广东省惠州市2011届高三第三次调研考试(理科数学)(参考答案及评分标准).doc
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惠州市2011届高三第三次调研考试
数学试题（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：
．
一.选择题：
本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2.已知条件，条件，则成立的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件
3.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
A.y＝2x－2B.y＝（）xC.y＝log2xD.y＝（x2－1）
4.右图是2010年在惠州市举行的全省运动会上，七位评委为某跳水比赛项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为
A．84，4.84B．84，1.6
C．85，1.6D．85，4
5.若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是
A．5B．6C．7D．8
6.若直线ax＋by＋1＝0（a、b>0）过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为
A．8B．12C．16D．20
7.已知整数以按如下规律排成一列：
、、、、，，，，，，……，则第个数对是
A．B．C．D．
8.在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为
A．1-B．1-C．1-D．1-
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9.一简单组合体的三视图及尺寸
如右图示（单位：
ｃｍ）则该组合体的表面积为 _______ ．
10.已知△ABC中，点A、B、C的坐标依次是A（2，－1），B（3,2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，则的坐标是：
_______．
11.在二项式的展开式中，的一次项系数是，则实数的值为．
12.给出如图所示的程序框图，那么输出的数是________．
13.已知的三边长为，内切圆半径为
（用），则；
类比这一结论有：
若三棱锥的内切球半径为，
则三棱锥体积．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分）
14.（坐标系与参数方程选做）
在极坐标系中，点到直线的距离为．
15.（几何证明选讲选做题）
如图，点B在⊙O上，M为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O于N，，若⊙O的半径为，OA=OM，则MN的长为．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本题满分12分）
已知函数的图象的一部分如下图所示.
（1）求函数的解析式;
（2）当时,求函数的最大值与最小值及相应的的值.
17.（本题满分12分）
某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：
消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券.例如：
消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.
（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，
他获得返券的金额记为（元）.求随机变量的分布列和数学期望.
18.（本题满分14分）
是方程的两根,数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为,且.
（1）求数列,的通项公式;
（2）记=,求数列的前项和.
19.（本题满分14分）
已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）.
（1）当x=2时，求证：
BD⊥EG；
（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，
求的最大值；
（3）当取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．
20.（本题满分14分）
已知椭圆：
的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，．
⑴求、的值；
⑵若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围．
21.（本题满分14分）
已知函数,,和直线：
.
又.
（1）求的值；
（2）是否存在的值，使直线既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由.
（3）如果对于所有的,都有成立，求k的取值范围.
惠州市2011届高三第三次调研考试
数学试题（理科）答案
一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
D
C
C
C
C
B
1．【解析】答案：
Dz＝＝＝－i.故选D.
2．【解析】Bp：
，q：
或，故q是p成立的必要不充分条件，故选B.
3．【解析】选D直线是均匀的，故选项A不是；指数函数是单调递减的，也不符合要求；对数函数的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D中，基本符合要求.
4．【解析】C去掉最高分和最低分后，所剩分数为84，84，86，84，87，可以计算得平均数和方差.
5．【解析】答案：
C依题意及面积公式S＝bcsinA，得10＝bcsin60°，得bc＝40.
又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：
解得a＝7.
_
O
_
1
_
2
_
3
_
4
_
5
_
6
_
6
_
5
_
4
_
3
_
2
_
1
6．【解析】答案：
C由题意知，圆心坐标为（－4，－1），由于直线过圆心，所以4a＋b＝1，从而＋＝（＋）（4a＋b）＝8＋＋≥8＋2×4＝16（当且仅当b＝4a时取“＝”）．
7．【解析】C；根据题中规律，有为第项，为第2项，为第4项，…，为第项，因此第项为．
8．【解析】B；若使函数有零点，必须必须，即．
在坐标轴上将的取值范围标出，有如图所示
当满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分．
于是概率为．
二.填空题（本大题每小题5分，共30分，把答案填在题后的横线上）
9．1280010．（－1,2）11．112．7500
13．14．15．2
9．【解析】该组合体的表面积为：
。
10．【解析】设D（x，y），则＝，＝，＝，
∵⊥，∥，∴得，所以＝.
11．【解析】1；由二项式定理，．
当时，，于是的系数为，从而．
12．【解析】由题知，s＝3×1＋3×3＋3×5＋…＋3×99＝7500.
13．【解析】：
连接内切球球心与各点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积。
答案:
14．【解析】直角坐标方程x+y﹣2=0，d==
15．【解析】∵∴,∵OM=2,BO=∴BM=4,
∵BM·MN=CM·MA=（+2）（-2）=8，∴MN=2
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本题满分12分）
解:
（1）由图像知,,∴,得.
由对应点得当时,.∴;……………5分
（2）
=,……………9分
∵,∴,………………10分
∴当,即时,的最大值为;当,即时,的最小值.………………12分
17．（本题满分12分）
解：
设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.
则. ………………3分
（1）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.
………………6分
即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是.
（2）由题意得，该顾客可转动转盘2次.
随机变量的可能值为0，30，60，90，120. ………………7分
………………10分
所以，随机变量的分布列为：
0
30
60
90
120
…………12分
其数学期望………13分
18．（本题满分14分）
解：
（1）由.且得……………2分
……………4分
在中,令得当时,T=,
两式相减得,……………6分
.……………8分
（2）,………………9分
,
……………10分
=2
x
y
z
=,………………13分
……………14分
19．（本题满分14分）
（1）方法一：
∵平面平面，
AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz．
，又为BC的中点，BC=4，
．则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），
（－2，2，2），（2，2，0），
（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴．………………4分
方法二：
作DH⊥EF于H，连BH，GH，由平面平面知：
DH⊥平面EBCF，
而EG平面EBCF，故EG⊥DH．
为平行四边形，且
H
，四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，
故EG⊥平面DBH，
而BD平面DBH，∴EG⊥BD．………4分
（或者直接利用三垂线定理得出结果）
（2）∵AD∥面BFC，
所以=VA-BFC＝，
即时有最大值为．………8分
（3）设平面DBF的法向量为，∵AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），
H
_
E
M
F
D
B
A
C
G
F（0，3，0），∴………10分
（－2，2，2），
则，即，
取，∴
，面BCF一个
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