运筹学-图与网络模型以及最小费用最大流_精品文档PPT文档格式.ppt

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图的定义图的定义图的定义图的定义（P230）P230）P230）P230）若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图G可以定义为点和边的集合，记作：

可以定义为点和边的集合，记作：

其中其中:

V点集点集E边集边集图图G区别于几何学中的图。

这里只关心图中有多少个点以及哪区别于几何学中的图。

这里只关心图中有多少个点以及哪些点之间有连线。

些点之间有连线。

图与网络的基本概念与模型图与网络的基本概念与模型（v1）赵（v2）钱孙（v3）李（v4）周（v5）吴（v6）陈（v7）e2e1e3e4e5（v1）赵（v2）钱（v3）孙（v4）李（v5）周（v6）吴（v7）陈e2e1e3e4e5可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。

可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。

例如：

在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来例如：

在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来表示。

表示。

11图与网络的基本概念图与网络的基本概念6a1a2a3a4a14a7a8a9a6a5a10a12a11a13a15（v1）赵赵（v2）钱钱（v3）孙孙（v4）李李（v5）周周（v6）吴吴（v7）陈陈图图11-3如果我们把上面例子中的如果我们把上面例子中的“相互认识相互认识”关系改为关系改为“认识认识”的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关系了，这是我们引入关系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧一个带箭头的联线，称为弧。

图。

图11-311-3就是一个反映这七人就是一个反映这七人“认识认识”关系的图。

相互认识用两条反关系的图。

相互认识用两条反向的弧表示。

向的弧表示。

图与网络的基本概念与模型图与网络的基本概念与模型定义定义:

图中的点用图中的点用vv表示，边用表示，边用ee表示。

对每条边可用它所表示。

对每条边可用它所连接的点表示，记作：

连接的点表示，记作：

ee11=v=v11,v,v11;

e;

e22=v=v11,v,v22;

v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5端点端点端点端点,关联边关联边关联边关联边,相邻相邻相邻相邻若有边若有边e可表示为可表示为e=vi,vj，称，称vi和和vj是边是边e的的端点端点，反之称边，反之称边e为点为点vi或或vj的的关联边关联边。

若点。

若点vi、vj与同一条边关与同一条边关联，称点联，称点vi和和vj相邻；

若边相邻；

若边ei和和ej具具有公共的端点，称边有公共的端点，称边ei和和ej相邻相邻。

图与网络的基本概念与模型图与网络的基本概念与模型环环环环,多重边多重边多重边多重边,简单图简单图简单图简单图如果边如果边e的两个端点相重，称该边为的两个端点相重，称该边为环环。

如右图中边。

如右图中边e1为环。

如果两个点为环。

如果两个点之间多于一条，称为之间多于一条，称为多重边多重边，如右图，如右图中的中的e4和和e5，对无环、无多重边的图，对无环、无多重边的图称作称作简单图简单图。

v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5图与网络的基本概念与模型图与网络的基本概念与模型链，圈，连通图链，圈，连通图链，圈，连通图链，圈，连通图（P231）（P231）（P231）（P231）图中某些点和边的交替序列，若其图中某些点和边的交替序列，若其中各边互不相同，且对任意中各边互不相同，且对任意Vi-1,Vi和和vi+1均相邻称为均相邻称为链链。

用。

用表示：

表示：

v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5起点与终点重合的链称作起点与终点重合的链称作圈圈。

如果。

如果每一对顶点之间至少存在一条链，每一对顶点之间至少存在一条链，称这样的图为称这样的图为连通图连通图，否则称，否则称图不图不连通连通。

图与网络的基本概念与模型图与网络的基本概念与模型网络（赋权图网络（赋权图网络（赋权图网络（赋权图）（P232）（P232）设图设图G（V，E），对），对G的每一条边的每一条边（vi,vj）相应赋予数量指标相应赋予数量指标wij，wij称为边称为边（vi,vj）的权的权,赋予权的图赋予权的图G称为称为网络网络（或赋权图）。

或赋权图）。

权权可以代表距离、费用、通过能力可以代表距离、费用、通过能力（容量容量）等等。

等等。

端点无序的赋权图称为端点无序的赋权图称为无向网络无向网络，端点有序的赋权图称为，端点有序的赋权图称为有有向网络。

向网络。

910201571419256图与网络的基本概念与模型图与网络的基本概念与模型主要概念主要概念主要概念主要概念（p231-p232）（p231-p232）无向图无向图：

由：

由点和边构成的图，记作点和边构成的图，记作G=（V，E）。

）。

有向图有向图：

由点和弧构成的图，记作点和弧构成的图，记作D=（V，A）。

连通图连通图：

对：

对无向图无向图G，若，若任何任何任何任何两个不同的点之间，至少存在一条链，则两个不同的点之间，至少存在一条链，则G为连通图。

为连通图。

回路回路：

若：

若路的第一个点和最后一个点相同，则该路为回路。

路的第一个点和最后一个点相同，则该路为回路。

赋权图赋权图：

对一个无向图一个无向图G的每一条边的每一条边（vi,vj），相应地有一个数，相应地有一个数wij，则称，则称图图G为赋权图，为赋权图，wij称为边称为边（vi,vj）上的权。

