随机信号分析课件1(常建平)PPT资料.ppt

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近几年来，随着现代科学技术，特别是信息科学技术的发展，随机信号处理已是是现代信号处理的重要理论基础和有效方法之一现代信号处理的重要理论基础和有效方法之一。

然而随着现代化发展的需要，掌握这套方法，已不仅仅是我们通信、信息类专业的要求，也已成为所有科技领域、金融、管理、生物医学等许多专业的需要。

课程的特点与研究方法课程的特点与研究方法v学会用统计的观点来看研究对象随机信号v由于随机信号是随机变化和不确定的，只有它的统计规律才是确定的，因此对随机信号而言，从描述方式、推演方式到分析方法都是在统计意义上讨论与定义的。

所以必须学会用统计的观点来看所有随机的问题。

v学习时必须注重物理概念的理解v该课程是电子信息类和相关专业的一门专业基础课程，不是一门数学课程，课程中用到的许多数学理论是处理随机信号问题的数学工具。

因此，学习时除了注意处理随机信号的方法外，更重要的是深入理解数学推演结果、结论的物理意义。

对一些复杂的数学推演的中间步骤不必死记硬背，更不必深究其数学上的严密性，重在弄清楚来龙去脉，掌握分析的思路与方法。

1.11.1概率空间概率空间随机试验随机试验在相同条件下可以重复进行；

每次试验的可能结果不止一个；

在试验前不能预测哪个会出现。

随机事件随机事件随机试验中可能出现的结果。

基本事件基本事件随机试验中的“不可能再分的”最小的随机事件。

又称“样本点”。

样本空间样本空间随机试验中所有可能结果“样本点”的集合。

第第11章章概率论概率论常建平一、一、事件的运算事件的运算（事件的关系）（事件的关系）A事件A发生必然导致事件B发生的事件称事件B包含事件A。

记：

BABA与B中，只要有一个发生且发生的事件称A与B的“和事件”。

ABA与B同时发生才发生的事件称A与B的“积事件”记：

ABBAABABA与B不可能同时发生的事件称A与B“互不相容”。

AB（空集）A发生，而B不发生的事件称A与B的“差事件”。

ABBABAA不发生的事件称事件A的“逆”。

AAAA二、二、概率的定义概率的定义若某一个随机试验E

（1）.它的全部可能结果样本空间中所有样本点数只有有限个。

（2）.每个结果的发生是等可能的。

那么，E中任意事件A发生的概率P（A）为：

11、概率的古典定义概率的古典定义22、概率的几何定义概率的几何定义将某一个随机试验E（含有无穷多个样本点）的样本空间，用m维空间中某一个有界区域表示，而对这一区域的大小的“度量”用L（）表示，（它可以是一维空间的长度，二维空间的面积，三维空间的体积）。

A若随机试验E等效为均匀地向区域投掷一随机点。

事件A（的子集）等效为中任一可能出现的小区域，L（A）是A的度量。

由于是均匀投掷均匀投掷的随机点，所有样本点的发生是等可能等可能的。

因此随机点落入区域A的概率则为“度量”之比：

区间区间A的度量的度量区间区间B的度量的度量3、概率的统计定义概率的统计定义随机事件A在某组的n次试验中出现nA次，比值称作事件A在这组的n次试验中出现的频率。

定义：

在试验E的n次重复试验中，事件A发生的概率：

频率具有随机性频率具有随机性，当n有限时，这组的n次试验中的频率fn（A）与下一组的n次试验中的频率fn（A）可能不同。

但概率概率P（A）却是固定却是固定不变的不变的。

频率fn（A）只有在n时，才趋于概率。

在概率论的发展史概率论的发展史上，人们曾针对不同问题，从不同角度给出了概率的三种定义和计算方法。

这三种定义和计算方法都具有各自的适用范围，存在一定的局限性，但在三种定义下概率的性质却是完全相同的。

因此，人们从概率的性质出发，给概率赋予一个新的数学定义，即概率的公理化定义概率的公理化定义。

这个定义只指明概率应具有的基本性质，不具体规定概率的计算方法。

4、概率的公理化定义概率的公理化定义事件域F是由样本空间中的某些子集构成的非空集类。

集类是指以集为元素的集合。

若定义在事件域F上的一个集合函数P满足下列三个条件：

非负性：

规范性：

完全可加性：

若且两两互不相关时，有则称P为概率。

样本空间事件域F和概率P构成的总体称为随机试验E的概率空间概率空间。

单调性：

若，则55、概率的性质、概率的性质给定概率空间，从概率的公理化定义的三个条件，可以推出概率的性质：

不可能事件的概率为0，P（）=0必然事件的概率为1，P（）=1逆事件的概率为，有限可加性：

若，且两两互不相容，则加法公式：

次可加性：

1.1.21.1.2条件概率条件概率P（A/B）-在B事件已发生的条件下，A事件发生的概率。

可以看成是在缩小的“样本空间B”上,求A发生的概率。

即：

BA一、条件概率的定义同理可得：

若A于B互不相容P（AB）=0，则P（A/B）=0，P（B/A）=0。

且有：

ABB合格品数合格品数次品数次品数总数总数第第1台台35540第第2台台501060总计总计8515100由条件概率公式求，利用缩小的样本空间来求，例例1.2两台车床加工同一种零件，从这100个零件中任取一个.设取得合格品为事件A，取得的是第1台加工的为B1，取得的是由第2台加工的为B2。

