微观金融技术与方法6PPT文档格式.ppt

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此时可构造一个代表性代理人，其效用函数和是递增，严格凹的，原始状态或有要求权的价格可表示为n其中是状态的状态价格。

一份复杂证券可视为基本状态或有要求权的一个组合，从而证券j的价格为（见（5.8.1））2022/10/30NJU_SME5n将（6.2.1）式代入（6.2.2）式中的，得到n此处用记证券j的1时期随机回报支付。

对于一单位的无风险折现债券来说，即对一份在1时期回报支付恒为1单位消费的复杂证券来说，有2022/10/30NJU_SME6n因为是一个单位折现债券的价格，无风险利率应为n由效用函数的严格单调性知，这意味着。

将（6.2.5）代入（6.2.4）可得2022/10/30NJU_SME7n将（6.2.3）式两边同时除以，由协方差定义得n其中是证券j的收益率。

将（6.2.6）代到（6.2.7）得到证券风险补偿的均衡关系式：

n由于是严格凹函数，1份证券的风险补偿为正的充要条件是该证券1时期的随机回报支付与其1时期的总量消费正相关。

2022/10/30NJU_SME8n注意在一个两期（0时期和1时期）经济模型中，由效用函数的严格单调性，1时期的总量消费与1时期的总量禀赋相等，从而与1时期的总量财富相等。

因此（6.2.8）可写成n即一份证券的风险补偿为正的必要和充分条件为该证券的1时期的随机回报支付与1时期的总量财富正相关。

这一结果与CAPM一致。

2022/10/30NJU_SME9n由此式可得，在其他条件不变时，一份在总量财富较低的状态下回报支付较多的证券的价值高于一份在总量财富较高的状态下回报支付较多的证券。

n市场资产组合是所有可交易证券的资产组合。

因此其收益率也必须满足（6.2.9）式：

2022/10/30NJU_SME10n关系式（6.2.10）说明市场资产组合的风险补偿必定严格大于零，因为而且严格递减使得严格为负。

n将（6.2.10）式代入（6.2.9）式得到n达到均衡时，证券j的风险补偿与市场组合的风险补偿成比。

比例系数等于与的协方差和与的协方差的比率。

2022/10/30NJU_SME11具体效用函数下风险资产估值的显表达式具体效用函数下风险资产估值的显表达式n假设1时期消费的个体效用函数为幂函数：

而且市场存在无风险资产。

n由第五章知，若存在无风险资产而且所有的资产都可以交易，则1时期消费的帕累托最优分配法则在这种情况下是线性的，并且可以实现。

进一步，存在一个代表性代理人，其1时期消费的效用函数为幂函数：

其中A。

2022/10/30NJU_SME12n因此（6.2.11）式成为n注意，当B=-1时，个体的效用函数是二次的，而（6.3.3）就成了CAPM关系式。

当B=-1/2时，代表性代理人1时期消费的效用函数是三次幂的：

n这种情况下，边际效用函数为2022/10/30NJU_SME13n因此时是递增和严格凹的函数。

这样，如果，（6.3.3）式成为n其中是0时期可交易证券的总价值。

注意到风险资产j的风险补偿不仅取决于其收益和市场资产组合收益的协方差，而且还依赖于,称之为协偏差（coskewness）。

2022/10/30NJU_SME14欧式看涨期权的定义和性质欧式看涨期权的定义和性质n定义：

定义：

1份欧式看涨期权欧式看涨期权是1份衍生证券，其持有者有权利在期权的到期日以预定的执行价购买1份标的物证券。

n令表示1份欧式看涨期权在1时期的回报支付，其标的物为1份j证券、在1时期到期且执行价为k，用表示标的物股票价格为时这份看涨期权在0时期的价格。

n所以n其中是1份j证券的随机回报支付。

2022/10/30NJU_SME15n性质：

性质：

n证明：

证明：

利用无套利定价方法。

如果期权执行的概率严格处于0和1之间，不等式就严格成立。

下面证明严格成立的不等式。

考虑以下策略策略：

卖空1份证券j，买入一份标的物为证券j，执行价为k而且在1时期到期的欧式看涨期权，以无风险利率借出k/（1+）美元。

2022/10/30NJU_SME16n这一策略的初始成本为，1时期的回报支付为：

n这一策略1时期的回报支付是非负的，而且由于的概率是严格为正的，1时期的回报支付大于零的概率也是严格为正的。

2022/10/30NJU_SME17n因此，初始成本必须也是严格为正以避免无中生有的套利。

即，必须有这等价于最后，因为期权的持有者拥有的是以执行价购买1份标的物证券的权利而非义务，期权的价格必定非负。

此外，由假设知期权执行的概率是严格大于零的。

因此2022/10/30NJU_SME18n把这样的观察结论与（6.5.2）结合起来有n其直觉涵义在于其直觉涵义在于：

在1时期以价格k购买一份证券j的义务的现值为。

当严格小于k的概率严格大于零时，期权不购买标的物的选择的权利具有严格正的价值。

因此看涨期权的价值必然严格大于。

另一方面，期权执行的概率严格为正。

因此。

2022/10/30NJU_SME19欧式看涨期权价格是其执行价格的凸函数欧式看涨期权价格是其执行价格的凸函数n下面在全局范围内证明期权价格是其执行价格的凸函数，即：

