组合数学第二章_精品文档PPT课件下载推荐.ppt

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等式（2-1-5）两端令x=1，得：

2.12.1母函数母函数用类似的方法还可以得到：

定义：

对于序列构造一函数：

2.12.1母函数母函数还可以类似地推出一些等式，但通过上面一些例子已可见函数在研究序列的关系时所起的作用。

对其他序列也有同样的结果。

现引进母函数概念如下：

称函数G（x）是序列的母函数序列可记为。

如若已知序列则对应的母函数G（x）便可根据定义给出。

反之，如若以求得序列的母函数G（x），则该序列也随之确定。

2.12.1母函数母函数例如是序列的母函数。

2.22.2递推关系递推关系利用递推关系进行计数这个方法在算法分析中经常用到，举例说明如下：

例一.Hanoi问题：

这是个组合数学中的著名问题。

N个圆盘依其半径大小，从下而上套在A柱上，如下图示。

每次只允许取一个移到柱B或C上，而且不允许大盘放在小盘上方。

若要求把柱A上的n个盘移到C柱上请设计一种方法来，并估计要移动几个盘次。

现在只有A、B、C三根柱子可用。

2.22.2递推关系递推关系Hanoi问题是个典型的问题，第一步要设计算法，进而估计它的复杂性，集估计工作量。

算法：

N=2时第一步先把最上面的一个圆盘套在B上zz第二步把下面的一个圆盘移到C上最后把B上的圆盘移到C上到此转移完毕ABC2.22.2递推关系递推关系z对于一般n个圆盘的问题，z假定n-1个盘子的转移算法已经确定。

z先把上面的n-1个圆盘经过C转移到B。

z第二步把A下面一个圆盘移到C上z最后再把B上的n-1个圆盘经过A转移到C上ABC2.22.2递推关系递推关系上述算法是递归的运用。

n=2时已给出算法；

n=3时，第一步便利用算法把上面两个盘移到B上，第二步再把第三个圆盘转移到柱C上；

最后把柱B上两个圆盘转移到柱C上。

N=4，5，以此类推。

2.22.2递推关系递推关系算法分析：

算法分析：

令h（n）表示n个圆盘所需要的转移盘次。

根据算法先把前面n-1个盘子转移到B上；

然后把第n个盘子转到C上；

最后再一次将B上的n-1个盘子转移到C上。

n=2时，算法是对的，因此，n=3是算法是对的。

于是有2.22.2递推关系递推关系算法复杂度为：

H（x）是序列的母函数。

给定了序列，对应的母函数也确定了。

反过来也一样，求得了母函数，对应的序列也就可得而知了。

当然，利用递推关系（2-2-1）式也可以依次求得，这样的连锁反应关系，叫做递推关系。

2.22.2递推关系递推关系下面介绍如何从（2-2-1）式求得母函数H（x）的一种形式算法。

所谓形式算法说的是假定这些幂级数在作四则运算时，一如有限项的代数式一样。

2.22.2递推关系递推关系根据（2-2-1），或利用递推关系（2-2-1）有2.22.2递推关系递推关系上式左端为：

右端第一项为：

右端第二项为：

2.22.2递推关系递推关系整理得这两种做法得到的结果是一样的。

即：

2.22.2递推关系递推关系令如何从母函数得到序列？

下面介绍一种化为部分分数的算法。

2.22.2递推关系递推关系由上式可得：

2.22.2递推关系递推关系因为：

2.22.2递推关系递推关系例例2.求n位十进制数中出现偶数个5的数的个数。

先从分析n位十进制数出现偶数个5的数的结构入手是n-1位十进制数，若含有偶数个5，则取5以外的0，1，2，3，4，6，7，8，9九个数中的一个，若只有奇数个5，则取，使成为出现偶数个5的十进制数。