求由各台车床加工时，出合格品的概率？

解：

由第一台加工出合格品的概率为，由第一台加工出合格品的概率为，由概率的古典定义：

由条件概率公式可推出：

P（AB）=P（A/B）P（B）P（B/A）P（A）以此类推可得：

二、条件概率的基本公式11、乘法公式、乘法公式例例1.3一批零件共100个，次品率为10。

每次从其中任取一个，取出后不再放回，求第三次才取得合格品的概率？

设第一次取出零件是次品为事件A1，第二次取出零件是次品为事件A2，第三次取出零件是合格品为事件A3。

由乘法公式求出22、全概率公式、全概率公式AB1B2BiBn解：

设一批产品中有i个次品的事件为。

则有例例1.4某工厂生产的产品以100个为一批。

在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，若发现其中有次品，则认为这批产品不合格。

假定每批中的次品最多不超过4个，且有如下分布，求各批产品通过检查的概率？

一批产品中的次品数01234概率0.10.20.40.20.1设事件A表示这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品。

则由全概率公式求出3、贝叶斯（、贝叶斯（Bayes）公式）公式设事件A已发生，而事件A发生是由事件B的发生所引起的概率为其中是完备的事件群后验概率后验概率例例1.5（例1.2续）求：

取出的合格品是由第一台车床加工的概率？

取出的合格品是由第一台车床加工的概率由Bayes公式求出比较由前得出的与可见，尽管第一台车床加工时，出合格品的概率比较高，担由于第一台加工的零件个数少于第二台加工零件的个数。

所以，取出的合格品是由第一台车床加工的可能性却比较小。

二、两个事件的相容性二、两个事件的相容性（属集合论范畴）两个事件互不相容表示两个事件不能同时发生。

如果把“A与B互不相容”放在概率论范畴去讨论，则表示“A发生发生B就不能发生就不能发生”。

因A限制了B，则A与B相关。

反之，若把“A与B相互独立”放在集合论范畴去讨论，由于P（AB）=P（A）P（B）0,P（A）0,P（B）0，即AB,由于A与B可以同时发生，则A与B必定相容。

1.1.31.1.3事件的独立事件的独立一、两个事件独立一、两个事件独立A发生的概率与B发生与否无关。

即P（A/B）P（A）B发生的概率与A发生与否无关。

即P（B/A）=P（B）由乘法公式P（AB）=P（A/B）P（B）P（B/A）P（A）P（A）P（B）三、多个事件相互独立三、多个事件相互独立定义：

设是n个事件，若对于任意有习题：

习题：

1-2，1-4，1-5，1-6，1-7，1-8如A,B,C相互独立的条件：

P（AB）=P（A）P（B）,P（AC）=P（A）P（C）P（BC）=P（B）P（C）,P（ABC）=P（A）P（B）P（C）则称事件是相互独立的。

易见，若相互独立，则它们之中任意m（m0,x20）映射到平面，找出（Y1,Y2）的值域。

（Y1,Y2）的值域（Y10,|y2|y1）或0|y2|y1因此由边缘公式：

112，113，114，115，1162、多值变换三.n维随机变量函数变换四.设函数存在唯一反函数Jacobian例例1.20设已知n维随机变量的概率密度求n维随机变量和的概率密度？

1.5随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.5.1随机变量及其函数的数学期望随机变量及其函数的数学期望一、一维随机变量的数学期望二、一维随机变量函数的数学期望由已知随机变量X的分布，求其函数Yg（X）的数学期望。

由于1、当g（）是单值变换时因为所以2、当g（）是多值变换时其中无论g（）是单值还是多值变换，函数g（X）的期望为：

例例1.22随机变量X在区间（a,b）上均匀分布，求的数学期望。

由于X服从均匀分布，概率密度为函数的期望三、二维随机变量及其函数的数学期望三、二维随机变量及其函数的数学期望1、二维随机变量的数学期望设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度已知，其二维概率质量分布的“重心坐标”应该为2、二维随机变量函数的数学期望当（X,Y）是离散离散随机变量时，函数的期望为例例1.23设n维随机变量X1,Xn的函数其中权重ai是常数。

求函数的期望？

即，随机变量和的期望随机变量期望的和即，随机变量和的期望随机变量期望的和例例1.24设n维随机变量X1,Xn的函数其中n个变量独立变量独立。

即，独立随机变量积的期望独立随机变量期望的积即，独立随机变量积的期望独立随机变量期望的积六、数学期望的基本性质六、数学期望的基本性质

（1）若aXb,（a,b为常数）,则aEXb

（2）常数C的期望EC=C（3）（ai，b为任意常为任意常数数）（4）若X1,X2,Xn相互独立，则1.5.2条件数学期望条件数学期望设（X,Y）是定义在同一概率空间上的二维连续型随机变量。

若已知Y关于X的条件概率密度，则由期望的定义可得Y关于X的条件期望。

（5）若X与Y互不相关，则一、随机变量关于某给定值的条件期望一、随机变量关于某给定值的条件期望同理有：

二、一个随机变量关于另一个随机变量的条件期望二、一个随机变量关于另一个随机变量的条件期望例例1.25已知随机变量X服从（0,1）的均匀分布，随机变量Y服从（X,1）上的均匀分布。

求：

条件期望，解：

根据已知条件，在给定条件下，随机变量Y的条件概率密度条件期望用随机变量X替换给定值，则条件期望是随机变量X的函数，也是个随机变量。

因为随机变量X服从（0,1）的均匀分布，函数1X服从（1,2）的均匀分布，则函数（1X）/2服从（1