图论论文--最短路径算法应用.doc
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课程论文
课程名称图论及其应用
题目最短路径算法应用--最短路径游览校园
姓名
学号
专业计算机技术
摘要：
重邮是个美丽的学校，我们考入重邮后，都喜欢上了学校。
而且经常有同学来找我玩，作为他们的导游，在带领他们游览学校时候，遇到了一个问题：
怎样走最短路径来游览学校最多的景点。
当学完图论后，我找到了答案，运用图论中的一些知识，找到一个最短最有效的路径从而迅速到达某个地点。
本文运用了图论中的最短路径算法，邻接矩阵，赋权图等知识，把学校里面我们经常去的地方选了出来，画出平面图，建模赋权图，模拟了在任意两点之间的最短路径的实现以及编程显示。
关键词：
数据结构；最短路径；迪杰斯特拉算法；
一：
背景介绍
设计学校的校园平面图，所含景点不少于8个（中心食堂、信科、图书馆……）
1）带领同学们从新大门开始利用最短路径游览学校的几个景点。
2）为来访同学提供图中任意景点的问路查询，即查询任意两个景点之间的一条最短的简单路径。
3）在社会生活中，最短距离的运用相当广泛。
除了该课题外，还有于此相关的城市道路的设计，交通线路的设计，旅游景点的设计等等。
除了路径长度方面外，到两地花费的最少、时间的最短等等都是同样的道理。
二：
最短路径知识点
边上有数的图称为加权图，在加权图中我们经常找到两个指定点间最短路径，称为最短路径问题。
在最短路问题中，给出的是一有向加权图G=（V,E），在其上定义的加权函数W:
ER为从边到实型权值的映射。
路径P=（v0,v1,……,vk）的权是指其组成边的所有权值之和：
定义u到v间最短路径的权为
从结点u到结点v的最短路径定义为权的任何路径。
①
边的权常被解释为一种度量方法，而不仅仅是距离。
它们常常被用来表示时间、金钱、罚款、损失或任何其他沿路径线性积累的数量形式。
三：
Warshall算法介绍
我们可以利用Warshall算法来解决最短路径问题。
Warshall在1962年提出了一个求关系的传递闭包的有效算法。
其具体过程如下，设在n个元素的有限集上关系R的关系矩阵为M：
（1）置新矩阵A=M;
（2）置k=1;
（3）对所有i如果A[i,k]=1，则对j=1..n执行：
A[i,j]←A[i,j]∨A[k,j];
（4）k增1;
（5）如果k≤n，则转到步骤（3），否则停止。
所得的矩阵A即为关系R的传递闭包t（R）的关系矩阵。
设关系R的关系图为G，设图G的所有顶点为v1,v2,…,vn，则t（R）的关系图可用该方法得到：
若G中任意两顶点vi和vj之间有一条路径且没有vi到vj的弧，则在图G中增加一条从vi到vj的弧，将这样改造后的图记为G’，则G’即为t（R）的关系图。
G’的邻接矩阵A应满足：
若图G中存在从vi到vj路径，即vi与vj连通，则A[i,j]=1，否则A[i,j]=0。
这样，求t（R）的问题就变为求图G中每一对顶点间是否连通的问题。
定义一个n阶方阵序列A（0）,A
（1）,A
（2）,…,A（n），每个方阵中的元素值只能取0或1。
A（m）[i,j]=1表示存在从vi到vj且中间顶点序号不大于m的路径（m=1..n），A（m）[i,j]=0表示不存在这样的路径。
而A（0）[i,j]=1表示存在从vi到vj的弧，A（0）[i,j]=0表示不存在从vi到vj的弧。
这样，A（n）[i,j]=1表示vi与vj连通，A（n）[i,j]=0表示vi与vj不连通。
故A（n）即为t（R）的关系矩阵。
那么应如何计算方阵序列A（0）,A
（1）,A
（2）,…,A（n）呢？
很显然，A（0）=M（M为R的关系矩阵）。
若A（0）[i,1]=1且A（0）[1,j]=1，或A（0）[i,j]=1，当且仅当存在从vi到vj且中间顶点序号不大于1的路径，此时应将A
（1）[i,j]置为1，否则置为0。
一般地，若A（k-1）[i,k]=1且A（k-1）[k,j]=1，或A（k-1）[i,j]=1，当且仅当存在从vi到vj且中间顶点序号不大于k的路径，此时应将A（k）[i,j]置为1，否则置为0（k=1..n）。
用公式表示即为：
A（k）[i,j]=（A（k-1）[i,k]∧A（k-1）[k,j]）∨A（k-1）[i,j]i,j,k=1..n
这样，就可得计算A（k）的方法：
先将A（k）赋为A（k-1）；再对所有i=1..n，若A（k）[i,k]=1（即A（k-1）[i,k]=1），则对所有j=1..n，执行：
A（k）[i,j]←A（k）[i,j]∨A（k-1）[k,j]
但这与前述Warshall算法中的第（3）步还有一定距离。
若将上式改为：
A（k）[i,j]←A（k）[i,j]∨A（k）[k,j]（即把A（k-1）[k,j]改为A（k）[k,j]）
就可将上标k去掉，式子就可进一步变为：
A[i,j]←A[i,j]∨A[k,j]
这样可以只用存储一个n阶方阵的空间完成计算，且与前述Warshall算法中第（3）步的式子一致。
那么，可不可以把A（k-1）[k,j]改为A（k）[k,j]呢？
答案是肯定的。
