季节ARIMA模型Word文档格式.doc
《季节ARIMA模型Word文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《季节ARIMA模型Word文档格式.doc(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
Ds=1-Ls
若季节性时间序列用yt表示,则一次季节差分表示为
Dsyt=(1-Ls)yt=yt-yt-s
对于非平稳季节性时间序列,有时需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。
在此基础上可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型(注意P、Q等于2时,滞后算子应为(Ls)2=L2s。
AP(Ls)DsDyt=BQ(Ls)ut(2.60)
对于上述模型,相当于假定ut是平稳的、非自相关的。
当ut非平稳且存在ARMA成分时,则可以把ut描述为
Fp(L)Ddut=Qq(L)vt(2.61)
其中vt为白噪声过程,p,q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数,d表示ut的一阶(非季节)差分次数。
由上式得
ut=Fp-1(L)D-dQq(L)vt(2.62)
把(2.62)式代入(2.60)式,于是得到季节时间序列模型的一般表达式。
Fp(L)AP(Ls)(DdDsDyt)=Qq(L)BQ(Ls)vt(2.63)
其中下标P,Q,p,q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数,d,D分别表示非季节和季节性差分次数。
上式称作(p,d,q)´
(P,D,Q)s阶季节时间序列模型或乘积季节模型。
保证(DdDsDyt)具有平稳性的条件是Fp(L)AP(Ls)=0的根在单位圆外;
保证(DdDsDyt)具有可逆性的条件是Qq(L)BQ(Ls)=0的根在单位圆外。
当P=D=Q=0时,SARIMA模型退化为ARIMA模型;
从这个意义上说,ARIMA模型是SARIMA模型的特例。
当P=D=Q=p=q=d=0时,SARIMA模型退化为白噪声模型。
(1,1,1)´
(1,1,1)12阶月度SARIMA模型表达为
(1-f1L)(1-a1L12)DD12yt=(1+q1L)(1+b1L12)vt
DD12yt具有平稳性的条件是|f1|<
1,|a1|<
1,DD12yt具有可逆性的条件是|q1|<
1,|b1|<
1。
设log(Yt)=yt,变量DD12yt在EViews中用DLOG(Y,1,12)表示(这样表示的好处是EViews可以直接预测到Y),上式的EViews估计命令是
DLOG(Y,1,12)AR
(1)SAR(12)MA
(1)SMA(12)
(0,1,1)´
(0,1,1)12阶月度SARIMA模型表达为
DD12yt=(1+q1L)(1+b1L12)vt(2.64)
(2.64)式的EViews估计命令是
DLOG(Y,1,12)MA
(1)SMA(12)
由(2.64)式得
DD12yt=(1+q1L)(1+b1L12)vt=vt+q1Lvt+b1L12vt+q1b1L13vt
=vt+q1vt–1+b1vt–12+q1b1vt–13
上式对应的EViews估计命令是
DLOG(Y,1,12)MA
(1)MA(12)MA(13)
模型表达式是
DD12yt=vt+q1vt–1+q12vt–12+q13vt–13
这是一个非季节模型表达式。
以上两个EViews估计命令是等价的,都是估计MA(13)模型。
注意:
唯一不同点是上式对vt–13的系数没有约束,而对季节模型来说,相当于增加了一个约束条件,q13=q1b1。
进一步化简
D(yt–yt-12)=vt+q1vt–1+b1vt–12+q1b1vt–13
Dyt–Dyt-12=vt+q1vt–1+b1vt–12+q1b1vt–13
用于预测的模型型式是
yt=yt-1+yt-12–yt–13+vt+q1vt–1+b1vt–12+q1b1vt–13(2.65)
从上式可以看出SARIMA模型可以展开为ARIMA模型。
对乘积季节模型的季节阶数,即周期长度s的识别可以通过对实际问题的分析、时间序列图以及时间序列的相关图和偏相关图分析得到。
