全微分优质PPT.ppt

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（1）函数可微,函数z=f（x,y）在点（x,y）可微,由微分定义:

得,函数在该点连续,机动目录上页下页返回结束,偏导数存在,函数可微,即,定理1（必要条件）,若函数z=f（x,y）在点（x,y）可微,则该函数在该点偏导数,同样可证,证:

由全增量公式,必存在,且有,得到对x的偏增量,因此有,机动目录上页下页返回结束,反例:

函数,易知,但,因此,函数在点（0,0）不可微.,注意:

定理1的逆定理不成立.,偏导数存在函数不一定可微!

即:

机动目录上页下页返回结束,定理2（充分条件）,证：

若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,机动目录上页下页返回结束,所以函数,在点,可微.,机动目录上页下页返回结束,注意到,故有,推广:

类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如,三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为偏微分.,的全微分为,于是,机动目录上页下页返回结束,例1.计算函数,在点（2,1）处的全微分.,解:

例2.计算函数,的全微分.,解:

机动目录上页下页返回结束,可知当,*二、全微分在数值计算中的应用,1.近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:

机动目录上页下页返回结束,（可用于近似计算;

误差分析）,（可用于近似计算）,半径由20cm增大,解:

已知,即受压后圆柱体体积减少了,例3.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则,高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.,机动目录上页下页返回结束,求此圆柱体,例4.计算,的近似值.,解:

设,则,取,则,机动目录上页下页返回结束,分别表示x,y,z的绝对误差界,2.误差估计,利用,令,z的绝对误差界约为,z的相对误差界约为,机动目录上页下页返回结束,则,特别注意,类似可以推广到三元及三元以上的情形.,乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数,机动目录上页下页返回结束,例5.利用公式,求计算面积时的绝对误差与相对误差.,解：

故绝对误差约为,又,所以S的相对误差约为,计算三角形面积.现测得,机动目录上页下页返回结束,例6.在直流电路中,测得电压U=24伏,解:

由欧姆定律可知,（欧）,所以R的相对误差约为,0.3+0.5,R的绝对误差约为,0.8,0.3;

定律计算电阻R时产生的相对误差和绝对误差.,相对误差为,测得电流I=6安,相对误差为0.5,=0.032（欧）,=0.8,机动目录上页下页返回结束,求用欧姆,内容小结,1.微分定义:

2.重要关系:

机动目录上页下页返回结束,3.微分应用,近似计算,估计误差,绝对误差,相对误差,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.P72题1（总习题八）,函数,在,可微的充分条件是（）,的某邻域内存在;

时是无穷小量;

时是无穷小量.,2.选择题,机动目录上页下页返回结束,答案:

也可写作:

当x=2,y=1,x=0.01,y=0.03时z=0.02,dz=0.03,3.P73题7,机动目录上页下页返回结束,4.设,解:

利用轮换对称性,可得,机动目录上页下页返回结束,（L.P245例2）,注意:

x,y,z具有轮换对称性,答案:

作业P241（3）,（4）;

3;

5;

8;

10,5.已知,第四节目录上页下页返回结束,在点（0,0）可微.,备用题,在点（0,0）连续且偏导数存在,续,证:

1）,因,故函数在点（0,0）连续;

但偏导数在点（0,0）不连,机动目录上页下页返回结束,证明函数,所以,同理,极限不存在,在点（0,0）不连续;

同理,在点（0,0）也不连续.,2）,3）,题目目录上页下页返回结束,4）下面证明,可微:

说明:

此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.,令,则,题目目录上页下页返回结束,