一维波动方程的达朗贝尔公式优质PPT.ppt

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,下面我们来讨论无限长弦的自由横振动。

设弦的初始状态为已知。

（9.1.7）,将式（9.1.6）中的函数代入式（9.1.7）中，得：

（9.1.8）,（9.1.9）,5,（9.1.8）,（9.1.9）,式（9.1.9）两端对积分一次，得：

（9.1.10）,由式（9.1.8）与式（9.1.10）解出,把确定出来的代回到式（9.1.6）中，即得到方程（9.1.1）在条件（9.1.7）下的解：

（9.1.11）,无限长弦自由振动的DAlembert（达朗贝尔）公式。

6,（9.1.11）,DAlembert解的物理意义：

先讨论初始条件只有初始位移情况下DAlembert解的物理意义。

此时式（9.1.11）给出,先看第二项，设当t=0时，观察者在x=c处看到的波形为：

若观察者以速度a沿x轴的正向运动，则t时刻在x=c+at处，他所看到的波形为：

由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波形，说明波形和观察者一样，以速度a沿x轴的正向传播。

7,所以代表以速度a沿x轴的正向传播的波，称为正行波。

而第一项则代表以速度a沿x轴的负向传播的波，称为反行波。

正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦的位移。

再讨论只有初速度的情况。

此时式（9.1.11）给出：

设为的一个原函数，即,则此时有,由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波，正、反行波的叠加（相减）给出弦的位移。

综上所述，DAlembert解表示正行波和反行波的叠加。

8,例1求解下列初值问题,解：

本题中,直接应用DAlembert公式，有：

9,*9.2三维波动方程的Poisson公式,三维无限空间中的波动问题，即求解下列定解问题：

这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直接利用6.1节中所得到的通解公式。

下面先考虑一个特例。

10,9.2.1三维波动方程的球对称解,球对称：

u与都无关。

在球坐标系中，三维波动方程为：

当u不依赖于时，这个方程可简化为：

或写成,11,这是关于ru的一维波动方程，其通解为：

或,12,6.2.2三维波动方程的Possion公式,对于一般的非对称情况，我们不直接考虑函数u本身，而是考虑u在以M（x,y,z）为球心、以r为半径的球面上的平均值，则这个平均值当x,y,z暂时固定之后就只与r,t有关了。

这个平均值可以写成：

其中表示以点为中心、以r为半径的球面；

表示r=1的单位球面。

13,是球面上点的坐标，是上的面积元素。

是单位球面上的面积元素。

在球坐标系中，,显然有,由平均值的定义和u的连续性可知，,14,经过推导，可得满足的微分方程：

这是一个关于的一维波动方程，它的通解为：

其中是两个二次连续可微的任意函数。

由初始条件定得：

15,于是,将拓广到r0的范围内，并且使。

即是偶函数。

同理，与也是偶函数。

因此，可将上式写成：

16,令利用LHospital（洛必塔）法则得到：

或简记成,上式称为三维波动方程的Poisson公式。

17,例2求解定解问题,解：

这里,将这些给定的初始条件代入到Poisson公式并计算其中的积分，就可以得到问题的解：

18,9.3Fourier积分变换法求定解问题,所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数f（x）经过某种可逆的积分运算,变成另一函数类B中的函数F（p）。

F（p）称为f（x）的像函数，而f（x）称为F（p）的像原函数。

k（x,p）是x，p的已知函数，称为积分变换的核。

在这种变换下，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，直至变成常微分方程。

原来的常微分方程，可以变成代数方程，从而使在函数类B中的运算简化，找出在B中的一个解，再经过逆变换，便得到原来要在A中所求的解。

19,9.3.1预备知识Fourier变换及性质,Fourier变换,函数f（x）的Fourier变换：

称为f（x）的像函数。

Fourier逆变换:

f（x）称为的像原函数。

因此，当f（x）满足Fourier积分条件时，有,20,三维Fourier变换,若记,则三维Fourier变换及反演公式分别：

21,Fourier变换的性质,设,

（1）线性性质,为任意常数，则任意函数和有：

（2）延迟性质,为任意常数,22,（3）位移性质设为任意常数,（4）相似性质,a为不为零的常数,（5）微分性质若时，,则,23,（6）积分性质,（7）卷积性质,卷积定义：

已知函数和,卷积定理为：

（8）象函数的卷积定理,24,9.3.2Fourier变换法解定解问题,例1求解弦振动方程的初值问题,解：

视t为参数，将方程和相应的条件对x进行Fourier变换，并记,则,25,这是带参数的常微分方程的初值问题。

解得：

再进行反演，得到原定解问题的解为：

26,例2求无界杆的热传导问题,解：

对方程和定解条件两端关于x分别进行Fourier变换，并记,则：

这是带参数关于变量t的常微分方程的初值问题，解得：

27,应用反演公式，得原定解问题的解为：

再由卷积定理,而,28,这里利用了积分公式,所以,由此例看到，用Fourier变换解方程时不必像分离变量法那样区分齐次方程和非齐次方程，都是按同样的步骤求解但是反演往往比较困难。

29,9.4Laplace变换法解定解问题9.4.1Laplace变换及其性质,Laplace变换,定义：

逆变换（或称反演）：

30,Laplace变换的性质,

（1）线性性质,

（2）延迟性质,其中,（3）位移性质,则,31,若时，,（4）相似性质,则,（5）微分性质,32,（6）积分性质,（7）卷积定理,其中，定义,33,9.4.2Laplace变换法,例1求解半无界弦的振动问题,解：

对方程两边关于变量t作Laplace变换，并记：

则,34,代入初始条件，得：

再对边界条件关于变量t作Laplace变换，并记：

则有：

35,上述常微分方程的通解：

代入到边界条件中，得：

故：

由位移定理：

所以：

36,例2求解长为l的均匀细杆的热传导问题,解：

对方程和边界条件（关于变量t）进行Laplace变换并考虑到初始条件，则有：

37,其中方程的通解为：

由边界条件定，得：

38,由变换公式,知,又有,所以,从上面的例题可以看出，用Laplace变换法求解定解问题时，无论方程与边界条件是齐次与否，都是采用相同的步骤。

Laplace变换同样可以用来求解无界区域内的问题。

39,例3在传输线的一端输入电压信号，初始条件均为零，求解传输线上电压的变化,解：

这是个半无界问题，定解条件如下：

将方程和边界条件施以关于t的Laplace变换，并考虑初始条件，得到：

40,其中方程的通解为：

常数,在实际问题中，一个很重要的情形,这时,41,其次，有自然条件,取，则：

再由边界条件得：

通过反演，由延迟定理得：

42,总结,积分变换方法不仅能求解无界问题，而且也能够用来求解有界问题，应用是相当广泛的。

求解的步骤第一步，将方程和定解条件对指定变量进行积分变换；

得到象空间的代数方程或常微分方程的边值问题或初值问题；

第二步，求解象空间的代数方程或常微分方程的初值或边值问题，得到象空间中的解；

第三步，对像空间中的解进行反演，得到原象空间中的解。

43,求积分变换的反演：

（1）直接查表，常见函数的Fourier和Laplace等积分变换和反变换已有列表；

（2）利用积分变换的性质，象上面的例题那样求出象函数的反演；

（3）利用复变函数积分的性质和留数定理等知识，计算反演中的无穷积分；

（4）数值反演，利用数值积分方法计算反演中的无穷积分，有时也能得到精确度很高的结果。

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