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）选择恰当的优化方法和程序进行设计计算。

（借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。

工程问题的最优设计方案。

）优化设计的任务优化设计的任务二、优化设计问题的示例二、优化设计问题的示例箱盒的优化设计箱盒的优化设计最大最大产值生生产资源分配源分配问题直齿圆柱齿轮副的优化设计直齿圆柱齿轮副的优化设计已知：

制造一体积为已知：

制造一体积为100m3，长度不小于长度不小于5m，不带上盖不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽宽x2，高高x3，使箱盒用料使箱盒用料最省。

最省。

分析：

（1）设计参数确定：

长）设计参数确定：

长x1，宽宽x2，高高x3；

（2）设计约束条件：

）设计约束条件：

（a）体积要求；

）体积要求；

（b）长度要求；

）长度要求；

（3）箱盒的表面积的表达式；

）箱盒的表面积的表达式；

箱盒的优化设计箱盒的优化设计x1x2x3数学模型数学模型设计参数：

设计参数：

设计目标：

约束条件：

某工厂生产某工厂生产A和和B两种产品，两种产品，A产品单位价格为产品单位价格为PA万万元，元，B产品单位价格为产品单位价格为PB万元。

每生产一个单位的万元。

每生产一个单位的A产品产品需消耗需消耗aC吨煤，吨煤，aE度电，度电，aL个工时；

每生产一个单位的个工时；

每生产一个单位的B产品需消耗产品需消耗bC吨煤，吨煤，bE度电，度电，bL个工时。

现有可用生产个工时。

现有可用生产资源资源:

煤煤C吨，电吨，电E度，劳动力度，劳动力L个工时，欲找出其最优分个工时，欲找出其最优分配方案，使工厂的产值最大。

配方案，使工厂的产值最大。

）设计参数确定：

A产品产量产品产量xA，B产品产量产品产量xB；

（2）产值的表达式；

）产值的表达式；

（3）设计约束条件：

（a）生产资源煤约束；

）生产资源煤约束；

（b）生产资源电约束；

）生产资源电约束；

（c）生产资源劳动力约束；

）生产资源劳动力约束；

最大最大产值生生产资源分配源分配问题数学模型数学模型设计参数：

已知：

传动比已知：

传动比i，转速转速n，传动功率传动功率P，大小齿轮的材料，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。

设计该齿轮副，使其重量最轻。

（1）圆柱齿轮的体积）圆柱齿轮的体积（v）与重量与重量（w）的表达；

的表达；

（2）设计参数确定：

模数（）设计参数确定：

模数（m），齿宽（），齿宽（b），齿数（），齿数（z1）；

）；

（a）大齿轮满足弯曲强度要求；

）大齿轮满足弯曲强度要求；

（b）小齿轮满足弯曲强度要求；

）小齿轮满足弯曲强度要求；

（c）齿轮副满足接触疲劳强度要求；

）齿轮副满足接触疲劳强度要求；

（d）齿宽系数要求；

齿宽系数要求；

（e）最小齿数要求。

最小齿数要求。

直齿圆柱齿轮副的优化设计直齿圆柱齿轮副的优化设计数学模型数学模型设计参数：

三、优化设计的数学模型三、优化设计的数学模型优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。

化设计的基础。

1.设计变量设计变量一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。

导出量。

在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作立的基本参数，称作设计变量设计变量，又叫做，又叫做优化参数优化参数。

设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。

设计变量的数目称为优化设计的维数，如设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称个设计变量，则称为为n维设计问题。

维设计问题。

由由n个设计变量个设计变量为坐标所组成的实空间称为坐标所组成的实空间称作作设计空间设计空间设计空间设计空间。

一个。

一个“设计设计”，可用设计空间中的一点表示。

，可用设计空间中的一点表示。

设计变量的数目称为设计变量的数目称为优化设计的维数优化设计的维数，如，如n个设计变量，个设计变量，则称为则称为n维设计问题。

按照按照产品品设计变量的取量的取值特点，特点，设计变量设计变量可分可分为连续变量量（例如（例如轴径、径、轮廓尺寸等）和廓尺寸等）和离散离散变量量（例如各种（例如各种标准准规格）。

格）。

设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。

活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。

小型设计问题：

一般含有一般含有221010个设计变量；

个设计变量；

中型设计问题：

10105050个设计变量；

大型设计问题：

5050个以上的设计变量。

个以上的设计变量。

目前已能解决目前已能解决200200个设计变量的大型最优化设计问题。

个设计变量的大型最优化设计问题。

2.约束条件约束条件设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。

如一个设计满足所有案有些是工程上所不能接受的。

如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为对它提出的要求，就称为可行设计可行设计。

一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称限制条件称作约束条件，简称约束约束。

约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型：

等式约束两种类型：

（1）

（1）等式约束等式约束

（2）

（2）不等式约束不等式约束显式式约束、束、隐式式约束束约束函数有的可以表示成束函数有的可以表示成显式形式形式，即反映式，即反映设计变量之量之间明明显的函数关系，有的只能表示的函数关系，有的只能表示成成隐式形式式形式,如例中的复如例中的复杂结构的性能构的性能约束函数（束函数（变形、形、应力、力、频率等），需要通率等），需要通过有限元等方法有限元等方法计算求得。

算求得。

根据根据约束的性束的性质可以把它可以把它们区分成区分成：

性能性能约束束针对性能要求而提出的限制条件称作性能性能要求而提出的限制条件称作性能约束。

例如，束。

例如，选择某些某些结构必构必须满足受力的足受力的强强度、度、刚度或度或稳定性等要求定性等要求；

边界界约束束只是只是对设计变量的取量的取值范范围加以限制的加以限制的约束束称作称作边界边界约束。

例如，允束。

例如，允许机床主轴机床主轴选择的尺寸范的尺寸范围，对轴段长度轴段长度的限定范的限定范围就属于就属于边界边界约束。

束。

图图1-2设计空间中的约束面（或约束线）设计空间中的约束面（或约束线）（a）a）二变量设计空间中的约束线二变量设计空间中的约束线（b）b）三变量设计空间中的约束面三变量设计空间中的约束面如图如图1-31-3上画出了满足两项约束条件上画出了满足两项约束条件gg11（x）=x1122x222216O16O和和gg22（x）22x2200的二维设计问题的可行域的二维设计问题的可行域D，它位于它位于x2=2=2的上面和的上面和圆圆x1122x2222=16=16的圆弧的圆弧ABCABC下面并包括线段下面并包括线段ACAC和圆弧和圆弧ABCABC在内。

在内。

图图1-3约束条件规定的可行域约束条件规定的可行域D可行域可行域可行域可行域:

在在设计空空间中，中，满足足所有约束条件的所有约束条件的所构成所构成的空的空间。

3.3.目标函数目标函数在优化过程中，通过设计变量的不断向在优化过程中，通过设计变量的不断向F（x）值改值改善的方向自动调整，最后求得善的方向自动调整，最后求得F（x）值最好或最满意的值最好或最满意的x值。

在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含值。

在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。

在机械设计中，可作为参考目标函数的有：

中。

体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。

能最小、动负荷最小等等。

为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数目标函数，以，以F（x）表示。

表示。

在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为为单目标函数单目标函数。

当在同一设计中要提出。

当在同一设计中要提出多个目标函数多个目标函数时，时，这种问题称为这种问题称为多目标函数的最优化问题多目标函数的最优化问题。

在一般的机械。

在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。

目标函数愈多，最优化设计中，多目标函数的情况较多。

目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。

设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。

在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者数的