弹性力学--等截面直杆的扭转_精品文档PPT文件格式下载.ppt

弹性力学--等截面直杆的扭转_精品文档PPT文件格式下载.ppt

《弹性力学--等截面直杆的扭转_精品文档PPT文件格式下载.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹性力学--等截面直杆的扭转_精品文档PPT文件格式下载.ppt（97页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

,于是有：

（10-2）,（x，y）扭转应力函数,也称普朗特尔（Prandtl）应力函数,将式（10-2）代入相容方程（b），有,（10-3）,由此可解得：

用应力函数表示的相容方程,式中：

C为常数。

结论：

等直杆的扭转问题归结为：

按相容方程（10-3）确定应力函数（x，y），然后按式（10-2）确定应力分量，并使其满足边界条件。

定解条件边界条件,

（1）侧表面：

将、l、m代入上述边界条件，有,又由式（10-2），应力函数差一常数不影响应力分量的大小，,表明：

在杆件的侧面上（横截面的边界上），应力函数应取常数。

（10-4）,扭转问题的定解条件之一。

对于多连体（空心杆）问题，在每一边界上均为常数，但各个常数一般不相等，因此，只能将其中的一个边界上取s=0，而其余边界上则取不同的常数，如：

于是对单连体（实心杆）可取：

Ci由位移单值条件确定。

（2）上端面：

由圣维南原理转化为：

（c）,（d）,（e）,对式（c），应有,同理，对式（d），应有,对式（e）：

分部积分，得：

同理，得：

将其代入式（e）：

得到：

（10-5）,结论：

等直杆的扭转问题归结为解下列方程：

（10-3）,泛定方程：

定解条件：

（10-4）,（10-5）,应力分量：

应力函数法,（10-5）,对多连体情形，有,其中：

分别为第i个内边界上的值和第i个内边界所围的面积。

2.扭转的位移与变形,由物理方程，得：

再几何方程方程代入，有,（f）,积分前三式，有,代入后三式，有,又由：

得：

从中求得：

代入f1、f2和u、v得：

其中：

u0、v0、x、y、z和以前相同，代表刚体位移。

若不计刚体位移，只保留与变形有关的位移，则有,（10-6）,将其用极坐标表示：

由,将式（10-6）代入，有：

由此可见：

对每个横截面（z=常数）,它在xy面上的投影形状不变，而只是转动一个角度=Kz。

K单位长度杆件的扭转角。

将其代入：

有：

将两式相减，得：

（10-7）,（10-8）,将其对照式（10-3）：

（10-3）,可见：

（10-9）,实际问题中，K可通过实验测得。

小结：

平衡微分方程：

2.扭转问题应力的求解,（x，y）扭转应力函数,（Prandtl）应力函数,（10-3）,（10-4）,（10-5）,应力函数的确定,侧面边界条件,杆端边界条件,相容方程,1.扭转问题按应力求解的基本方程,应力函数法,应力的确定,K单位长度杆件的扭转角,3.扭转问题杆件位移与变形,杆件的抗扭刚度,或：

扭转杆件的变形,扭转杆件的位移,本章前面内容回顾：

扭转杆件的变形,扭转杆件的位移,10-3椭圆截面的扭转,1.问题的描述,椭圆截面直杆：

长半轴为a，,短半轴为b，,受扭矩M作用。

杆中的应力与位移。

2.问题的求解,求应力函数,根据：

（10-4）,及椭圆截面方程：

可假设：

（a）,（b）,式中：

m为待定常数。

将其代入方程（10-3）：

（c）,利用方程（10-5）：

（d）,式中：

代入式（d）,有：

可求得：

（e）,（e）,（c）,将其代入式（e）,得：

（f）,至此，满足所有的条件：

（10-4）,（10-3）,（10-5）,求剪应力,

（1）剪应力分量：

（10-12）,

（2）合剪应力：

（10-13）,（3）最大、最小剪应力：

对上式求极值，当,（10-14）,当a=b时，与材料力学中圆截面结果相同。

求杆的形变与位移,由,得到：

（10-15）,杆件单位长度的扭转角,单位长度的扭转角,位移分量,由,（10-16）,可求得：

由式（10-7）和式（f）:

（f）,比较两式，得：

对其分别积分，得：

式中：

w0为常数，代表刚体位移。

若不计刚体位移，则有：

（10-17）,表明：

（1）扭杆的横截面并不保持平面，而翘曲成曲面。

（2）曲面的等高线在xy面上的投影为双曲线，其渐近线为x、y轴。

（3）仅当a=b时（圆截面杆），才有w=0，横截面保持平面。

讨论：

应力函数的选取,可利用杆截面的边界方程，如：

（a）椭圆：

边界曲线方程,应力函数,（b）等边三角形：

=常数,（c）带半圆槽的杆：

小圆：

大圆：

=常数,（d）矩形截面杆：

4条边界的方程为：

假设扭转应力函数为：

常数,表明：

上述函数不能作为扭转应力函数。

设定:

