第三章晶格动力学和晶体的热学性质PPT资料.ppt

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振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（r）二次方以上的高次项，只保留到（r）2项-简谐近似。

（忽略掉作用力中非线性项的近似-简谐近似。

）固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院如只考虑最近邻原子间的相互作用，第n个原子受到的力：

于是第n个原子的运动方程可写为：

一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应有同样的方程，所以它是和原子数目相同的N个联立的线性齐次方程。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院方程的解：

这样的线性齐次方程应有一个波形式的解：

A是振幅，是角频率，q是波数，是波长，naq是第n个原子的位相因子，将试解代入方程求解。

解得色散关系Dispersioncurves（利用欧拉公式）固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院这个结果与n无关，说明N个方程都有同样结果，即所有原子都同时以相同的频率和相同的振幅A在振动，但不同的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是。

该结果还表示：

只要和q满足上述关系，试解就是联立方程的解。

通常把和q的关系称作色散关系。

解的物理意义：

格波原子振动以波的方式在晶体中传播。

当两原子相距的整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院都是整数）。

如：

有：

该解表明：

晶体中所有原子共同参与的振动，以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。

从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质弹性波中的x是可以连续取值的；

而在格波中只能取na格点位置这样的孤立值。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院第一布里渊区里的色散关系：

分离原子集体振动形成的格波与连续介质中的弹性波相比，色散关系发生了变化，偏离了线性关系，而且具有周期性和反射对称性。

从解的表达式中可以看出：

把aq改变2的整数倍后，所有原子的振动实际上没有任何区别，因此有物理意义的q取值范围可以限制在第一布里渊区内。

在波矢空间固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院这种性质称作格波的简约性。

一维单原子链的倒格矢：

这就避免了某一频率的格波有很多波长与之对应的问题。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一种振动状态，q只需要在第一布里渊区内取值即可，这是与连续介质弹性波的重大区别。

由白线所代表的波不能给出比黑虚线更多的信息，为了表示这个运动，只需要大于2a的波长。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院周期性边界条件（BornKarman边界条件）上面求解假定原子链无限长，这是不现实的，确定何种边界条件才既能使运动方程可解，又能使结果符合实际晶体的测量结果呢？

BornKarman最早利用周期性边界条件解决了此问题，成为固体理论的一个典范。

所谓周期性边界条件就是将一有限长度的晶体链看成无限长晶体链的一个重复单元，即：

n=任意整数，但考虑到q值的取值范围，n取值数目是有限的：

只有布里渊区内的N个整数值。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院周期性边界条件并没有改变方程解的形式，只是对解提出一定的条件，q只可取N个不同的值，每个q对应着一个格波。

引入周期性边界条件后，波数q不能任意取值，只能取分立的值。

在q轴上，相邻两个q的取值相距，即在q轴上，每一个q的取值所占的空间为：

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院LNa为晶体链的长度。

第一布里渊区中波数q的取值总数等于晶体链的原胞个数，即：

晶格振动格波的总数=N1=晶体链的总自由度数。

至此，我们可以有把握的说找到了原子链的全部振动模。

所以，q值的分布密度（单位长度上的模式数目）：

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院一维原子链第一布里渊区内的色散关系：

在长波长极限区，即时，格波就是弹性波。

和弹性波的结果一致。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院随着q的增长，数值逐渐偏离线性关系，变得平缓，在布里渊区边界，格波频率达到极大值。

相速和群速：

相速度是单色波单位时间内一定的振动位相所传播的距离。

群速度是平均频率为，平均波矢为q的波包的传播速度，它是合成波能量和动量的传播速度。

在的长波极限下：

即声速。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院在布里渊区边界处：

群速度为零，这是因为此时近邻原子散射的子波与入射波位相相差，由B原子反射的子波到达近邻A原子处时恰好和A原子反射的子波同位相，对所有原子的散射波都满足上述条件，所以当时，散射子波之间发生相长干涉，结果反射达到最大值，并与入射波相结合，形成驻波，群速度为零。

这和X射线衍射的Bragg条件是一致的，也同样显示了布里渊区边界的特征。

它们都是由于入射波的波动性和晶格的周期性所产生的结果。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院入射波反反射射波波所以一维单原子就像一个低通滤波器，它只能传播的弹性波，高于频率的弹性波被强烈衰减。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院该图表明了波矢的等价性，是以移动一个倒格矢量为准。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院上面求解可以推广到平面点阵，但有纵波和横波之分，它们的原子位移状况是不同的，横波情形可用同样方法求解，也将得到类似结果。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院例.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。

设原子质量为m，恢复力常数为（只考虑近邻原子间的相互作用）。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院由玻恩-卡门周期性边界条件:

解:

设最近邻原子间的恢复力系数为，则:

将试探解代入振动方程得色散关系:

S为整数固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院由色散关系式可画图如下:

2.色散关系是波矢q的周期性函数,且（-q）=（q）。

0m固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院且固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院故取简约布里渊区且3.玻恩-卡门周期性边界条件及波矢q的取值

（1）玻恩-卡门周期性边界条件设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中原胞的个数）后，其振动情况复原。

由N个原胞组成的单原子链，由玻恩-卡门周期性边界条件:

对于一维布拉维晶格（原胞标数与原子标数相同）:

整数

（2）波矢q的取值固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院（共N个值）晶格振动波矢只能取分立的值波矢的数目（个数）=晶体原胞的数目4.长波极限:

波矢也只能取N个不同的值。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。

由连续介质波的传播速度：

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院模型运动方程试探解色散关系波矢q范围一维无限长原子链，m，a，晶格振动波矢的数目=晶体的原胞数B-K条件波矢q取值n-2nn+1n+2n-1amm固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院第二节第二节一维双原子链振动一维双原子链振动1运动方程及其解2声学波和光学波3玻恩冯卡门边界条件本节主要内容:

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院运动方程及其解：

（1）模型:

一维无限长原子链，原子质量为m和M，且mcq，E与位移方向相反，将增加横振动的恢复力，特别当q0时，与纵场EL形式相等。

若LO。

固体物理学固体物理学晶格动力学和晶体的热学性质晶格动力学和晶体的热学性质信息科学与工程技术学院信息科学与工程技术学院在不考虑横场耦合情况下，系统的本征振动由黄昆方程