要证明其中并且。

n证明：

考虑如下策略：

购买份执行价为k的看涨期权和份执行价为的看涨期权，卖空1份执行价为的看涨期权。

不失一般性，假设。

2022/10/30NJU_SME20n这一策略到1时期的回报支付是非负的：

n因此n正好是（6.6.1）式。

当的概率严格大于零时，这一不等式就严格成立。

2022/10/30NJU_SME21n性质：

1份标的物为一个正权重证券组合、执行价为k的期权的价值低于一个执行价同样为k的以证券为标的物的期权的组合。

即：

考虑一个正权重证券组合，权重为，j=1，N，其中表示证券j在组合中的权重。

注意n这一资产组合0时期的成本和1时期的随机回报支付分别为和。

2022/10/30NJU_SME22n令表示1份欧式看涨期权的价格，期权的标的物是一个证券组合，执行价是k，到期日为1时期。

这份期权1时期的随机回报支付为：

n因为maxz,0是z的凸函数，由Jensen不等式得：

n这一不等式的右边表示的是看涨期权的组合在1时期的随机回报支付，这些看涨期权的执行价格是k，标的物是个别的证券。

因此2022/10/30NJU_SME23欧式看涨期权与看跌期权的平价公式欧式看涨期权与看跌期权的平价公式n定义定义：

1份欧式看跌期权欧式看跌期权的持有者有权利在到期日按照执行价出售标的物。

n令表示1份欧式看跌期权在0时期的价格，标的物是1份证券j，当前（0时期）价格为，执行价格为k而且到期日为1时期。

这一看跌期权1时期的回报支付为：

n欧式看跌期权的价格，可以由其标的物证券的价格和其对应的欧式看涨期权的价格，通过期权平价关系计算得到。

2022/10/30NJU_SME24n我们断言n为得到这个关系式，考虑下述策略：

以无风险利率借出，卖空1份证券j，而且以执行价k买入1份欧式看涨期权。

这一策略1时期的回报支付为：

n正好是1份执行价为k的欧式看跌期权的回报支付。

为了排除套利机会，两项回报支付相同的金融资产组合必须以相同的价格出售。

易知是k的增函数，而且，利用与6.5节相似的论证方法可得：

2022/10/30NJU_SME25n给出了期权平价关系，又知道看涨期权是其执行价的递减函数而且看跌期权是其执行价的递增函数，当和在k点可导时，我们有：

和n此外，根据期权平价关系，也是k的凸函数。

2022/10/30NJU_SME26欧式看涨期权关于标的物的性质欧式看涨期权关于标的物的性质n性质：

在标的物的收益分布固定的情况下，1份看涨期权是其标的物价格的递增的凸函数。

考虑。

假设的分布不随的变化而变化。

例如，假设增加至，那么变为。

我们首先断定是的增函数，而且如果的概率严格为正，就是严格的增函数。

n假设收益的分布固定，我们有：

2022/10/30NJU_SME27n下面证是的凸函数。

令其中为证是凸函数，必须证明：

因为无论为何值，都是k的凸函数，其中。

2022/10/30NJU_SME28n现在取，和。

在（6.9.3）式两边同乘，n又由（6.9.1）式知关于和k是一阶齐次的，有2022/10/30NJU_SME29利用，的定义，这一不等式可以写为如果（6.9.3）严格成立，（6.9.4）就严格成立。

由6.6节知，当处于和之间或者等价的处于和之间的概率严格大于零时，（6.9.3）不等式严格成立。

2022/10/30NJU_SME30图6.9.1作为标的物股票价格函数的看涨期权的价格2022/10/30NJU_SME31欧式看涨期权定价公式的推导欧式看涨期权定价公式的推导n这节中，将在这样一些条件下推导欧式看涨期权的定价公式：

一定的个体偏好，1时期的总消费量，以及期权标的物资产收益的联合分布。

n考虑一个两期的证券市场经济体。

个体的效用函数是时间可加的、有相同的细致度的幂函数，如（6.3.1）式所示。

此外，假设。

n因为最优分配法则是线性的，均衡配置满足帕累托最优。

因此一个代表性代理人可以用幂效用函数构造：

其中是时间偏好参数。

2022/10/30NJU_SME32n由（6.2.3）推得：

n我们进一步假设和服从二元对数正态分布，即和服从均值为的二元正态分布，其方差-协方差矩阵如下：

n其中是和的相关系数。

2022/10/30NJU_SME33n这一假设推出和服从二元正态分布，其均值为n并且方差-协方差矩阵为n在上述分布假设下，（6.10.1）可写为2022/10/30NJU_SME34n其中f（z,y）是和的联合密度函数。

关系式（6.10.2）可以改写成两个积分的差：

n求出这两个积分的值后，可得如下关系式：

和2022/10/30NJU_SME35n其中N（）是标准正态随机变量的分布函数：

n而是标准正态密度函数。

置，（6.10.4）式可用于计算（6.10.3）式右边的第二个积分，因为置，（6.10.5）式可用于计算（6.10.3）式右边的第一个积分。

2022/10/30NJU_SME36n容易验证：

而且由于（6.10.6）式左边给出了一时期消费在任何状态恒为1单位商品的现值，因而等于，因此2022/10/30NJU_SME37n另外，（6.2.3）式意味着（6.10.7）式的左边等于1.因此n现在将（6.10.4）、（6.10.5）、（6.10.8）和（6.10.