下面将证明在计算A（k）的过程中A（k-1）[k,j]与A（k）[k,j]相等（A（k）被赋初值A（k-1）后）。
考察计算A（k）的方法只有当i=k时A（k）[k,j]的值才有可能改变，此时将式A（k）[i,j]←A（k）[i,j]∨A（k-1）[k,j]中的i换为k，得A（k）[k,j]←A（k）[k,j]∨A（k-1）[k,j]，对某一j，执行该式的赋值操作前A（k）[k,j]=A（k-1）[k,j]，因为计算A（k）开始时A（k）被赋为A（k-1），故它们相或的结果等于A（k-1）[k,j]，故赋值操作不改变A（k）[k,j]的值。
这样，就没有操作会改变A（k）[k,j]的值，故A（k-1）[k,j]与A（k）[k,j]相等。
综上，就可得到计算A（n）的算法，且该算法与前述的Warshall算法完全一致。
由上面的分析，不难看出，Warshall算法类似于求图中每对顶点间最短路径的Floyd算法。
其实，用Floyd算法也能求关系的传递闭包，方法为令关系R的关系图G中的每条弧的权值都为1，这样得一有向网G1，设G1的邻接矩阵为D（-1）（若vi无自回路，则D（-1）（i,i）=∞），对G1用Floyd算法求其每对顶点间最短路径，得结果矩阵D（n-1）。
因若G中vi与vj连通，当且仅当D（n-1）[i,j]≠∞，故将矩阵D中的∞都改为0，其它值都改为1，得矩阵A，则矩阵A即为t（R）的关系矩阵。
Floyd算法和Warshall算法的时间复杂度都为O（n3），但明显用Floyd算法求关系的传递闭包绕了弯子。
四：
算法实现
本文主要以我们学校为模型，选取几处比较典型的建筑分别为：
学校新大门、数字图书馆、重邮宾馆、信科大厦、老图书馆、二教、中心食堂、三教、逸夫科技楼、外国语学院。
建筑物之间的路径用直线连接，线上的数字表示两景点间的距离。
抽象的平面图如下所示：
新校门
数字图书馆
逸夫科技楼
三教
二教
中心食堂
信科大厦
重邮宾馆
图书馆
20
60
10
30
15
70
40
15
90
100
20
25
外语学院
图2我校主要建筑分布图
运用图论知识对上图进行邻接矩阵的表示，为了方便表示我对上图的地点：
新校门代号为1，数字图书馆代号为2，重邮宾馆代号为3，信科大厦代号为4，图书馆代号为5二教学楼代号为6，中心食堂代号为7，逸夫科技楼代号为8，三教学楼代号为9，外国语学院代号10。
邻接矩阵D如下图：
四：
算法分析
⑴问题描述
用无向网表示学校的校园景点平面图，图中顶点表示主要景点，存放景点的编号、名称、简介等信息，
图中的边表示景点间的道路，存放路径长度等信息。
要求能够回答有关景点介绍、游览路径等问题。
游客通过终端可询问：
①从某一景点到另一景点的最短路径。
（最短路径问题）
②游客从新校门口进入，选取一条最佳路线。
⑵基本要求
①将导游图看作一张带权无向图，顶点表示学校的各个景点，边表示各景点之间的道路，边上的权值表示距离．为此图选择适当的数据结构。
②把各种路径都显示给游客，由游客自己选择浏览路线。
③画出景点分布图于屏幕上。
⑶实现提示
①首先构造一个无向图G并用邻接矩阵来存储。
②分别当k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10时，利用Warshall算法来化简邻接矩阵，最后k=10时，得到的矩阵就是所求。
五：
程序实现
本文运用了Warshall算法，其抽象算法为：
#include
usingnamespacestd;
constintsize=4;
voidprint（inta[][size]）
{
for（intk=0;k {
for（intl=0;l {
cout< if（l==size-1）
cout< }
}
cout<<"\n\n";
}
voidtransform（inta[][size],intb[][size]）
{
inti,j,k;
for（i=0;i {
for（j=0;jb[i][j]=a[i][j];
}
for（k=0;k {
for（i=0;i {
for（j=0;j {
if（（b[i][k]==1&&b[k][i]==1）||b[i][j]==1）
b[i][j]=1;
}
}
cout<<"M"<"< print（b）;
}
}
intmain（）
{
intm[size][size];
intmt[size][size];
//初始化；
for（inti=0;i {
for（intj=0;j {
m[i][j]=0;
}
}
//输入R的关系矩阵；
inta,b;
cout<<"输入R的关系矩阵：
（输入元素为1的行与列）"< intchoice;
cout<<"选择：
1（继续输入）0（终止）"<<"choice=";
cin>>choice;
while（choice）
{
cout<<"a=";
cin>>a;
cout<<"b=";
cin>>b;
m[a-1][b-1]=1;
cout<<"选择：
1（继续输入）0（终止）"<<"choice=";
cin>>choice;
}
cout<<"关系矩阵R为：
"<
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