上的权。

网络网络：

在：

在赋权的有向图赋权的有向图赋权的有向图赋权的有向图DD中指定一点，称为发点，指定另一点称为收点，中指定一点，称为发点，指定另一点称为收点，其它点称为中间点，并把其它点称为中间点，并把D中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，D就就称为网络。

称为网络。

11最短路问题最短路问题如何用最短的线路将三部电话连起来？

如何用最短的线路将三部电话连起来？

此问题可抽象为设此问题可抽象为设ABC为等边三角形，连接三顶点为等边三角形，连接三顶点的路线（称为网络）。

这种网络有许多个，其中最短路的路线（称为网络）。

这种网络有许多个，其中最短路线者显然是二边之和（如线者显然是二边之和（如ABAC）。

ABC最短路问题最短路问题ABCP但若增加一个周转站（新点但若增加一个周转站（新点P），连接），连接4点的新网络的最短点的新网络的最短路线为路线为PAPBPC。

最短新路径之长。

最短新路径之长N比原来只连三点比原来只连三点的最短路径的最短路径O要短。

这样得到的网络不仅比原来节省材料，要短。

这样得到的网络不仅比原来节省材料，而且稳定性也更好。

而且稳定性也更好。

最短路问题最短路问题问题描述：

问题描述：

要求：

就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两点之间距离最短的一条路点之间距离最短的一条路.有些问题，如选址、管道铺设时的选线、设备更新、投有些问题，如选址、管道铺设时的选线、设备更新、投资、某些整数规划和动态规划的问题，也可以归结为求资、某些整数规划和动态规划的问题，也可以归结为求最短路的问题。

因此这类问题在生产实际中得到广泛应最短路的问题。

因此这类问题在生产实际中得到广泛应用。

最短路问题最短路问题例例例例渡河游戏渡河游戏渡河游戏渡河游戏一老汉带了一只狼、一只羊、一棵白菜想要从南岸过河一老汉带了一只狼、一只羊、一棵白菜想要从南岸过河到北岸，河上只有一条独木舟，每次除了人以外，只能到北岸，河上只有一条独木舟，每次除了人以外，只能带一样东西；

另外，如果人不在，狼就要吃羊，羊就要带一样东西；

另外，如果人不在，狼就要吃羊，羊就要吃白菜，问应该怎样安排渡河，才能做到既把所有东西吃白菜，问应该怎样安排渡河，才能做到既把所有东西都运过河去，并且在河上来回次数最少？

这个问题就可都运过河去，并且在河上来回次数最少？

这个问题就可以用求最短路方法解决。

以用求最短路方法解决。

最短路问题最短路问题定义：

定义：

1）人）人M（Man），狼），狼W（Wolf），），羊羊G（Goat），），草草H（Hay）2）点点Vi表示河岸的状态表示河岸的状态3）边边ek表示由状态表示由状态vi经一次渡河到状态经一次渡河到状态vj4）权权边边ek上的权定为上的权定为1我们可以得到下面的加权有向图我们可以得到下面的加权有向图：

最短路问题最短路问题状态说明：

状态说明：

v1,u1=（M,W,G,H）;

v2,u2=（M,W,G）;

v3,u3=（M,W,H）;

v4,u4=（M,G,H）;

v5,u5=（M,G）此游戏转化为在下面的二部图中求从此游戏转化为在下面的二部图中求从vv11到到uu11的最短路问题。

的最短路问题。

v1v2v3v4v5u5u4u3u2u1最短路问题最短路问题求最短路有两种算法求最短路有两种算法:

狄克斯屈拉狄克斯屈拉（Dijkstra）（双标号）算法（双标号）算法逐次逼近算法逐次逼近算法最短路问题：

最短路问题：

对一个赋权的有向图对一个赋权的有向图D中的指定的两个点中的指定的两个点Vs和和Vt找找到一条从到一条从Vs到到Vt的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称之为从这条路被称之为从Vs到到Vt的最短路。

这条路上所有弧的权数的总的最短路。

这条路上所有弧的权数的总和被称为从和被称为从Vs到到Vt的距离。

的距离。

最短路问题最短路问题狄克斯屈拉狄克斯屈拉狄克斯屈拉狄克斯屈拉（Dijkstra）（Dijkstra）标号算法的基本思路：

标号算法的基本思路：

若序列若序列vs,v1.vn-1,vn是从是从vs到到vt间的最短路，则序列间的最短路，则序列vs,v1.vn-1必为从必为从vs到到vn-1的最短路。

的最短路。

假定假定v1v2v3v4是是v1v4的最短路，则的最短路，则v1v2v3一定是一定是v1v3的最短路，的最短路，v2v3v4也一定是也一定是v2v4的的最短路。

最短路。

v1v2v3v4v5最短路问题最短路问题最最最最短路的短路的短路的短路的DijkstraDijkstra算法算法算法算法（双标号法双标号法双标号法双标号法）的步骤：

）的步骤：

1.给出点给出点V1以标号以标号（0,s）2.找出已标号的点的集合找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合，没标