西电信号与系统教案第2章PPT资料.ppt

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是学习各种变换域分析法的基础。

第二章第二章连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统的响应2.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统的响应一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解y（n）（t）+an-1y（n-1）（t）+a1y

（1）（t）+a0y（t）=bmf（m）（t）+bm-1f（m-1）（t）+b1f

（1）（t）+b0f（t）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-3页电子教案电子教案2.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统的响应微分方程的经典解：

微分方程的经典解：

y（t）（完全解完全解）=yh（t）（齐次解齐次解）+yp（t）（特特解解）齐次解齐次解是齐次微分方程是齐次微分方程y（n）+an-1y（n-1）+a1y

（1）（t）+a0y（t）=0的解。

的解。

yh（t）的函数形式的函数形式由上述微分方程的由上述微分方程的特征根特征根确定。

确定。

例例描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”（t）+5y（t）+6y（t）=f（t）求（求

（1）当）当f（t）=2e-t，t0；

y（0）=2，y（0）=-1时的全解；

时的全解；

（2）当）当f（t）=e-2t，t0；

y（0）=1，y（0）=0时的全解。

时的全解。

特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。

的函数形式与激励函数的形式有关。

P43表表2-1、2-2齐次解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f（t）的函数形式无关，称为系统的的函数形式无关，称为系统的固有响应固有响应或或自由响应自由响应；

特解特解的函数形式由激励确定，称为的函数形式由激励确定，称为强迫响应强迫响应。

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-4页电子教案电子教案2.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统的响应解解:

（1）特征方程为特征方程为2+5+6=0其特征根其特征根1=2，2=3。

齐次解为齐次解为yh（t）=C1e2t+C2e3t由表由表2-2可知，当可知，当f（t）=2et时，其特解可设为时，其特解可设为yp（t）=Pet将其代入微分方程得将其代入微分方程得Pet+5（Pet）+6Pet=2et解得解得P=1于是特解为于是特解为yp（t）=et全解为：

全解为：

y（t）=yh（t）+yp（t）=C1e2t+C2e3t+et其中其中待定常数待定常数C1,C2由初始条件确定。

由初始条件确定。

y（0）=C1+C2+1=2，y（0）=2C13C21=1解得解得C1=3，C2=2最后得全解最后得全解y（t）=3e2t2e3t+et,t0信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-5页电子教案电子教案

（2）齐齐次次解解同同上上。

当当激激励励f（t）=e2t时时，其其指指数数与与特特征征根之一相重。

由表知：

其特解为根之一相重。

其特解为yp（t）=（P1t+P0）e2t代入微分方程可得代入微分方程可得P1e-2t=e2t所以所以P1=1但但P0不能求得。

全解为不能求得。

全解为y（t）=C1e2t+C2e3t+te2t+P0e2t=（C1+P0）e2t+C2e3t+te2t将初始条件代入，得将初始条件代入，得y（0）=（C1+P0）+C2=1，y（0）=2（C1+P0）3C2+1=0解得解得C1+P0=2,C2=1最后得微分方程的全解为最后得微分方程的全解为y（t）=2e2te3t+te2t,t0上式第一项的系数上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分不能区分C1和和P0，因而也因而也不能区分自由响应和强迫响应。

不能区分自由响应和强迫响应。

2.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统的响应信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-6页电子教案电子教案2.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统的响应二、关于二、关于0-和和0+初始值初始值若输入若输入f（t）是在是在t=0时接入系统，则确定待定系数时接入系统，则确定待定系数Ci时用时用t=0+时刻的时刻的初始值初始值，即，即y（j）（0+）（j=0,1,2，n-1）。

而而y（j）（0+）包含了输入信号的作用，不便于描述系包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。

统的历史信息。

在在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值时，激励尚未接入，该时刻的值y（j）（0-）反反映了映了系统的历史情况系统的历史情况而与激励无关。

称这些值为而与激励无关。

称这些值为初始初始状态状态或或起始值起始值。

通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。

这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y（j）（0-）设法求得设法求得y（j）（0+）。

下列举例说明。

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-7页电子教案电子教案例例：

描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”（t）+3y（t）+2y（t）=2f（t）+6f（t）已知已知y（0-）=2，y（0-）=0，f（t）=（t），求求y（0+）和和y（0+）。

