多元函数微分学全章(高数课件)超经典PPT课件下载推荐.ppt

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若存在点若存在点P的的某邻域某邻域U（P）E,若存在点若存在点P的的某邻域某邻域U（P）E=,若对点若对点P的的任一邻域任一邻域U（P）既含既含E中的内点也含中的内点也含E则称则称P为为E的的内点；

内点；

则称则称P为为E的的外点外点;

则称则称P为为E的的边界点边界点.机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束的外点的外点,显然显然,E的内点必属于的内点必属于E,E的外点必不属于的外点必不属于E,E的的边界点可能属于边界点可能属于E,也可能不属于也可能不属于E.

（2）聚点聚点若对若对任意给定的任意给定的,点点P的去心的去心机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束邻域邻域内总有内总有E中的点中的点,则则称称P是是E的的聚点聚点.聚点可以属于聚点可以属于E,也可以不属于也可以不属于E（因为聚点可以为因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为所有聚点所成的点集成为E的的导集导集.E的边界点的边界点）D（3）开区域及闭区域开区域及闭区域若点集若点集E的点都是的点都是内点内点，则称，则称E为为开集开集；

若点集若点集EE,则称则称E为为闭集闭集；

若集若集D中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于D的折线相连的折线相连,开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.则称则称D是是连通的连通的;

连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域,简称简称区域区域;

机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束。

E的边界点的全体称为的边界点的全体称为E的的边界边界,记作记作E;

例如，例如，在平面上在平面上开区域开区域闭区域闭区域机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束整个平面整个平面点集点集是开集，是开集，是最大的开域是最大的开域,也是最大的闭域；

也是最大的闭域；

但非区域但非区域.机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束o对区域对区域D,若存在正数若存在正数K,使一切点使一切点PD与某定点与某定点A的距离的距离APK,则称则称D为为有界域有界域,界域界域.否则称为否则称为无无3.n维空间维空间n元有序数组元有序数组的全体称为的全体称为n维空间维空间,n维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中的称为空间中的称为该点的第称为该点的第k个个坐标坐标.记作记作即即机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束一个一个点点,当当所有坐标所有坐标称该元素为称该元素为中的零元中的零元,记作记作O.的的距离距离记作记作中点中点a的的邻域邻域为为机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束规定为规定为与与零元零元O的距离为的距离为二、多元函数的概念二、多元函数的概念引例引例:

圆柱体的体积圆柱体的体积定量理想气体的压强定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束定义定义1.设非空点集设非空点集点集点集D称为函数的称为函数的定义域定义域;

数集数集称为函数的称为函数的值域值域.特别地特别地,当当n=2时时,有二元函数有二元函数当当n=3时时,有三元函数有三元函数映射映射称为定义称为定义在在D上的上的n元函数元函数,记作记作机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束例如例如,二元函数二元函数定义域为定义域为圆域圆域说明说明:

二元函数二元函数z=f（x,y）,（x,y）D图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面.机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面.三元函数三元函数定义域为定义域为图形为图形为空间中的超曲面空间中的超曲面.单位闭球单位闭球三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2.设设n元函数元函数点点,则称则称A为函数为函数（也称为也称为n重极限重极限）当当n=2时时,记记二元函数的极限可写作：

二元函数的极限可写作：

P0是是D的聚的聚若存在常数若存在常数A,对一对一记作记作都有都有机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束对任意正数对任意正数,总存在正数总存在正数,切切例例1.设设求证：

求证：

证证:

故故总有总有机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束要证要证例例2.设设求证：

证：

故故总有总有要证要证机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束若当点若当点趋于不同值或有的极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在，解解:

设设P（x,y）沿直线沿直线y=kx趋于点趋于点（0,0）,在点在点（0,0）的极限的极限.则可以断定函数极限则可以断定函数极限则有则有k值不同极限不同值不同极限不同!

在在（0,0）点极限不存在点极限不存在.以不同方式趋于以不同方式趋于不存在不存在.例例3.讨论函数讨论函数函数函数机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束例例4.求求解解:

因因而而此函数定义域此函数定义域不包括不包括x,y轴轴则则故故机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束仅知其中一个存在仅知其中一个存在,推不出其它二者存在推不出其它二者存在.二重极限二重极限不同不同.如果它们都存在如果它们都存在,则三者相等则三者相等.例如例如,显然显然与累次极限与累次极限但由但由例例3知它在知它在（0,0）点二重极限不存在点二重极限不存在.例例33目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束四、四、多元函数的连续性多元函数的连续性定义定义3.设设n元函数元函数定义在定义在D上上,如果函数在如果函数在D上上各点处各点处都连续都连续,则称此函数则称此函数在在D上上如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续,此时此时称为称为间断点间断点.则称则称n元函数元函数机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束连续连续.连续连续,例如例如,函数函数在点在点（0,0）极限不存在极限不存在,又如又如,函数函数上间断上间断.故故（0,0）为其间断点为其间断点.在圆周在圆周机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束结论结论:

一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：

定理：

若若f（P）在有界闭域在有界闭域D上连续上连续,则则机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束*（4）f（P）必在必在D上一致连续上一致连续.在在D上可取得最大值上可取得最大值M及最小值及最小值m;

（3）对任意对任意（有界性定理有界性定理）（最值定理最值定理）（介值定理介值定理）（一致连续性定理一致连续性定理）闭域闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:

（证明略证明略）解解:

原式原式例例5.求求例例6.求函数求函数的连续域的连续域.解解:

机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束内容小结内容小结1.区域区域邻域邻域:

区域区域连通的开集连通的开集2.多元函数概念多元函数概念n元函数元函数常用常用二元函数二元函数（图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面）三元函数三元函数机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束有有3.多元函数的极限多元函数的极限4.多元函数的连续性多元函数的连续性1）函数函数2）闭域上的多元连续函数的性质闭域上的多元连续函数的性质:

有界定理有界定理;

最值定理最值定理;

介值定理介值定理3）一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束练习练习:

1.设设求求解法解法1令令机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束1.设设求求解法解法2令令即即机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束2.是否存在？

是否存在？

解：

所以极限不存在所以极限不存在.机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束3.证明证明在全在全平面连续平面连续.证证:

为为初等函数初等函数,故连续故连续.又又故故函数在全平面连续函数在全平面连续.由由夹逼准则得夹逼准则得机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是不存在不存在.原因为若取原因为若取练练习习题题练习题答案练习题答案解答提示解答提示:

P11题题2.称为二次齐次函数称为二次齐次函数.P11题题4.P11题题5（3）.定义域定义域P11题题5（5）.定义域定义域机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束P12题题8.间断点集间断点集P72题题3.定义域定义域P72题题4.令令y=kx，若令若令机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束,则则可见极限可见极限不存在不存在第三节第三节机动目录上页下页返回结束一、一、偏导数的定义及其计算偏导数的定义及其计算二二、高阶偏导数、高阶偏导数偏导数三三、小结、小结思考题思考题一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如在在处处解解证证原结论成立原结论成立解解不存在不存在证证有关偏导数的几点说明：

有关偏导数的几点说明：

、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；

定义求；

解解例例55解解按定义可知：

按定义可知：

、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在连续，连续，4.二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:

是曲线是曲线在点在点M0处的切线处的切线对对x轴的斜率轴的斜率.在点在点M0处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线机动机动目录目录上页上页下页下页返回返回结束结束对对y轴的轴的纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数定义：

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.二、高阶偏导数二、高阶偏导数解解解解问题：

问题：

混合偏导数都相等吗？

例例