现代设计方法---拉格朗日乘子法_精品文档PPT资料.ppt

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等式约束与不等式约束。

处理等式约束问题与不等式约束问题的方法也有所不同。

拉格朗日乘子法是一种常用且有效的方法。

一、等式约束下的拉格朗日乘子法及其C语言程序拉格朗日乘子法的计算方法

（1）等式约束时极值存在的必要条件对于二元函数来说，设目标函数为f（x1，x2），等式约束为：

g（x1，x2）=0。

在无约束时，极值点存在的必要条件为：

当有等式约束时，除了以上的关系式仍成立外，还必须满足：

这就是说，在等式约束条件下，使f为极小的dx1与dx2已不能任意选取，必须满足式（3-81）。

由式（3-80）及式（3-81）可得：

这就是在等式约束下使目标函数f为极小的必要条件,

（2）拉格朗日乘子法的计算方法及步骤式（3-83）可改写为：

令此比值等于一个可正可负的常数：

则即称为拉格朗日待定乘数，或简称为拉格朗日乘子。

于是由式（3-85），连同g（x1，x2）=0，得：

解此联立方程式可得x1*，x2*，*，即求出极值点。

方程组（3-86）相当于求解一个无约束的函数：

的极值点。

此函数极值点存在的必要条件为：

此即式（3-86）的结果。

这个新定义的函数L称为拉格朗日（Lagrange）函数。

若将式（3-86）代人式（3-80），得：

这表明：

在极值点附近，L为目标函数f随约束条件g的微小变化而变化的比率。

综上所述，通过应用拉格朗日乘子，可使求等式约束条件下函数f的极小点，成为求拉格朗日函数L的驻点。

这种引进待定乘子，将有等式约束的寻优问题转化为无约束的寻优问题的做法，称为拉格朗日乘子法，又叫升维法。

这里未知数xi（i=l，2，.，n）及（K=1，2，.，m）共有n+m个，而式（3-94）中也正有n+m个方程，故能求解。

由于引入了，使变量及方程的数目都增加了。

为便于在计算机上利用直接寻优方法进行迭代计算，一般引入新的函数：

这样，有约束的原问题就转换成为无约束的问题了。

然后，利用无约束的多变量函数的寻优方法（例如单纯形加速法等）对函数Z求极小值，即可得原问题的最优解。

等式约束条件下拉格朗日乘子法的C语言程序见附录。

二、不等式约束下的拉格朗日乘子法对具有不等式约束或兼有不等式约束和等式约束的多变量函数的寻优问题。

常用拉格朗日（Lagrange）乘于法。

拉格朗日乘子法的计算方法拉格朗日乘子法不仅可以用于解具有等式约束的非线性规划问题，而且也可以用于解具有不等式约束的非线性规划问题。

对于不等式约束条件，可设法引入松弛变量，使不等式变为等式。

然后，按

（一）中所述的方法求解。

例如，若不等式约束为：

我们引入松弛变量x3。

由于在非线性规划中，没有变量为非负的约束，即不要求xi0，（其中i=1,2,n）。

因此，为保证不等式成立，引入的松弛变量均用平方项，以保证该引入项为非负的。

由此可取：

这样就可把不等式约束变换为等式约束然后，再用拉格朗日乘子法求解。

例：

约束条件为：

求目标函数第一步：

加松弛变量x3、x4，使不等式约束变换为等式约束：

第二步：

引入拉格朗日函数,式（3-103）中，有6个未知变量x1、x2、x3、x4、1、2，若用求导的办法求极值，可有6个偏导数方程式，然后求出这6个未知数。

这样计算是比较麻烦的。

第三步：

引入新函数Z：

使用本程序时，先给定一个初始点X（0），然后用计算机迭代计算，可求出最优解为：