微分方程稳定性分析PPT文档格式.ppt

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（1）微分方程模型的稳定性及其实际意义有有时候候,初始条件的微小初始条件的微小变化会化会导致解的性致解的性态随随时间变大后大后,产生生显著的差异著的差异,这时称称系系统是不是不稳定定的的;

有有时候候,初始条件初始条件变化化导致解的性致解的性态差异会随差异会随时间变大大后而消失后而消失,这时称称该系系统是是稳定定的的.在在实际问题中中,初始状初始状态不能精确地而只能近似地确定不能精确地而只能近似地确定,所以所以稳定性定性问题的研究的研究对于用微分方程方法建立的模型于用微分方程方法建立的模型具有十分重要的具有十分重要的实际意意义。

也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中,长远长远来看来看,最终发展结果与精确的初始状态究竟如何最终发展结果与精确的初始状态究竟如何,两者两者之间没有多大关系之间没有多大关系,初始状态刻画得精确不精确是无关初始状态刻画得精确不精确是无关紧要的。

紧要的。

微分方程稳定性理论微分方程稳定性理论可以使我们在很多情况下不求解可以使我们在很多情况下不求解方程便可直接得到微分方程模型描绘的系统是方程便可直接得到微分方程模型描绘的系统是稳定稳定或或不稳定不稳定的结论。

的结论。

研究者对于微分方程稳定性理论的研究兴趣往往大于研究者对于微分方程稳定性理论的研究兴趣往往大于该方程解有无解析表达式的研究兴趣。

该方程解有无解析表达式的研究兴趣。

在数学建模竞赛活动中，很多问题中涉及到的微分方在数学建模竞赛活动中，很多问题中涉及到的微分方程是一类称为程是一类称为自治系统自治系统的方程的方程。

自治方程自治方程是指方程中不显含自变量是指方程中不显含自变量t的微分方程，例如的微分方程，例如自治方程自治方程中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势，中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势，则这个解的则这个解的最终趋势值最终趋势值只能是该方程的只能是该方程的平衡点平衡点。

的的平衡点平衡点是指代数方程是指代数方程的根的根（可能不止一个根）（可能不止一个根）；

的的平衡点平衡点是是指代数方程组指代数方程组的解的解（可能不止一组解）。

（可能不止一组解）。

如果存在某个邻域，使微分方程的解如果存在某个邻域，使微分方程的解x（t）从这个邻域从这个邻域内的某个点内的某个点x（0）出发出发，满足满足:

则称微分方程则称微分方程的的平衡点平衡点是是稳定稳定的；

的；

如果存在某个邻域，使微分方程的解如果存在某个邻域，使微分方程的解x（t），y（t）从这个邻域内的某个点从这个邻域内的某个点x（0），y（0）出发出发，满足满足:

则称微分方程则称微分方程的的平衡点平衡点是是稳定稳定的。

的。

上述上述一阶自治方程一阶自治方程和和二阶自治方程组二阶自治方程组解的解的稳定性理论稳定性理论结果可简介如下：

结果可简介如下：

非线性方程非线性方程（一个方程一个方程）情况情况形式形式:

x（t）=f（x（t）平衡点平衡点:

解f（x）=0,得x=x0.注意:

有时该方程的根不止一个.稳定意义稳定意义:

当当t时时,如如xx0,则称则称x0是稳定的是稳定的平衡点平衡点;

否则称否则称x0是不稳定平衡点是不稳定平衡点.由此由此,当当f（x0）0时,xx0;

当当f（x0）0时,x+.（c）一阶一阶非非线性性问题的的稳定性定性结论:

根据有关数学理根据有关数学理论,一阶一阶非非线性性问题的的稳定性在非定性在非临界情况下，与界情况下，与一阶一阶线性性问题结论完全相同完全相同.研究方法研究方法:

（a）作作f（x）的线性替代的线性替代（利用一元函数的泰勒展开式利用一元函数的泰勒展开式）:

f（x）f（x0）（x-x0）+f（x0）=f（x0）（x-x0）;

（b）线性问题研究线性问题研究:

求解求解x=f（x0）（xx0）,解得解得非线性方程非线性方程（两个方程两个方程）组情况组情况平衡点平衡点:

解解f（x,y）=0,得得x=x0g（x,y）=0,y=y0.y（t）=g（x（t）,y（t）形式形式:

x（t）=f（x（t）,y（t）,稳定意定意义:

当当t+时,如如xx0,yy0,则称称（x0,y0）是是稳定的平衡点定的平衡点;

否否则称称（x0,y0）是不是不稳定平衡点定平衡点.上面的方程上面的方程组有有时可能不止一可能不止一组解解.研究方法研究方法:

（a）作作f（x,y）与与g（x,y）的的线性替代（利用二元函数性替代（利用二元函数（b）的泰勒展开式）的泰勒展开式）:

f（x,y）fx（x0,y0）（x-x0）+fy（x0,y0）（y-y0）;

g（x,y）gx（x0,y0）（x-x0）+gy（x0,y0）（y-y0）.（b）线性性问题研究研究:

记a1=fx（x0,y0）,a2=fy（x0,y0）,b1=gx（x0,y0）,b2=gy（x0,y0）,p=-（a1+b2）,q=a1b2-a2b1,并无妨并无妨设x0=0,y0=0;

求解求解其中其中1,2为特征方程特征方程r2+pr+q=0的两根的两根.这里这里1+2=-p,12=q或写为或写为

（1）当当p0,q0时时,如果如果p24q0，由由1+2=-p,12=q,推得推得1与与2均为负数均为负数，故当故当t+时，时，e1t与与e2t均趋于零均趋于零，系统稳定系统稳定;

如果如果p24q0，由由1+2=-p,k=i中中为负数为负数（k=1，2），故当故当t+时，时，ekt=et（sintcost）（k=1，2）也均趋于零也均趋于零，系统仍为稳定系统仍为稳定的的；

（2）当当p0时时,如果如果p24q0，由由1+2=-p,可推出可推出1与与2中至少有一个为正数，中至少有一个为正数，故当故当t+时，时，e1t与与e2t中至少有一个中至少有一个趋于趋于+，系统不稳定系统不稳定;

如果如果p24q0，仍由仍由1+2=-p,可推出可推出k=i（k=1，2）中中为正数为正数，故当故当t+时时,ekt=et（sintcost）（k=1，2）趋于趋于+，仍可推出，仍可推出系统不稳定系统不稳定。

（3）当当q0时时,此时必定有此时必定有p24q0，此时此时系统也必不稳定系统也必不稳定。

由由12=q,可推出可推出1与与2中至少有一个为中至少有一个为正数，正数，故当故当t+时，时，e1t与与e2t中至少有一个趋于中至少有一个趋于+，当当p0,q0时时,相应的平衡点是稳定的；

相应的平衡点是稳定的；

当当p0或当或当q0时时,相应的平衡点是不稳定的。

相应的平衡点是不稳定的。

综述之，在线性方程组非临界（综述之，在线性方程组非临界（p0）情况中情况中（C）非线性问题的非线性问题的稳定性结论稳定性结论:

（i）若相应的线性问题是若相应的线性问题是稳定稳定的的,则对应非线性问题也则对应非线性问题也是是稳定稳定的的；

（ii）若相应的线性问题是若相应的线性问题是不稳定不稳定的的,则对应非线性问题则对应非线性问题也是也是不稳定不稳定的的.在非临界情况下在非临界情况下（p0），