非线性方程的数值解法_精品文档PPT资料.ppt

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,1。

利用零点存在定理,2。

搜索法：

3。

作图,找出交点,二、对分法,设f（x）在（a,b）上连续且f（x）=0在（a,b）内只有一个根,1。

算法,2。

收敛性,根据精度终止计算。

误差控制,例2.1：

试用二分法求的非零实根，使其误差小于10-2,解：

（1）根的隔离,取h=0.5,

（2）预先算出计算步数,0（+）1.5（-）21.75+1.7521.875+1.87521.93751.8751.93751.90265+1.902651.93751.921875+51.921881.93751.92688+,2.1.3二分法评述,优点：

简单可靠，易于编程实现，它对函数要求低，适用于的奇数重根情形。

缺点：

不能直接用于求偶重根，不能用于求复根，也难以向方程组推广使用，收敛速度慢。

2.2一般迭代法,迭代法的算法思想为：

（A）把

（1）等价变换为如下形式,（B）建立迭代格式,（C）适当选取初始值x0，递推计算出所需的解。

一迭代法的算法思想,或更一般地建立迭代格式,例,由此建立迭代格式,也可建立迭代格式,-发散,-收敛,二迭代法的收敛性,命题得证。

证,证,定理2.1设x*=g（x*）,g（x）在闭区间：

内李普希兹连续，则对任何初值由迭代格式xk+1=g（xk）计算得到的解序列收敛于x*（这时我们称迭代格式xk+1=g（xk）在x*的邻域上局部收敛）。

因此，定理得证。

反设存在,矛盾。

所以结论成立。

2）迭代函数在x*附近李普希兹连续从而收敛的迭代格式统称为皮卡（Picard）迭代,

（2）由

（1）的结论和g（x）在内李普希兹连续的假设，可递推得到,注1）g（x）在内李普希兹连续的条件保证了x*为f（x）=0在内的唯一根。

证,推论设x*=g（x*），若g（x）在x*附近连续可微且，则迭代格式xk+1=g（xk）在x*附近局部收敛。

注由于x*事先未知，故实际应用时，代之以近似判则。

但需注意，这实际上是假设了x0充分接近x*，若x0离x*较远，迭代格式可能不收敛。

定理2.2（非局部收敛定理）如果在上连续可微且以下条件满足：

命题2.2若在区间内，则对任何，迭代格式不收敛。

发散,收敛,证明,所以该迭代格式在内不收敛，不可取。

易知在x0时g（x）单调增，故有2g

（2）g（x）g（3）3,故由定理2.2得：

任取，该迭代格式收敛。

三、迭代法的误差估计,故对正整数p，有,由此，对给定的精度可进行,

（2）事后误差估计,

（1）事前误差估计,简单地代之以,或,三、迭代法的误差估计,对给定的精度可进行,例2.2试建立收敛的迭代格式求解xex=0在x=0.5附近的一个根（=10-3）。

解,建立迭代格式,00.560.564860.6065370.568440.5452480.566410.5797090.567560.56006100.5669150.57117,四、迭代法的收敛速度与加速收敛技巧,则称该迭代格式是p阶收敛的。

p=1时称为线性收敛1p2时称为超线性收敛p=2时称为平方收敛。

定义2.2设迭代格式的解序列收敛于的根，如果迭代误差当时满足渐近关系式,对分法：

线性收敛,一般迭代法：

线性收敛,2.3牛顿迭代法,一、牛顿迭代公式的构造,设f（x）在其零点附近连续可微，已知为的第k次近似值，则,取的根作为的第k+1次近似值,其迭代函数为,二、牛顿迭代法的收敛性与收敛速度,定理2.3给定f（x）=0，如果在根附近f（x）二阶连续，且为f（x）=0的单根，则牛顿迭代法在附近至少是平方收敛的。

证,其次证明牛顿迭代法的收敛速度：

整理得,可见，当时，牛顿迭代法为平方收敛；

当时，牛顿迭代法超平方收敛。

例2.4试用牛顿迭代法求解在区间（2,3）内满足精度要求的根。

相应于该方程的牛顿迭代公式为,取x0=2，计算结果见表2-4。

解,0212.10.12.094568121-0.0054318792.094551482-0.0000166392.0945514820,牛顿迭代法评述,优点：

是收敛速度比较快,缺点：

（1）局部收敛，对初始值的要求比较高。

为解决这一问题，可采用二分法来提供足够“好”的近似值作为迭代初值，或通过增加“下山”限制来放宽对初值的要求，即把牛顿迭代法修改为,其中的选取使得（这称为“下山”限制）。

该方法称为牛顿下山法。

（2）当为重根时，牛顿迭代法仅仅线性收敛。

（3）由于涉及的计算，导致了对函数的要求高，并增加了每一迭代步的计算量，这在一定程度上减弱了该迭代法收敛快的优越性，而且在向非线性方程组推广时，使计算量和对函数的要求大大增加。

因此，人们致力于研究建立牛顿迭代法的修改格式以回避对函数导数值的计算。

本章仅对非线性方程介绍一种较为有效的修改算法弦截法。

2.4弦截法,计算思想是：

若已知x*的两个近似值xk和xk-1，则以f（x）在xk与xk-1之间的平均变化率（差商）近似代替，据此把牛顿迭代法修改为,该定理说明弦截法是超线性收敛的算法，也是局部收敛的方法，其迭代初始值亦可用二分法提供。

定理2.4设f（x）在其零点x*的邻域内二阶连续，且对，则对，相应的弦截法是阶收敛的。

例2.5试用弦截法求解在区间（2,3）内满足精度要求的根。

相应于该方程的弦截法公式为,解,取计算，结果见表2-5。

例2.6试讨论函数方程的根的分布情况，分别用牛顿迭代法和弦截法求其最小正根，使误差小于，并比较它们的工作量,因为,故f（x）在（0,1）内有惟一零点，所以最小正根1。

若采用牛顿迭代法计算，则,取计算，结果见表27。

解,在（0,1）内，,若采用弦截法计算，则,取，解得的结果见表2-8。

例1：

用简单迭代法、牛顿迭代法求在（0，1）内的根的近似值。

解,列表计算简单迭代法牛顿迭代法,00.560.64006100.50.70710770.64168010.6389860.61254780.64096420.6411850.65404190.64128530.6411860.635498100.64114250.643719110.641205,例2：

用弦截法求在（1，1.5）内的根的近似值。

解,-1131.32521401.541.3247141.26666751.324718,