扭转应力函数为：

显然，满足侧面的边界条件,判断：

扭转应力函数是否满足：

若满足，则由此确定待定常数m，得应力函数（x,y）。

如：

椭圆截面杆的扭转应力函数（x,y）,椭圆截面方程：

等边三角形截面杆的应力函数（x,y）,等边三角形截面边界方程：

可假设应力函数（x,y）：

=常数,如：

带半圆槽截面杆的应力函数（x,y）,小圆：

=常数,可假设应力函数（x,y）：

注意：

半逆解法不是对所有情形都适用。

对矩形截面杆不适用。

例：

图示空心圆截面杆件，外半径为a，内半径为b，试求其扭转剪应力及位移。

解：

求应力函数,为使在外边界上的值为零，内边界上的值为常数，可取：

（1）,由端部边界条件式（10-5）得：

于是，得,

（2）,（3）,求剪应力,（4）,（5）,求变形与位移,单位长度扭转角：

位移分量：

（10-7）,由：

刚体位移,由于变形引起的轴向位移：

即平面保持平面假设成立。

图示空心椭圆截面杆件，边界的方程分别为：

试求其扭转剪应力及位移。

内边界：

外边界：

（作为作业题）,10-2扭转问题的薄膜比拟,1.薄膜比拟概念,比拟的概念：

如果两个物理现象，具有以下相似点：

（1）泛定方程；

（2）定解条件；

则可舍去其物理量本身的物理意义，互相求解确定。

扭转问题的薄膜比拟：

由普朗特尔（Prandtl.,L.）提出,薄膜在均匀压力下的垂度z，与等截面直杆扭转问题中的应力函数，在数学上相似（泛定方程相似、定解条件相似）。

因此，可用求薄膜垂度z,变化规律的方法来解等截面杆扭转问题。

扭转问题的薄膜比拟方法。

为扭转问题提供了一种实验方法,2.薄膜比拟方法,设一均匀薄膜，张在水平边界上，水平边界与某受扭杆件截面的边界具有相同的形状和大小，薄膜在微小的均匀压力下，各点发生微小的垂度z。

有关薄膜假定：

不能受弯矩、扭矩、剪力作用，只能受张力T（单位宽度的拉力）作用。

2.薄膜比拟方法,方法说明：

取薄膜的一微小部分（abcd矩形），其受力如图，,ab边上拉力：

ab边上拉力在z轴上投影：

cd边上拉力：

cd边上拉力在z轴上投影：

ad边上拉力：

bc边上拉力：

bc边上拉力在z轴上投影：

在z方向上外力：

两边同除以dxdy，整理得：

或：

（10-10）,边界条件：

（10-11）,对于均布压力，有：

式（10-10）和（10-11）变为：

（a）,另一方面，扭转问题有：

（10-8）,（10-4）,将式（10-8）、（10-4）改写为：

（b）,比较式（a）、（b）可见：

当薄膜与扭杆横截面具有相同的边界时，变量：

与,决定于同样的微分方程与边界条件，因而，两者应有相同的解答。

并有：

（c）,3.扭矩M、截面上的剪应力与薄膜体积、斜率的关系,薄膜与边界平面间的体积为：

由式（c）:

（c）,得到:

代入上式，有:

由式（10-5）：

（d）,或,扭矩M与薄膜体积的关系,截面剪应力与薄膜斜率的关系,由,可得：

薄膜垂度z沿y方向的斜率。

（e）,（f）,结论：

当薄膜受均布压力q作用时，使得：

则得：

（1）,

（2）,（3）,由于x、y轴方向是可以取在扭杆横截面上任意两互相垂直的方向，因而可得到如下推论：

（1）在扭杆横截面的某一点处，沿任一方向的剪应力，就等于该薄膜在该点处沿垂直方向的斜率。

（2）扭杆横截面的最大剪应力，等于该薄膜的最大斜率。

注：

最大剪应力的方向，与该薄膜的最大斜率的方向垂直。

剪应力环流公式：

图中曲线C为薄膜变形后的某一条等高线，B为等高线上某一点，C上有：

=常数,即，垂度z对曲线C的切向导数为零：

对于扭转杆件，,沿曲线C有,而：

（a）,等高线C上任一点B的剪应力在法向上投影之和为零，即，B点的剪应力方向必沿此等高线的切线方向。

表明：

薄膜上的等高线C在边界平面上投影，即为扭转截面上剪应力流线。

法向剪应力,切向剪应力,由薄膜垂度与扭转应力函数的关系，得到：

各点剪应力与对应薄膜在该点的最大斜率成正比，,而最大剪应力的方向与薄膜,在该点的最大斜率方向互相垂直。

用等高线所在的平面截割薄膜，,由其z方向平衡，,其中：

A为所截处等高线所围的面积；

为所截薄膜在等高线处的斜率。

因为：

所以，有：

将其代入式（b）,有,（c）,化简式（c）,有,（d）,剪应力环流公式,表明：

剪应力沿流线的积分与杆件的单位扭转角K、剪应力流线所围面积A成正比。

扭转应力函数的两个基本性质,性质1：

截面内任一点的总剪应力必指向该点处应力函数等值线的切线，其大小等于应力函数的负梯度，即沿内法线方向的导数值：

性质2：

在应力函数的闭合等值线上，剪应力环量和等值线所围的面积A成正比，即：

剪应力环流公式,10-4矩形截面杆的扭转,1.问题：

图示矩形截面杆：

a、b、M,

（1）,

（2）,两种情形：

ab；

杆的应力与位移。

2.问题的求解,

（1）ab情形：

狭长矩形,一般情形；

求应力函数,ab，,由薄膜比拟可以推断，,应力函数绝大部分截面几乎不随x变化，即不受短边约束的影响，对应的薄膜几乎为一柱面。

可以近似地取：

而：

变为：

对上式积分，有,利用边界条件：

（a）,利用式（10-5）：

积分求得：

（b）,（c）,求剪应力,

（1）剪应力分量：

（10-18）,

（2）最大剪应力：

（10-19）,杆件的变形,单位长度扭转角：

由式（10-9）：

（10-20）,此时应力函数可表示为：

（d）,

（2）任意情形（a/b=任意值）：

求应力函数,基本方程与边界条件：

此