多元函数微分法应用-极值与最值PPT资料.ppt

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在点（0,0）有极小值;

在点（0,0）有极大值;

在点（0,0）无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有（极小值）.目录上页下页返回结束提示提示:

由题设例例1.已知函数（D）根据条件无法判断点（0,0）是否为f（x,y）的极值点.则（）的某个邻域内连续,且A（2003考研）目录上页下页返回结束说明说明:

使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理定理1（必要条件）函数偏导数,证证:

据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点（0,0）,但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故目录上页下页返回结束定理定理1（必要条件）函数偏导数,且在该点取得极值,则有存在时,具有极值定理定理2（充分条件）的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令则:

1）当A0时取极小值.2）当3）当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数且目录上页下页返回结束1.函数的极值问题函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题函数的条件极值问题

（1）简单问题用代入法如对二元函数

（2）一般问题用拉格朗日乘数法二、二、多元函数的极值的一般步骤多元函数的极值的一般步骤目录上页下页返回结束设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别比较驻点及边界点上函数值的大小根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域（及约束条件）3.函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点.目录上页下页返回结束例例2.2.求函数解解:

第一步第一步求驻点求驻点.得驻点:

（1,0）,（1,2）,（3,0）,（3,2）.第二步第二步判别判别.在点（1,0）处为极小值;

解方程组的极值.求二阶偏导数目录上页下页返回结束在点（3,0）处不是极值;

在点（3,2）处为极大值.在点（1,2）处不是极值;

目录上页下页返回结束例例44.解解:

设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?

因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.目录上页下页返回结束例例3.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解解:

设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？

的长方体开口水箱,试问目录上页下页返回结束得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为目录上页下页返回结束例例4.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解解:

设为抛物面上任一点，则P的距离为问题归结为约束条件:

目标函数:

作拉氏函数到平面目录上页下页返回结束令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故目录上页下页返回结束已知平面上两定点A（1,3）,B（4,2）,试在椭圆圆周上求一点C,使ABC面积S最大.解答提示解答提示:

设C点坐标为（x,y）,则例例5.目录上页下页返回结束设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与E重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停目录上页下页返回结束例例6.设均可微,且在约束条件（x,y）0下的一个极值点,已知（x0,y0）是f（x,y）下列选项正确的是（）提示提示:

设（）代入（）得D（2006考研）