2.22.2递推关系递推关系解法解法1：

令位十进制数中出现5的数的个数，位十进制数中出现奇数个5的数的个数。

也有类似解释。

2.22.2递推关系递推关系（2-2-2）式中的表达了含有偶数个5的n位十进制数的两个组成部分。

表达由含有偶数个5的n-1位十进制数，令取5以外的0，1，2，3，4，6，7，8，9九个数中的一个数构成的。

项表示当是含有奇数个5的n-1位十进制数，令而得是含偶数个5的n位十进制数。

（2-2-2）是关于序列和的连立关系。

2.22.2递推关系递推关系设序列的母函数为，序列的母函数为。

2.22.2递推关系递推关系承前页：

2.22.2递推关系递推关系又：

故得关于母函数和得连立方程组：

2.22.2递推关系递推关系2.22.2递推关系递推关系2.22.2递推关系递推关系解法二：

解法二：

n-1位的十进制数的全体共从中去掉含有偶数个5的数，余下的便是n-1位中含有奇数个5的数。

2.22.2递推关系递推关系令2.22.2递推关系递推关系1）不出现某特定元素设为，其组合数为，相当于排除后从中取r个做允许重复的组合。

2.22.2递推关系递推关系例三：

例三：

从n个元素中取r个进行允许重复的组合。

假定允许重复的组合数用表示，其结果可能有以下两种情况。

2.22.2递推关系递推关系2）至少出现一个，取组合数为相当于从中取r-1个做允许重复的组合，然后再加上一个得从n个元素中取r个允许重复的组合。

依据加法原则可得：

因，故令2.22.2递推关系递推关系递推关系（2-2-3）带有两个参数n和r。

2.22.2递推关系递推关系（2-2-3）式是关于的递推关系，但系数不是常数。

但2.22.2递推关系递推关系由二项式定理可得2.32.3母函数的性质母函数的性质2.32.3母函数的性质母函数的性质一个序列和它的母函数一一对应。

给了序列便得知它的母函数；

反之，求得母函数序列也随之而定。

这种关系颇像数学中的积分变换，特别酷似离散序列的Z变换。

如2的例子所示的那样，为了求满足某种第推关系的序列，可把它转换为求对应的母函数，可能满足一代数方程，或代数方程组，甚至于是微分方程。

2.32.3母函数的性质母函数的性质最后求逆变换，即从已求得的母函数得到序列。

关键在于要搭起从序列到母函数，从母函数到序列这两座桥。

这一节便是以此为目的的。

不特别说明下面假设、两个序列对应的母函数分别为、2.32.3母函数的性质母函数的性质性质性质1：

若则证：

证：

2.32.3母函数的性质母函数的性质例例.已知则2.32.3母函数的性质母函数的性质性质性质2：

若，则2.32.3母函数的性质母函数的性质证：

2.32.3母函数的性质母函数的性质例例.2.32.3母函数的性质母函数的性质性质性质2：

若，则证：

2.32.3母函数的性质母函数的性质2.32.3母函数的性质母函数的性质例例.已知2.32.3母函数的性质母函数的性质类似可得：

2.32.3母函数的性质母函数的性质性质性质2：

若收敛，则2.32.3母函数的性质母函数的性质2.32.3母函数的性质母函数的性质性质性质5.5.若，则。

例例.则2.32.3母函数的性质母函数的性质性质5和性质6的结论是显而易见的。

性质性质66.若，则2.32.3母函数的性质母函数的性质性质性质77.若则2.32.3母函数的性质母函数的性质证证:

。

2.32.3母函数的性质母函数的性质例例.已知则2.42.4FibonacciFibonacci数列数列2.4.12.4.1递推关系递推关系Fibonacci数列是递推关系的又一个典型问题，数列的本身有着许多应用。

问题：

有雌雄兔子一对，假定过两月便可繁殖雌雄各一的一对小兔。

问过了n个月后共有多少对兔子？

设满n个月时兔子对数为其中当月新生兔数目设为对。

第n-1个月留下的兔子数目设为对。

2.4.12.4.1递推关系递推关系但即第n-2个月的所偶兔子到第n个月都有繁殖能力了。

由递推关系（2-3-1）式可依次得到2.4.22.4.2问题的求解问题的求解设2.4.22.4.2问题的求解问题的求解承前页2.4.22.4.2问题的求解问题的求解承前页2.4.22.4.2问题的求解问题的求解承前页2.4.22.4.2问题的求解问题的求解其中2.4.32.4.3若干等式若干等式1）证明：

证明：

2.4.32.4.3若干等式若干等式2）证明：

2.4.32.4.3若干等式若干等式3）证明：

2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用设函数在区间上有一单峰极值点，假定为极大点。

所谓单峰极值，即只有一个极值点，而且当x与偏离越大，偏差也越大。

如下图：

2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用设函数在点取得极大值。

要求用若干次试验找到点准确到一定的程度。

最简单的方法，把三等分，令：

2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用依据的大小分别讨论如下：

当，则极大点必在区间上，区间可以舍去。

2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用当，则极大点必在区间上，区间可以舍去。

2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用当，则极大点必在区间上，区间和均可以舍去。

2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用可见做两次试验，至少可把区间缩至原来区间的2/3，比如，进一步在区间上找极值点。

若继续用三等分法，将面对着这一实事，即其中点的试验没发挥其作用。

为此设想在区间的两个对称点分别做试验。

2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用设保留区间，继续在区间的下面两个点处做试验，若则前一次的点的试验，这一次可继续使用可节省一次试验。

由（2-3-6）式有2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用这就是所谓的0.618优选法。

即若在区间上找单峰极大值时，可在点做试验。

比如保留区间，由于，故只要在点作一次试验。

2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用优选法中可利用Fibonacci数列，和0.618法不同之点在于它预先确定试验次数，分两种情况介绍其方法。

（a）所有可能试验数正好是某个。

2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用这时两个试验点放在和两个分点上，如果分点比较好，则舍去小于的部分；

如果点更好，则舍去大于的部分。

在留下的部分共个分点，其中第和第二试验点，恰好有一个是刚才留下来的试验可以利用。

可见在个可能试验中，最多用n-1次试验便可得到所求的极值点2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用（b）利用Fibonacci数列进行优选不同于0.618法之点,还在于它适合于参数只能取整数数值的情况.如若可能试验的数目比小,但比大时,可以虚加几个点凑成个点，但新增加的点的试验不必真做，可认定比其他点都差的点来处理。

2.4.42.4.4在选优法上的应用在选优法上的应用下面给出两个定理作为这一节的结束。

定理：

测试n次可将包含单峰极值点的区间缩小到原区间的，其中是