

第2节地理要素间的回归分析一元线性回归模型多元线性回归模型非线性回归模型一、一元线性回归模型定义：

假设有两个地理要素（变量）x和y，x为自变量，y为因变量。

则一元线性回归模型的基本结构形式为式中：

a和b为待定参数；

为各组观测数据的下标；

为随机变量。

（3.2.1）记和分别为参数a与b的拟合值，则一元线性回归模型为（3.2.2）式代表x与y之间相关关系的拟合直线，称为回归直线；

是y的估计值，亦称回归值。

（3.2.2）参数a与b的最小二乘拟合原则要求yi与的误差ei的平方和达到最小，即根据取极值的必要条件，有（3.2.4）

（一）参数

（一）参数a、b的最小二乘估计的最小二乘估计（3.2.3）（3.2.5）（3.2.6）解上述正规方程组（3.2.4）式，得到参数a与b的拟合值

（二）一元线性回归模型的显著性检验

（二）一元线性回归模型的显著性检验方法：

F检验法。

总的离差平方和：

在回归分析中，表示y的n次观测值之间的差异，记为可以证明（3.2.9）（3.2.8）在式（3.2.9）中，Q称为误差平方和，或剩余平方和而称为回归平方和。

统计量FF越大，模型的效果越佳。

统计量FF（1，n-2）。

在显著水平下，若FF，则认为回归方程效果在此水平下显著。

一般地，当FF0.10（1,n-2）时，则认为方程效果不明显。

（3.2.10）二、多元线性回归模型n回归模型的建立回归模型的建立多元线性回归模型的结构形式为（3.2.11）式中：

为待定参数；

回归方程:

如果分别为式（3.2.11）中的拟和值，则回归方程为在（3.2.12）式中，b0为常数，b1,b2,bk称为偏回归系数。

偏回归系数的意义是，当其他自变量都固定时，自变量每变化一个单位而使因变量平均改变的数值。

（3.2.12）偏回归系数的推导过程:

根据最小二乘法原理，的估计值应该使由求极值的必要条件得方程组（3.2.14）式经展开整理后得（3.2.13）（3.2.14）方程组（3.2.15）式称为正规方程组。

引入矩阵（3.2.15）则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式求解得引入记号（3.2.16）正规方程组也可以写成n回归模型的显著性检验回归模型的显著性检验回归平方和U与剩余平方和Q：

回归平方和剩余平方和为F统计量为计算出来F之后，可以查F分布表对模型进行显著性检验。

n非线性关系线性化的几种情况非线性关系线性化的几种情况对于指数曲线，令,可以将其转化为直线形式：

，其中，；

对于对数曲线，令，可以将其转化为直线形式：

；

对于幂函数曲线，令，可以将其转化为直线形式：

其中，；

三、非线性回归模型对于双曲线，令，转化为直线形式：

对于S型曲线，可转化为直线形式：

对于幂乘积，只要令，就可以将其转化为线性形式其中，；

对于对数函数和只要令，就可以将其化为线性形式例例:

表3.2.1给出了某地区林地景观斑块面积（area）与周长（perimeter）的数据。

下面我们建立林地景观斑块面积A与周长P之间的非线性回归模型。

序号面积A周长P序号面积A周长P110447.370625.39242232844.3004282.043215974.730612.286434054.660289.307330976.770775.7124430833.840895.98049442.902530.202451823.355205.131510858.9201906.1034626270.300968.060621532.9101297.9624713573.9601045.07276891.680417.0584865590.0802250.43583695.195243.90749157270.4002407.54992260.180197.239502086.426266.54110334.33299.729513109.070261.8181111749.080558.921522038.617320.396122372.105199.667533432.137253.335138390.633592.893541600.391230.030146003.719459.467553867.586419.406表3.2.1某地区各个林地景观斑块面积（m2）与周长（m）15527620.2006545.291561946.184198.66116179686.2002960.4755777.30556.9021714196.460597.993587977.719715.7521822809.1801103.0705919271.8201011.1271971195.9401154.118608263.480680.710203064.242245.0496114697.1301234.11421469416.7008226.009624519.867326.317225738.953498.6566313157.6601172.916238359.465415.151646617.270609.801246205.016414.790654064.137437.3552560619.0201549.871665645.820432.3552614517.740791.943676993.355503.7842731020.1001700.965684304.281267.9512826447.1601246.977696336.383347.136297985.926918.312702651.414292.235303638.766399.725712656.824298.47331585425.10011474.770721846.988179.8663235220.6401877.476731616.684172.8083310067.820497.394741730.563172.1433427422.5701934.5967511303.970881.0423543071.5501171.4137614019.790638.1763657585.9402275.389779277.172862.0883728254.1301322.7957813684.750712.78738497261.0009581.298791949.164228.4033924255.030994.906804846.016324.481401837.699229.40181521457.4007393.938411608.625225.84282564370.80012212.410解解:

（1）作变量替换，令：

，将表3.2.1中的原始数据进行对数变换，变换后得到的各新变量对应的观测数据如表3.2.2所示。

序号y=lnAx=LnP序号y=lnAx=LnP19.2541066.4383794212.358138.36218629.6787636.4172438.3076225.667487310.340996.6537824410.336376.79791849.1530196.273258457.5084335.3236559.2927427.5528164610.176196.87529469.9773387.168551479.5159096.95184178.838076.0332264811.091187.71887988.2147895.4967894911.965727.78636497.72325.284414507.6432085.585528105.8121354.602457518.0420795.567651119.371536.326008527.6200275.769558表3.2.2经对数变换后的数据127.7715335.296653538.1409385.534711139.0348716.385013547.3780035.438211148.7001346.130066558.2603866.0388391513.176138.786501567.5736265.2915971612.098977.993105574.3477554.041328179.5607