SoCVista缩放噪声与舍入噪声Word文档格式.doc
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从最坏的情况来考虑，为了保证无损计算，每次累加输出变量y（n）都要增加位长，从而乘法器的位长也相应增加，如此形成“恶性循环”。
但系统最终是要实现到硬件上的，这就不得不考虑以下这个问题：
如何选择合理的位长？
选择合理的位长，牵涉到两个问题：
1）计算溢出，在迭代过程中，某些计算结果可能会溢出，从而导致严重系统错误！
这种错误往往是不可接受的；
2）计算舍入，比如表示范围内的小数，如果位长是有限的，就会产生舍入误差。
因为计算溢出会导致严重系统错误，所以往往是优先考虑的因素。
要避免计算溢出，可以采用缩放操作，
图2
比如图2（a）的系统，为了保证w节点处的值发生溢出，可以对进行恰当缩放，同时注意，为了保证系统功能不变，必须对进行相应的调整，结果图2（b）所示。
理解缩放并不难，难在应该决定缩放程度。
下面先介绍两种典型的缩放模式，然后结合实例来介绍如何对系统进行缩放，并讨论不同程度缩放对舍入误差的影响。
为了便于讨论，我们假设所有信号的取值范围都在之间。
对图2系统，假设输入幅度在之间，并希望中间结果也在之间。
对于图2（a），由于增益不合适，可能导致的溢出，为了避免溢出，可对进行如下缩放：
1）缩放，最强程度的缩放，可完全避免溢出，
（1）
其中为的单位脉冲响应，可以证明
（2）
也就是说，只可能在之间取值，故而用对进行缩放之后，取值必在之间。
。
当然，如果用一个稍微大于的数进行缩放，那么取值就限制在之间，不包括1。
2）缩放，利用统计得出的信号标准偏差值进行缩放，以很高的概率保证计算不发生溢出（不能绝对保证）
（3）
其中为正数，作为调节因子。
对比缩放的定义和公式（3），有点让人摸不着头脑，，全过程是这样的，我们想确定信号的标准差，然后用该标准差对进行缩放。
的标准差可用如下公式计算，也可以用数值方法统计出来，，实际要处理的信号各式各样，不妨令其为均值为0方差为1的随机变量；
对于限制在之间的，最坏的方差就是1，
（4）
（5）
公式（4）求出均值为0；
公式（5）不是的方差，只是表明方差小于而已。
由公式（5）进一步得到标准差的关系
（6）
一般用对进行缩放不能严格保证不会发生溢出，只是说很大概率上不会溢出，回顾一下公式（3），增加一个调节因子，当且越大，溢出概率就越小，当时，缩放就等同于缩放，在增大就没有意义了。
代码1 缩放示例
clearall
closeall
clc
b=[1,2,1];
a=[1,-1.143,0.4128];
H=freqz（b,a）;
x=1.99*（rand（1,10000）-0.5）;
%%使用幅频曲线最大幅度值进行缩放
Hmax=max（abs（H））;
b1=b/Hmax;
y=filter（b1,a,x）;
figure;
hist（y,-5.5:
1:
5.5）;
disp（Hmax）;
disp（max（y））;
%%使用课本l_1缩放
Hmax=sum（abs（impz（b,a）））;
b2=b/Hmax;
y=filter（b2,a,x）;
%%使用课本l_2缩放
Hmax=sqrt（var（filter（b,a,（2*rand（1,10000）-1）./sqrt（1/3））））;
%方差为1的均匀白噪声（2*rand（1,10000）-1）./sqrt（1/3）
b3=b/Hmax;
y=filter（b3,a,x）;
14.8258
0.8047
16.3837
0.7282
6.6128
1.8041
从输出数据的取值统计直方图可以看出，缩放不能完全保证不溢出，只是溢出概率比较小而已。
对比代码1中不同的三个缩放值14.8258、16.3837和6.6128。
前两个缩放比缩放要强得多，这也意味着它们的舍入噪声要比缩放严重，正如公式（3）所示，可以稍微增大一下缩放幅度，以限制溢出概率小到一定程度即可，如代码2所示。
%%
Hmax=sqrt（sum（（impz（b,a,100）.^2）））;
disp（sum（abs（y）>
=1）/length（y））;
6.8623
1.9028
0.0826
对比代码2和代码1最后一种缩放的结果，可以再次体会公式（6）所表示的意义。
现比较和缩放，从代码1和代码2的结果可以看出：
缩放系数为，而缩放系数为。
