第四讲平移旋转轴对称.docx
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第四讲平移旋转轴对称
第四讲图形的平移、旋转与轴对称
一、知识梳理
1、图形的平移
(1)、平移的定义:
在平面内,将一个图形沿某个_______移动一定的_______,这样的图形运动称为平移。
平移不改变图形的______和______,只改变图形的______.
(2)平移的基本性质:
1)、平移前后的图形______。
2)、经过平移,对应线段_________,对应点的连线段_________,对应角________.
(3)平移的条件
1)、原图形,2)平移的_______,3)平移的_______.
2、图形的旋转
(1)、旋转的定义:
在平面内,将一个图形绕某个______沿某个______转动一个______,这样的图形运动称为旋转。
旋转不改变图形的_______和_______.
(2)、旋转的基本性质
1)、旋转前后的图形;2)、经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了______________,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度是____________,对应点到旋转中心的距离_______.
(2)旋转的条件
1)、原图形;2)旋转中心;3)旋转方向4)旋转角度
3、轴对称
(1)定义:
如果一个图形沿着某一条直线对折后它能和另一个图形重合,我们称这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线叫对称轴
如果一个图形沿着某一条直线对折后,它的一部分能和另一部分重合,我们称这个图形为轴对称图形。
(2)、轴对称的基本性质
1)、对称轴两旁的图形是全等形;2)对称轴垂直平分连结两个对称点的线段;
3)对应线段相等、对应角相等。
(3)、轴对称的条件
1)原图形2)对称轴。
二、精典题例
例1、下列运动现象中,属于平移的有()
①随电梯上升的乘客;②笔直铁路上行驶的火车;③传送带上瓶装饮料的运动;④打气简内活塞的运动;⑤钟摆的摆动;⑥温度计中,液柱的上升或下降。
⑦水库中水位的上升与下降
A、3个B、4个C、5个D、6个
例2、如图,有一条小船
(1)若把小船平移,使点A平移到点B,请你在图中画出平移后的小船;
(2)若该小船先从点A航行到达岸边L的点P处补给后,再航行到点B,但要求航程最短,试在图中画出点P的位置。
例3、如图,一个长为4,宽为3的长方形ABCD沿顺时针方向
绕点C倒下后,原来的四个顶点A、B、C、D所经过的路程之
和为
例4、如图,直角三角形ABC,正方形BEDF,AD=4,DC=9。
则图中阴影部分的面积是_________.
例5.将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起,它们的较短直角边长为6.
(1)将△DCE沿直线l向右平移到图②的位置,使E点落在AB上,则平移的距离CC′=;
(2)将△DCE绕点C按顺时针方向旋转到图③的位置,使点E落在AB上,则△DCE旋转的度数=;
(3)将△DCE沿直线AC翻折到图④的位置,与AB相交于点F,
求证:
BF=EF.
例6、(2008年义乌市)如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:
①猜想,如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.
例7、如图4,正方形ABCD、正方形EFGH是边长为1的正方形,正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N,顶点在对角线BD上移动,设点M、N到BD的距离分别是HM、HN,四边形MBNH的面积是S;
(1)当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时(图4),S=,HM+HN=,
(2)若顶点H为OB的中点(图5),则S=HM+HN=(只要求写出结果,不用证明)。
(3)探索:
当BH=n时,S=,HM+HN=。
三、达标练习
1.如图1的图案中,可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是()
2、(2010珠海)4.现有如图1所示的四张牌,若只将其中一张牌旋转180后得到图2,则旋转的牌是()B
图1图2
A.BCD
3、如图所示23,将正方形图案绕中心旋转180°,所得到的图案是()
4
4、(2010年天津市)如图,已知正方形的边长为3,
为边上一点,.以点为中心,把△顺时
针旋转,得△,连接,则的长等于
5,如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转
30°到正方形AB′C′D′,图中阴影部分的面积为()
A.B.C.1-D.1-
6、如图①等边三角形的边长为4,则图中阴影部分的面积是______.如图2正方形边长为4,则图中阴影部分的面积是______.如图3长方形的长是8宽是6,则图中阴影部分的面积是______.如图4大圆的直径AB长为4,CD⊥AB,则图中阴影部分的面积是______.
7、(2010年安徽)在小正方形组成的15×15的网络中,四边形ABCD和四边形的位置如图所示。
⑴现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转900,画出相应的图形,
⑵若四边形ABCD平移后,与四边形成轴对称,写出满足要求的一种平移方法,并画出平移后的图形
8.如图16,两个正方形ABCD,OEFG的边长都是a,其中O是正方形ABCD的中心。
(1)请你说出图①到图③是怎样形成?
(2)图②、图③、图④中的阴影部分面积分别是多少?
9、如图所示,图形1经过______变换得到图形2:
图形1经过_____变换得到图形3;图形1经过______变换得到图形4.(填平移,旋转,轴对称)
10、钟表的分钟匀速旋转一周需要60分钟,如图,那么:
(1)它的旋转中心是_______;
(2)分钟旋转一周,时针旋转_______度;
(3)下午3点半时,时针和分针的夹角是_______度。
11、如图,在Rt△ABC 中,已知∠C=90°,BC=4,AC=4,现将
△ABC沿CB方向平移到⊿A′B′C′的位置,平移的距离是3
(1)求图中阴影部分的面积;
(2)若平移距离为x(0≤x≤4),图中阴影部分的面积为y,则
y与x有怎样的关系式
12、如图的操作过程(本题中四个矩形的水平方向的边长均为a,竖直方向的边长均为b)
在图1中将线段向右平移一个单位到,得到封闭图形(即阴影部分)
在图2中,将折线向右平移一个单位到,得到封闭图形(即阴影部分)
在图3中,请你类似的画一条有两个折点的折线,同样向右平移一个单位,重而得到一个封闭的图形,并用斜线画出阴影;
请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积;
=________;=_______;=_______;
联想与探索;
如图4,在一块矩形的草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位),请你猜想空白部分表示的草地面积是多少?
并说明你的猜想是正确的。
四、能力提高题
13、(09年凉山)将绕点逆时针旋转到
使在同一直线上,若,
,则图中阴影部分面积
为cm2.
14.如图,已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上,连接AE、GC.
(1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系,并证明你的结论.
(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转,使点E落在BC边上,如图2,连接AE和CG。
你认为
(1)中的结论是否还成立?
若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
15.(09·德城·24)
一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动:
将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=a.
(1)如图1,两个三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为,周长为;
(2)将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°,得到图2,此时重叠部分的面积为,周长为;
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1、图2的位置,如图3所示,猜想此时重叠部分的面积为多少?
并试着加以验证.
16.如图25五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,连结AD,求证:
AD平边∠CDE.
17、(2010台州市).如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°.△EDF绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点M,K.
(1)观察:
①如图2、图3,当∠CDF=0°或60°时,AM+CK_______MK(填“>”,“<”或“=”).
②如图4,当∠CDF=30°时,AM+CK___MK(只填“>”或“<”).
(2)猜想:
如图1,当0°<∠CDF<60°时,AM+CK_______MK,证明你所得到的结论.
(3)如果,请直接写出∠CDF的度数和的值.
25、(本题满分12分)如图①,将两块全等的三角板拼在一起,其中△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC且AC=BC;△EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,EF⊥FP且EF=FP。
(1)在图①中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;
(2)将三角板△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时,EP交AC于点Q,连接AP、BQ。
猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想;
(3)将三角板△EFP沿直线l向左平移到图③的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP、BQ。
你认为
(2)中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗?
若成立,给出证明;若不成立,请说明理由。