以相关图和偏相关图为例,如果相关图和偏相关图不是呈线性衰减趋势,而是在变化周期的整倍数时点上出现绝对值相当大的峰值并呈振荡式变化,就可以认为该时间序列可以用SARIMA模型描述。
建立SARIMA模型,
(1)首先要确定d,D。
通过差分和季节差分把原序列变换为一个平稳的序列。
令
xt=DdDsDyt
(2)然后用xt建立Fp(L)AP(Ls)xt=Qq(L)BQ(Ls)vt模型。
(1)用对数的季节时间序列数据建模时通常D不会大于1,P和Q不会大于3。
(2)乘积季节模型参数的估计、检验与前面介绍的估计、检验方法相同。
利用乘积季节模型预测也与上面介绍的预测方法类似。
2.9季节时间序列建模案例
案例1:
(文件名:
b2c3,5b2c3)北京市1978:
1~1989:
12社会商品零售额月度数据(yt,单位:
亿元人民币)曲线见图2.32,数据见表2.3。
yt与时间呈指数关系且存在递增型异方差。
对数的社会商品零售额月度数据(Lnyt)曲线见图2.33。
Lnyt与时间近似呈线性关系(异方差问题也得到抑制)。
图2.32yt图2.33Lnyt
通过Lnyt的相关图和偏相关图(见图2.34)可以看到Lnyt是一个非平稳序列(相关图衰减很慢)且Lnyt与其12倍数的滞后期存在自回归关系。
图2.34Lnyt的相关图(下)和偏相关图(上)
对Lnyt进行一阶差分,得DLnyt(图2.35)。
图2.36是对Lnyt进行2次一阶差分的结果,序列D2Lnyt是过度差分序列。
从DLnyt的相关图和偏相关图(图2.37)可以看到,通过差分DLnyt的平稳性得到很大改进,但与其12倍数的滞后期存在显著的自相关关系。
图2.35DLnyt图2.36D2Lnyt
图2.37DLnyt的相关图(下)和偏相关图(上)
对Lnyt进行一次季节性差分(或12阶差分),得D12Lnyt(图2.38)。
从D12Lnyt的相关图和偏相关图(图2.39)可以看到D12Lnyt仍然是非平稳的。
图2.38D12Lnyt,(EViews:
DLOG(Y,0,12))
图2.39D12Lnyt的相关图(下)和偏相关图(上)
对Lnyt进行一阶差分和一阶季节性差分,得DD12Lnyt(见图2.40)。
从xt的相关图和偏相关图(见图2.41)可以看到DD12Lnyt近似为一个平稳过程。
图2.40DD12Lnyt=xt,(EViews:
DLOG(Y,1,12))
图2.41DD12Lnyt的相关图(下)和偏相关图(上)
用1978:
11期间数据,估计yt的(1,1,1)´
(1,1,0)12阶季节时间序列模型,得结果如下:
(1+0.5924L)(1+0.4093L12)DD12Lnyt=(1+0.4734L)vt(2.66)
(4.5)(5.4)(1.9)
R2=0.33,s.e.=0.146,Q36=15.5,c20.05(36-2-1)=44
EViews估计命令是
DLOG(Y,1,12)AR
(1)SAR(12)MA
(1)
EViews输出结果见图2.42。
(1)仔细对照(2.66)式和图2.42输出结果,不要把自回归系数估计值的符号写错。
通过自回归特征根倒数-0.59可知,把表达式中的算子写作(1+0.5924L)是正确的。
通过移动平均特征根倒数-0.47可知,把表达式中的算子写作(1+0.4734L)是正确的。
(2)表达式中,季节和非季节因子(特征多项式)之间是相乘关系。
(3)在EViews估计命令中把变量写作DLOG(Y,1,12)的好处是可以直接对yt和DD12Lnyt预测。
模型残差序列的相关与偏相关图如图2.43。
图2.42EViews估计结果
图2.43模型残差序列的相关与偏相关图
对于DD12Lnyt来,模型参数全部有显著性,Q36=15.5<
c20.05(36-2-1)=44。
两种检验通过。
见输出结果(2.42),对于DD12Lnyt,模型共有14个特征根。
图2.44D12DLnyt的实际与预测序列图2.45yt的实际与预测序列
对1989年第12月份yt进行样本外1期预测,结果如图2.46。
图2.46EViews预测结果
预测误差是
h==0.076
用1978:
12期间数据得EViews(0,1,1)´
(0,1,1)12模型估计结果如下
DD12Lnyt=(1-0.35L)(1-0.61L12)vt(2.67)
(-4.4)