高考数学函数的奇偶性复习PPT文档格式.ppt

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（11）考查定义域是否关于）考查定义域是否关于_；

（22）考查表达式）考查表达式ff（-xx）是否等于）是否等于ff（xx）或）或-ff（xx）：

）：

若若ff（-xx）=_=_，则，则ff（xx）为奇函数；

）为奇函数；

若若ff（-xx）=_=_，则，则ff（xx）为偶函数；

）为偶函数；

若若ff（-xx）=_=_且且ff（-xx）=_,=_,则则ff（xx）既是既是奇函数又是偶函数；

奇函数又是偶函数；

若若ff（-xx）-ff（xx）且）且ff（-xx）ff（xx），则），则ff（xx）既）既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.原点对称原点对称-ff（xx）ff（xx）-ff（xx）ff（xx）3.3.奇、偶函数的性质奇、偶函数的性质

（1）

（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_,_,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_（_（填填“相同相同”、“相反相反”）.

（2）

（2）在公共定义域内，在公共定义域内，两个奇函数的和是两个奇函数的和是_,_,两个奇函数的积是偶两个奇函数的积是偶函数；

函数；

两个偶函数的和、积是两个偶函数的和、积是_；

一个奇函数，一个偶函数的积是一个奇函数，一个偶函数的积是_._.奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数相同相同相反相反基础自测基础自测1.1.对任意实数对任意实数xx,下列函数为奇函数的是下列函数为奇函数的是（）A.A.yy=2=2xx-3-3B.B.yy=-3=-3xx22C.C.yy=lnln55xxD.D.yy=-|=-|xx|cos|cosxx解析解析AA为非奇非偶函数为非奇非偶函数,B,B、DD为偶函数为偶函数,C,C为奇函为奇函数数.设设yy=ff（xx）=）=lnln55xx=xxlnln5,5,ff（-xx）=-=-xxlnln5=5=-ff（xx）.C2.2.（20082008全国全国理）理）函数函数的图象关于的图象关于（）A.A.yy轴对称轴对称B.B.直线直线yy=-=-xx对称对称C.C.坐标原点对称坐标原点对称D.D.直线直线yy=xx对称对称解析解析ff（xx）是奇函数）是奇函数.ff（xx）的图象关于原点对称）的图象关于原点对称.C3.3.下列函数中既是奇函数下列函数中既是奇函数,又在区间又在区间-1,1-1,1上单调递减上单调递减的函数是（的函数是（）A.A.ff（xx）=sin）=sinxxB.B.ff（xx）=-|）=-|xx-1|-1|C.C.D.D.解析解析函数是奇函数函数是奇函数,排除排除BB、CC（BB中函数是非奇中函数是非奇非偶函数，非偶函数，CC中是偶函数），中是偶函数），-1-1，11ff（xx）=sin=sinxx在在-1,1-1,1上是增函数上是增函数,排除排除A,A,故选故选D.D.D4.4.已知已知ff（xx）=axax22+bxbx是定义在是定义在aa-1-1，22aa上的偶函数上的偶函数,那么那么aa+bb的值是的值是（）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析依题意得依题意得B5.5.（20082008福建理）福建理）函数函数ff（xx）=xx33+sin+sinxx+1（+1（xxRR）,）,若若ff（aa）=2=2，则，则ff（-aa）的值为）的值为（）A.3B.0C.-1D.-2A.3B.0C.-1D.-2解析解析设设gg（xx）=）=xx33+sin+sinxx,很明显很明显gg（xx）是一个奇函数是一个奇函数.ff（xx）=gg（xx）+1.+1.ff（aa）=gg（aa）+1=2+1=2，gg（aa）=1=1，gg（-aa）=-1=-1，ff（-aa）=gg（-aa）+1=-1+1=0.+1=-1+1=0.B题型一题型一函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断【例例11】判断下列函数的奇偶性：

判断下列函数的奇偶性：

（1）

（1）

（2）

（2）（3）（3）判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,应先检查定义域是应先检查定义域是否关于原点对称否关于原点对称,然后再比较然后再比较ff（xx）与与ff（-（-xx）之间是否之间是否相等或相反相等或相反.题型分类题型分类深度剖析深度剖析思维启迪思维启迪解解

（1）

（1）定义域关于原点对称定义域关于原点对称.故原函数是奇函数故原函数是奇函数.

（2）0

（2）0且且1-1-xx00-1-1xx1,00时时,ff（xx）=）=xx22+xx,则当则当xx00,0,故故ff（-（-xx）=）=xx22-xx=ff（xx）;

）;

当当xx000时时,-,-xx0,00或或xx00来来寻找等式寻找等式ff（-（-xx）=）=ff（xx）或或ff（-（-xx）=-）=-ff（xx）成立成立,只有当对称只有当对称的两个区间上满足相同关系时的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确分段函数才具有确定的奇偶性定的奇偶性.知能迁移知能迁移11判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:

（1）

（1）

（2）

（2）解解

（1）-2

（1）-2xx22且且xx0,0,函数函数ff（xx）的定义域关于原点对称的定义域关于原点对称.ff（-（-xx）=-）=-ff（xx）,）,即函数即函数ff（xx）是奇函数是奇函数.