解解：

将输入将输入f（t）=（t）代入上述微分方程得代入上述微分方程得y”（t）+3y（t）+2y（t）=2（t）+6（t）

（1）利用利用系数匹配法系数匹配法分析：

上式对于分析：

上式对于t=0-也成立，在也成立，在0-t0信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-11页电子教案电子教案2.12.1LTILTI连续系统的响应连续系统的响应

（2）零状态响应零状态响应yf（t）满足满足yf”（t）+3yf（t）+2yf（t）=2（t）+6（t）并有并有yf（0-）=yf（0-）=0由于上式等号右端含有由于上式等号右端含有（t），故故yf”（t）含有含有（t），从而从而yf（t）跃变，即跃变，即yf（0+）yf（0-），而而yf（t）在在t=0连连续，即续，即yf（0+）=yf（0-）=0，积分得积分得yf（0+）-yf（0-）+3yf（0+）-yf（0-）+2因此，因此，yf（0+）=2yf（0-）=2对对t0时，有时，有yf”（t）+3yf（t）+2yf（t）=6不难求得其齐次解为不难求得其齐次解为Cf1e-t+Cf2e-2t，其特解为常数其特解为常数3，于是有于是有yf（t）=Cf1e-t+Cf2e-2t+3代入初始值求得代入初始值求得yf（t）=4e-t+e-2t+3，t0信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-12页电子教案电子教案2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应由单位冲激函数由单位冲激函数（t）所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位冲单位冲激响应激响应，简称冲激响应，记为，简称冲激响应，记为h（t）。

h（t）=T0,（t）例例1描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”（t）+5y（t）+6y（t）=f（t）求其冲激响应求其冲激响应h（t）。

解解根据根据h（t）的定义的定义有有h”（t）+5h（t）+6h（t）=（t）h（0-）=h（0-）=0先求先求h（0+）和和h（0+）。

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-13页电子教案电子教案2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应因方程右端有因方程右端有（t），故利用系数平衡法。

故利用系数平衡法。

h”（t）中含中含（t），h（t）含含（t），h（0+）h（0-），h（t）在在t=0连续，即连续，即h（0+）=h（0-）。

积分得积分得h（0+）-h（0-）+5h（0+）-h（0-）+6=1考虑考虑h（0+）=h（0-），由上式可得由上式可得h（0+）=h（0-）=0,h（0+）=1+h（0-）=1对对t0时，有时，有h”（t）+5h（t）+6h（t）=0故系统的冲激响应为一齐次解。

故系统的冲激响应为一齐次解。

微分方程的特征根为微分方程的特征根为-2，-3。

故系统的冲激响应为。

故系统的冲激响应为h（t）=（C1e-2t+C2e-3t）（t）代入初始条件求得代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以所以h（t）=（e-2t-e-3t）（t）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-14页电子教案电子教案2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应例例2描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”（t）+5y（t）+6y（t）=f”（t）+2f（t）+3f（t）求其冲激响应求其冲激响应h（t）。

解解根据根据h（t）的定义的定义有有h”（t）+5h（t）+6h（t）=”（t）+2（t）+3（t）

（1）h（0-）=h（0-）=0先求先求h（0+）和和h（0+）。

由方程可知，由方程可知，h（t）中含中含（t）故故令令h（t）=a（t）+p1（t）pi（t）为为不含不含（t）的某的某函数函数h（t）=a（t）+b（t）+p2（t）h”（t）=a”（t）+b（t）+c（t）+p3（t）代入式代入式

（1），有，有信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第2-15页电子教案电子教案2.22.2冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应a”（t）+b（t）+c（t）+p3（t）+5a（t）+b（t）+p2（t）+6a（t）+p1（t）=”（t）+2（t）+3（t）整理得整理得a”（t）+（b+5a）（t）+（c+5b+6a）（t）+p3（t）+5p2（t）+6p1（t）=”（t）+2（t）+3（t）利用利用（t）系数匹配，得系数匹配，得a=1，b=-3，c=12所以所以h（t）=（t）+p1（t）

（2）h（t）=（t）-3（t）+p2（t）（3）h”（t）=”（t）-3（t）+12（t）+p3（t）（4）对式对式（3）从从0-到到0+积分得积分得h（0+）h（0-）=3对式对式（4）从从0-到到0+积分得积分得h（0+）h（0-）=12