《线性代数》电子教案-总复习PPT文件格式下载.ppt

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推论:

行列式有两行（列）相同，则此行列式为零。

性质3行列式的某一行（列）的所有元素乘以数k，等于用数k乘以该行列式。

行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外。

性质4行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零。

第一部分第一部分第一部分第一部分行列式行列式行列式行列式线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习行行列列式式排列概念性质展开式计算应用性质5若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，即若性质6行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列式值不变。

则此行列式等于两个行列式之和，即第一部分第一部分第一部分第一部分行列式行列式行列式行列式线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习行行列列式式排列概念性质展开式计算应用第一部分第一部分第一部分第一部分行列式行列式行列式行列式代数余代数余子式子式一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij,令Aij=

（1）i+jMij,并称之为aij的代数余子式.线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习行行列列式式排列概念性质展开式计算应用第一部分第一部分第一部分第一部分行列式行列式行列式行列式克莱姆法则（求解齐次线性方程组的一种方法）齐次线性方程组有非零解的充分条件三角化法递推法提取公因子法展开法拆行法箭形行列式拉普拉斯定理线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习其它几个重要定理及结论：

定理n阶行列式的某一行（列）元素与另一行（列）的对应的代数余子式乘积之和为零.即ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0（ij）a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0（ij）.上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积第一部分第一部分第一部分第一部分行列式行列式行列式行列式线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第二部分第二部分第二部分第二部分矩阵矩阵矩阵矩阵第二部分第二部分第二部分第二部分矩阵矩阵矩阵矩阵矩矩阵阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换mn个数构成的m行n列的数表加法：

A+B=（aij+bij）,A、B是同型矩阵A+B=B+A,（A+B）+C=A+（B+C）,A+O=A,A+（A）=O,数乘：

kA=k（aij）k（lA）=（kl）A,（k+l）A=kA+lA,k（A+B）=kA+kBcij=aikbkj.k=1s矩阵乘法：

AB=C，其中C是mn矩阵.（AB）C=A（BC）,A（B+C）=AB+AC,（A+B）C=AC+BC,（kA）B=k（AB）.线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第二部分第二部分第二部分第二部分矩阵矩阵矩阵矩阵第二部分第二部分第二部分第二部分矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换转置：

A=（aij）,AT=（aji）（AT）T=A,（kA）T=kAT,（A+B）T=AT+BT,（AB）T=BTAT.方阵的行列式：

设A=aijnn为方阵,元素aij的代数余子式为Aij,则称如下矩阵为方阵A的伴随矩阵.矩矩阵阵线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第二部分第二部分第二部分第二部分矩阵矩阵矩阵矩阵矩矩阵阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换定义:

设A为方阵,若存在方阵B,使得AB=BA=E.则称A可逆,并称B为A的逆矩阵.注意：

A可逆detA0（A1）1=A.（AT）1=（A1）T.（kA）1=k1A1.（AB）1=B1A1.运算性质逆阵的求法:

定义法用伴随矩阵用初等行变换（AE）（A-1A）逆阵的证法:

A0，R（A）=n,线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第二部分第二部分第二部分第二部分矩阵矩阵矩阵矩阵矩矩阵阵矩阵概念矩阵运算伴随矩阵逆矩阵特殊矩阵矩阵的秩初等变换单位矩阵对角矩阵初等矩阵对称矩阵定义：

非0子式的最高阶数求法：

初等变换或定义的性质：

经初等变换矩阵的秩不变几种常用的初等变换及对应的初等矩阵行阶梯矩阵、行最简型、标准型线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习其它几个重要定理及结论：

第二部分第二部分第二部分第二部分矩阵矩阵矩阵矩阵矩阵等价：

矩阵等价：

若矩阵A经过有限次初等变换化为B,则称A与B等价.记为AB.（注意与相似、合同、正交相似的区别）A与B等价R（A）=R（B）定理.方阵A可逆的充要条件是A可写成有限个初等矩阵的乘积.推论1.方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵行等价。

推论2.mn阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B。

与等价有关的重要定理定理.对mn矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的初等矩阵;