虽然缩放可完全避免溢出，但是其缩放程度远大于，“注意”缩放越大舍入噪声也越多；
实际应用推荐使用缩放，而不是缩放。
缩放能保证91.74%的概率不溢出，如果系统是稳定的，那么溢出造成的影响就只会持续有限时间。
总而言之滤波器实现推荐使用缩放，除非真的要求100%不溢出，才需要缩放。
使用缩放，又需要保证低舍入噪声，就不得不使用更大的位长，下面分析位长和舍入噪声的关系！
！
以一阶IIR节为例，
图3 位长与舍入噪声
如课本上所说，舍入噪声的分析是非常复杂的；
但如果舍入噪声满足以下三个假定，那么就可以按照线性理论进行分析：
1）是均匀分布白噪声；
2）是一个广义静态随机过程，也就是说，的均值和方差都独立于时间标记；
3）与所有其他信号都不相关。
一般可以认为舍入噪声满足以上三个条件。
假设加法器的位长为W位，默认为如下格式（其他格式也采用类似分析），
如果采用截断位的做法，那么舍入噪声取值为
（7）
图4 误差概率密度函数
如此，可计算的均值和方差为
（8）
（9）
从公式（9）进一步得出舍入噪声的标准差为
（10）
，因此，每增加1比特位长，可减小2倍舍入噪声幅度。
在仔细分析图3的结构可知，产生大舍入噪声主要因为乘法器，所以说乘法器是舍入噪声的根源。
往往在乘法器之后会进行舍入操作！
更进一步，可以观察对的影响，因为
（11）
也就是说
图5 舍入噪声对输出的影响
因为
（12）
所以
（13）
（14）
（15）
公式（15）表明了实际输出信号中包含的噪声分量标准差大小，除了与字长有关，还与传递函数有关，一般增加字长可以减少舍入误差。
线性时不变离散时间系统的基本输入输出关系是
（16）
或者
（17）
，不论是在时域还是频域，这种描述都是用表征整个系统的外部特性，而不涉及系统的内部结构。
因此，LSI系统的输入输出描述法是一种“黑盒子”的方法。
但在实现LSI系统的过程中，工程师不得不深入考虑到具体的系统结构，甚至深入到每一个节点每一条支路。
由此，我们希望能用系统内部的变量来表征系统特性，从而能对系统内部结构进行研究和优化——状态变量描述法就是这么一种工具，能将你所关心的内部结构反映出来，让你观察到你所想观察的变化。
从数学形式看，状态变量描述法是线性系统的矩阵描述，不仅仅是描述单输入单输出系统，也可以描述多输入多输出系统。
说白了，状态变量描述法就是两个矩阵方程：
1）状态更新方程，2）输出方程。
更多细节请阅读《现代控制系统》相关书籍！
下面只做简单介绍：
线性时不变系统（LSI）总可以表示为如下多输入多输出（MIMO）模型，
图6 MIMO模型示意图
其中，
l为输入向量，
l为输出向量，
l为状态变量。
同时，该MIMO系统也可表示为一阶差分矩阵方程，如下
（18）
分别为状态更新方程和输出方程，A/B/C/D均为矩阵。
根据公式（18），又可画出状态变量的信号流图如下
图7 状态变量的信号流图
以一个2阶IIR节为例说明如何得出系统的状态变量描述
图8 2阶IIR直接II型结构
根据信号处理知识可知，图8为公式（19）的直接II型结构，对应传递函数如下
（19）
对于图8，选择寄存器的内容作为状态变量，也就是
（20）
写出状态变量更新方程，就是和的关系，即公式（18）第一式，如下示
（21）
定义
（22）
且
（23）
（24）
再写出输出方程，如下示
（25）
（26）
（27）
，，大家如何对照着课本看，可能会觉得迷惑！
其实一个系统的状态变量描述并不唯一，只要能正确表征系统即可，而状态变量的选取更是由实际应用来决定，不是千篇一律的。
以下就以公式（21）和公式（25）作为图8二阶IIR系统描述。
首先来研究如何缩放以保证状态变量不会溢出；
在前面的一阶IIR例子（见图1）中，已经讨论给出了缩放和缩放的定义，现以缩放为例来讨论。
正式讨论前，请大家记住两点：
l状态变量的方差K用于对状态变量进行缩放，以大概率保证内部计算不会溢出；
l输出的方差W用于衡量系统内部信号的舍入对系统输出的影响。
走题一下，从结构上看LSI系统的状态变量描述可以用框图表示为（类似Mealy状态机，2段式）
图9 将LSI的状态变量描述框图类比于2段式Mealy状态机
在图7中，黄色所表示的状态变量是我们所关心的；
而且迭代过程中有可能会溢出，必须对其进行恰当缩放。
为了看得更清楚，简化图7，只保留与
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