（2）

（2）当当xx-11,1,ff（-（-xx）=-（-）=-（-xx）+2=）+2=xx+2=+2=ff（xx）.）.当当xx11时时,ff（xx）=-）=-xx+2,-+2,-xx-1,-1,ff（-（-xx）=（-）=（-xx）+2=-）+2=-xx+2=+2=ff（xx）.）.当当-1-1xx11时时,ff（xx）=0,-1-）=0,-1-xx1,1,ff（-（-xx）=0=）=0=ff（xx）.）.综上可知综上可知,对于定义域内的每一个对于定义域内的每一个xx都有都有ff（-（-xx）=）=ff（xx）,）,ff（xx）为偶函数为偶函数.题型二题型二函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性【例例22】已知函数已知函数ff（xx）,）,当当xx,yyRR时，恒有时，恒有ff（xx+yy）=）=ff（xx）+）+ff（yy）.）.

（1）

（1）求证：

求证：

ff（xx）是奇函数；

是奇函数；

（2）

（2）如果如果xx为正实数，为正实数，ff（xx）0,0,并且并且ff

（1）=

（1）=试求试求ff（xx）在区间在区间-2-2，66上的最值上的最值.

（1）

（1）根据函数的奇偶性的定义进行证明根据函数的奇偶性的定义进行证明,只需证只需证ff（xx）+）+ff（-（-xx）=0;

）=0;

（2）

（2）根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇偶性的应用偶性的应用.思维启迪思维启迪

（1）

（1）证明证明函数定义域为函数定义域为RR,其定义域关于原点对称其定义域关于原点对称.ff（xx+yy）=ff（xx）+ff（yy），令），令yy=-=-xx,ff（0）=（0）=ff（xx）+）+ff（-（-xx）.）.令令xx=yy=0,=0,ff（0）=（0）=ff（0）+（0）+ff（0）,（0）,得得ff（0）=0.（0）=0.ff（xx）+ff（-xx）=0=0，得，得ff（-（-xx）=-）=-ff（xx）,）,ff（xx）为奇函数为奇函数.（22）解解方法一方法一设设xx,yy为正实数，为正实数，ff（xx+yy）=ff（xx）+ff（yy），），ff（xx+yy）-ff（xx）=ff（yy）.xx为正实数，为正实数，ff（xx）0,0,ff（xx+yy）-）-ff（xx）0,）0,ff（xx+yy）xx,ff（xx）在（在（00，+）上是减函数）上是减函数.又又ff（xx）为奇函数，）为奇函数，ff（00）=0=0，ff（xx）在（）在（-,+-,+）上是减函数）上是减函数.ff（-2-2）为最大值，）为最大值，ff（6）（6）为最小值为最小值.ff

（1）=

（1）=ff（-2）=-（-2）=-ff

（2）=-2

（2）=-2ff

（1）=1,

（1）=1,ff（6）=2（6）=2ff（3）=2（3）=2ff（11）+ff（22）=-3.=-3.所求所求ff（xx）在区间在区间-2-2，66上的最大值为上的最大值为11，最小值，最小值为为-3.-3.方法二方法二设设xx110,0,ff（xx22-xx11）0.）0.ff（xx22）-）-ff（xx11）0.）0.即即ff（xx）在在RR上单调递减上单调递减.ff（-2-2）为最大值，）为最大值，ff（66）为最小值）为最小值.ff（11）=ff（-2-2）=-=-ff（22）=-2=-2ff（11）=1=1ff（66）=2=2ff（33）=2=2ff（11）+ff（22）=-3.=-3.所求所求ff（xx）在区间在区间-2-2，66上的最大值为上的最大值为11，最小值，最小值为为-3.-3.探究提高探究提高（11）满足）满足ff（aa+bb）=）=ff（aa）+）+ff（bb）的函数，只的函数，只要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数.（22）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.知能迁移知能迁移22函数函数ff（xx）的定义域为的定义域为DD=xx|xx0,0,且满且满足对于任意足对于任意xx11,xx22DD,有有ff（xx11xx22）=）=ff（xx11）+）+ff（xx22）.）.（11）求）求ff

（1）

（1）的值；

的值；

（22）判断）判断ff（xx）的奇偶性并证明你的结论；

的奇偶性并证明你的结论；

（33）如果）如果ff（4）=1,（4）=1,ff（3（3xx+1）+1）+ff（2（2xx-6）3,-6）3,且且ff（xx）在在（0（0，+）+