计算固体08_精品文档PPT文件格式下载.ppt

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（a）试函数已满足边界条件，但不满足微分方程，这种试函数为边界型，在计算时只需消除微分方程在域内的余量，即只用

（1）式消除内部余量即可，故称这种方法为内部法,（b）试函数已满足微分方程，但不满足边界条件这种试函数为内部型只需消除边界条件在边界上的余量即可，也即只用

（2）或（3）式来消除余量这种方法称为边界法,（c）试函数既不满足微分方程，也不满足边界条件，则称为混合型这时需同时应用式（4）或式（5）或式（6）来消除内部及边界的余量这种方法称为混合法,8.3加权余量法的权函数,从加权余量法的求解过程可以看出，除了试函数以外，权函数也是重要的一个因素常用的选取权函数的方法有五种：

（1）最小二乘法（LeastSquareMethod）,在域内余量的平方积分式为：

为使最小，应用求函数的极值条件：

可得消除余量的方程式：

由此可见，最小二乘法中，权函数为显而易见式可以化为个代数方程式足以求出个系数,

（2）配点法（CollocationMethod）,配点法是以笛拉克函数（DiracDeltaFunction）作为权函数函数又称为单位脉冲函数，一维的单位脉冲函数的主要性质如下：

（a）,（b）,（c）,（d）,二维的单位脉冲函数的主要性质为：

（a）,（b）,（c）,（d）,于是，对一维问题的配点法为：

对于二维问题的配点法为,配点法就是在个点使其余量为零上二式分别构成个代数方程的方程组，由此可解出,（3）子域法（SubdomainMethod）将物体的域分为个子域，权函数确定如下：

在域内,在域外,列出的消除余量方程组为：

由此可得到个代数方程以求得,这个方法与有限元在概念上颇为相似，但不设立节点在此方法中，若试函数适用于全区，则不需要列出跨子域的连续条件若在每一个子域设立一个单独的函数，则必须考虑子域间的连续条件,（4）伽辽金法伽辽金是大家熟悉的方法按加权余量法的观点理解伽辽金法的试函数与权函数相同以薄板弯曲问题为例，待解方程为：

设挠度函数的解为：

其中为试函数，在伽辽金法中，试函数必须满足结构的所有边界条件在用伽辽金法时就有：

上式中圆括号内的量实际上是薄板内部的余量方程：

从上式可见，即为权函数,（5）矩量法（MethodofMoment）,在一维问题中，矩量法的权函数为，二维问题中矩量法的权函数为所以，一维问题矩量法的消除余量的方程组为：

二维问题矩量法的消除余量方程组为：

上述五种加权余量法可以结合使用，如最小二乘配点法，伽辽金配点法等等,8.4加权余量法的试函数,由前面的介绍可见，在加权余量法中，试函数是十分重要的试函数必须是完备的，并且各试函数项之间是线性无关的，试函数的完备性能够保证在取足够多的试函数项时可以逼近精确解根据使用情况，试函数大致有下列八种：

（1）多项式，以幂级数形式表示，有单重和双重的；

（2）三角级数；

（3）样条函数，一般是三次与五次样条函数；

（4）梁振动函数；

（5）杆的稳定函数；

（6）正交多项式，例切比雪夫（Chebychev）多项式，勒让德（Legendre）多项式等；

（7）贝塞尔函数；

（8）克雷洛夫函数,8.5应用实例,下面介绍一些例子说明加权余量法的应用

（1）两端固支受均布载荷的梁一条跨度为受均布载荷作用的梁，两端均为固定支撑（图8.1）梁的挠度微分方程为:

图8.1两端固支受均布载荷的梁,式中为材料的弹性模量，为梁的惯性矩，为挠度我们选择挠度试函数为：

很容易证明这个函数满足二端的固支边界条件,将此式代入前面的微分方程计算余量：

（a）用最小二乘法消除余量：

由此解得：

于是得到解,（b）用配点法消除余量令余量即得到与上面相同的值,现在我们设另外一种试函数：

这里取多项式为五项是基于如下的考虑，因为我们有一个控制方程和四个边界条件，而梁的控制方程为四阶，为常数，故中变量的最高幂次只能是4,将所设的解代入边界条件和控制方程：

由此可得出：

于是得出与前面相同的挠度函数用子域法、辽金法和矩量法都得到同样的结果这个解实际上是问题的精确解,图8.2受均布载荷作用的简支矩形板,

（2）简支矩形板受均布载荷作用（图8.2）薄板弯曲问题的控制微分方程和简支边界条件为：

作为一级近似，我们设薄板弯曲后的挠度试函数为：

很容易证明这个函数满足简支边界条件将上式代入微分方程后可得余量方程,用最小二乘法列出消除余量的方程：

由上面两式可得出：

于是挠度函数为：

在时：

当时得到板中心点的挠度为：

与精确解相比，误差为2.5%,假如作多级近似计算，取挠度试函数为：

其中,于是余量方程为：

将上式代入最小二乘法消除余量的方程组,联立求解上述四个联立方程可得：

对于正方形板，得到,当时得到板中心点的挠度为：

与精确解相比误差仅为0.113%,上面的二个例子所得的解是解析形式给出的此外在加权余量法中，也可以有数值计算类型的下面以最小二乘法为例，说明连续型（得到解析形式的解）和离散型（得到数值形式的解）,

（1）连续型最小二乘法：

设固体力学问题的控制微分方程及边界条件分别为：

其中及是微分算子，是边界条件的数目，和是已知的函数我们设近似解为：

其中为待求系数的集合，为自变量的集合，即有,于是该问题的内部余量和边界余量分别为：

该问题所有余量平方之和称为该问题的方差泛函：

其中及分别称为内部余量及边界余量的权函数当及为常数时，又以所除，则上