对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的初等矩阵.线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第三部分第三部分第三部分第三部分向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解第三部分第三部分第三部分第三部分向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解n维维向向量量运算线性表示线性相关性k11+k22+knn=0ki均为0，则1,2,n线性无关只要有一个ki不为0，1,2,n线性相关极大无关组：

极大无关组：

向量组A中，能找到r个向量线性无关，任意r+1个线性相关，则这r个向量构成的向量组是A的一个极大无关组。

求法：

非零子式法、初等变换法极大无关组包含的向量的个数极大无关组向量组的秩向量组与矩阵的关系线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第三部分第三部分第三部分第三部分向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解矩阵A=（1,2,s）列向量组列向量组列向量组列向量组:

11,22,ss注：

行向量的问题与列向量相同矩阵矩阵AA的秩的秩R（AA）向量组的秩向量组的秩RRTT最高阶非零子式最高阶非零子式极大无关组极大无关组线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第三部分第三部分第三部分第三部分向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解线性方程组Ax=bb=0?

齐次方程组是否非齐次方程组行阶梯形矩阵初等行变换R（A）nR（A）R（Ab）解的结构基础解系有无非零解有解判定3.4.13.4.1齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组第三章第三章第三章第三章线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组例.求的基础解系与通解.解:

初等行变换该方程组的基础解系可取为通解为第三章第三章第三章第三章线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组3.4.23.4.2非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组解:

初等行变换可见原方程组有解,且例.求方程组的通解.第三章第三章第三章第三章线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组3.4.23.4.2非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组由此可得原方程组的通解可见原方程组有解,且向量组的线性相关性与非齐次方程组解的关系线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第三部分第三部分第三部分第三部分向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解有解无解向量b能由1,2,n线性表示？

是否Ax=（1,2,n）x=b有无穷多组解有唯一解有效方程数少于未知数个数？

R（A）R（Ab）?

是否R（A）R（Ab）n?

无有Ax=b有矛盾方程?

方程组有解方程组无解否是是否向量组的线性相关性与齐次方程组解的关系线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第三部分第三部分第三部分第三部分向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解向量组的线性相关性与线性方程组的解有非零解只有零解向量组1,2,n线性相关？

是否Ax=（1,2,n）x=0R（A）nR（A）=n注意：

齐次线性方程组不会出现矛盾方程。

只有零解有无穷多组非零解R（A）n?

是否有效方程数少于未知数个数？

否是线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第四部分第四部分第四部分第四部分空间解析几何空间解析几何空间解析几何空间解析几何向量代数向量概念线性运算向量表示法数量积向量积混合积*向量、模、单位向量、零向量加法和数乘定义性质第四部分第四部分第四部分第四部分空间解析几何空间解析几何空间解析几何空间解析几何线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习向量代数向量概念线性运算向量表示法数量积向量积混合积*定义：

定义：

计算：

应用：

性质：

？

第四部分第四部分第四部分第四部分空间解析几何空间解析几何空间解析几何空间解析几何线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第四部分第四部分第四部分第四部分空间解析几何空间解析几何空间解析几何空间解析几何向量代数向量概念线性运算向量表示法数量积向量积混合积*定义：

1/计算三角形面积计算三角形面积2/寻找同时垂直两个向量的向量寻找同时垂直两个向量的向量性质：

不满足交换律性质：

不满足交换律线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第四部分第四部分第四部分第四部分空间解析几何空间解析几何空间解析几何空间解析几何解析几何平面方程直线方程曲面曲线点法式：

定点、定法向截距式一般式点向式（对称）：

两定参数式：

便于求交点一般式：

两个平面的交距离、投影线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第四部分第四部分第四部分第四部分空间解析几何空间解析几何空间解析几何空间解析几何解析几何平面方程直线方程曲面曲线旋转曲面常见二次曲面求曲线在坐标面上的投影解析几何线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习线性代数总复习第五部分第五部分第五部分第五部分向量空间向量空间向量空间向量空间第五部分第五部分第五部分第五部分向量空间与线性空间向量空间与线性空间向量空间与线性空间向量空间与线性空间向向量量空空间间