易错题目辨析练集合与常用逻辑用语文档格式.doc
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3.“x>
1”是“<
1”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当x>
1时,能得出<
1;
由<
1得x>
1或x<
0.故选A.
4.已知集合A={x|x2-x+1=0},若A∩R=∅,则实数m的取值范围为 ( )
A.m<
4 B.m>
4
C.0<
m<
4 D.0≤m<
解析 ∵A∩R=∅,则A=∅,即等价于方程x2-x+1=0无实数解,即Δ=m-4<
0,即m<
4,选A.
注意m<
0时也表示A=∅.
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.设集合M={y|y=2-x,x<
0},N={a|a=},则M∩N=________.
答案 {x|x>
1}
解析 ∵y=2-x,x<
0,∴M={y|y>
1},
∴集合M代表所有大于1的实数;
由于N={a|a=},
∴a=≥0,∴N={a|a≥0},
∴集合N代表所有大于或等于0的实数,
∴M∩N代表所有大于1的实数,即M∩N={x|x>
1}.
6.已知集合A=,B={x|-1<
x<
m+1},若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A,则实数m的取值范围是________.
答案 (2,+∞)
解析 A=={x|-1<
3},
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,
∴AB,∴m+1>
3,即m>
2.
7.若命题“ax2-2ax-3>
0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.
答案 [-3,0]
解析 由题意知ax2-2ax-3≤0恒成立,
当a=0时,-3≤0成立;
当a>
0时,不等式无解,不符合题意,舍去;
当a<
0时,由Δ≤0,得-3≤a<
0.故-3≤a≤0.
三、解答题(共22分)
8.(10分)已知集合A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},若A=B,求x,y的值.
解 由A=B知需分多种情况进行讨论,
由lg(xy)有意义,则xy>
0.
又0∈B=A,则必有lg(xy)=0,即xy=1.
此时,A=B,即{0,1,x}={0,|x|,y}.
∴或
解得x=y=1或x=y=-1.
当x=y=1时,
A=B={0,1,1}与集合元素的互异性矛盾,应舍去;
当x=y=-1时,
A=B={0,-1,1}满足题意,故x=y=-1.
9.(12分)设集合A为函数y=ln(-x2-2x+8)的定义域,集合B为函数y=x+的值域,集合C为不等式(x+4)≤0的解集.
(1)求A∩B;
(2)若C⊆∁RA,求a的取值范围.
解
(1)由-x2-2x+8>
0,解得A=(-4,2),
又y=x+=(x+1)+-1,
所以B=(-∞,-3]∪[1,+∞).
所以A∩B=(-4,-3]∪[1,2).
(2)因为∁RA=(-∞,-4]∪[2,+∞).
由(x+4)≤0,知a≠0.
①当a>
0时,由(x+4)≤0,得C=,不满足C⊆∁RA;
②当a<
0时,由(x+4)≥0,
得C=(-∞,-4)∪,欲使C⊆∁RA,则≥2,
解得-≤a<
0或0<
a≤.
又a<
0,所以-≤a<
综上所述,所求a的取值范围是.
B组 专项能力提升
25分钟,满分:
43分)
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若“a=1”,则函数f(x)=|x-a|=|x-1|在区间[1,+∞)上为增函数;
而若f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数,则0≤a≤1,所以“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的充分不必要条件,选A.
2.已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且y=x},则A∩B的元素个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 集合A表示的是圆心在原点的单位圆,集合B表示的是直线y=x,据此画出图像,可得图像有两个交点,即A∩B的元素个数为2.
3.下列命题的否定中真命题的个数是 ( )
①p:
当Δ<
0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R)无实根;
②q:
存在一个整数b,使函数f(x)=x2+bx+1在[0,+∞)上是单调函数;
③r:
存在x∈R,使x2+x+1≥0不成立.
答案 B
解析 由于命题p是真命题,∴命题①的否定是假命题;
命题q是真命题,∴命题②的否定是假命题;
命题r是假命题,∴命题③的否定是真命题.
故只有一个是正确的,故选B.
4.已知集合M={x|x=a2-3a+2,a∈R},N={x|y=log2(x2+2x-3)},则M∩N=________.
解析 ∵a2-3a+2=2-≥-,
∴M=;
由x2+2x-3>
0,即(x-1)(x+3)>
0,
解得x>
-3,故N={x|x>
-3}.
∴M∩N={x|x>
5.命题“存在x∈R,2x2-3ax+9<
0”为假命题,则实数a的取值范围为________.
答案 [-2,2]
解析 因题中的命题为假命题,则它的否命题“对任意x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题,也就是常见的“恒成立”问题,因此只需Δ=9a2-4×
2×
9≤0,即-2≤a≤2.
6.若x,y∈R,A={(x,y)|(x+1)2+y2=2},B={(x,y)|x+y+a=0},当A∩B≠∅时,则实数a的取值范围是________,A∩B=∅时,则实数a的取值范围是________.
答案 [-1,3] (-∞,-1)∪(3,+∞)
解析 观察得集合A表示的是以(-1,0)为圆心,为半径的圆上的点,B表示的是直线x+y+a=0上的点,若满足A∩B≠∅,只需直线与圆相切或相交.
即满足不等式≤,|a-1|≤2,-2≤a-1≤2,-1≤a≤3.
三、解答题
7.(13分)已知命题p:
函数f(x)=lg的定义域为R;
命题q:
不等式<
1+ax对一切正实数x均成立.如果命题“p或q”为真,“p且q”为假,求实数a的取值范围.
解 命题p为真命题等价于ax2-x+a>
0对任意实数x均成立.
当a=0时,-x>
0,其解集不是R,∴a≠0.
于是有
解得a>
2,故命题p为真命题等价于a>
命题q为真命题等价于a>
==对一切实数x均成立.
由于x>
0,∴>
1,+1>
2,
∴<
1,
从而命题q为真命题等价于a≥1.
根据题意知,命题p、q有且只有一个为真命题,
当p真q假时实数a不存在;
当p假q真时,实数a的取值范围是1≤a≤2.