高考数学二轮复习专题六 立体几何Word下载.docx

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≤θ≤90°

（三垂线定理法：

A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。

）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：

三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：

正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：

（1）点C到面AB1C1的距离为___________；

（2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；

（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；

（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

它们各包含哪些元素？

球有哪些性质？

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。

为此，要找球心角！

（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；

α为经度角，它是面面成角。

（5）球内接长方体的对角线是球的直径。

正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：

r＝3：

1。

【典型例题】

1，空间几何体及三视图

例1．用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图则这个几何体的体积最大是7cm3．

图1（俯视图）图2（主视图）

例2.一个多面体的直观图及三视图如图所示，则多面体的体积为．

例4.右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体共有5个．

例5．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度:

cm）,则此几何体的表面积是。

例6.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为

例7.一个几何体的三视图中，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形（如图），根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是12+4．

2.平行与垂直

例8.已知：

正方体，，E为棱的中点．

⑴求证：

；

⑵求证：

平面；

⑶求三棱锥的体积

证明：

连结，则//，∵是正方形，∴．

∵面，∴．

又，∴面．

∵面，∴，

∴．

⑵证明：

作的中点F，连结．

∵是的中点，∴，

∴四边形是平行四边形，∴．

又，∴．

∴四边形是平行四边形，//，

∵，，

∴平面面．

又平面，∴面

例9.多面体中，，，，。

（1）求证：

（2）求证：

（1）∵

∴

（2）令中点为，中点为，连结、

∵是的中位线

又∵

∴

∴

∵为正

又∵，

∴四边形为平行四边形

例10．如图四边形是菱形，平面，为的中点.求证：

⑴∥平面；

⑵平面平面.

解：

证：

设,连

⑴∵为菱形，∴为中点，又为中点。

∴∥

又,∴∥

⑵∵为菱形，∴,

又∵，∴

又∴又

∴

3.距离与角

例11．已知所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，，求：

⑴．直线AD与平面BCD所成角的大小；

⑵．直线AD与直线BC所成角的大小；

⑶．二面角A-BD-C的余弦值．

⑴如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，

则AH⊥平面DBC，∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角

由题设知△AHB≌△AHD，则DH⊥BH，AH=DH，∴∠ADH=45°

⑵∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，

∴BC⊥AD，故AD与BC所成的角为90°

⑶过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2

故二面角A—BD—C的余弦值的大小为

【点评】:

本题着眼于让学生掌握通性通法。

几何法在书写上体现：

“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。

斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。

因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；

向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有或（如图）

特别地时，，；

时，，或。

⑴用两面垂直的性质作垂线，找垂足的位置作出线面角，⑵利用三垂线定理证，⑶利用对称性定义法作二面角

【变式与拓展】如图，BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．

⑴.求PB与平面BCD所成角；

⑵.求BP与平面PCD所成的角.

【解法】

⑴.PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD内的射影，

∴∠PBD为PB与平面BCD所成角,BD⊥BC，

由三垂线定理得BC⊥BD，∴BP=CD，设BC=a，

则BD=a，BP=CD=a∴在Rt△BPD中，

cos∠DBP=∴∠DBP=45°

即PB与平面BCD所成角为45°

．

⑵.过B作BE⊥CD于E，连结PE，PD⊥平面BCD得PD⊥BE，∴BE⊥平面PCD，

∴∠BPE为BP与平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE=a,BP=a,∴∠BPE=30°

即BP与平面PCD所成角为30°

例12.在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小

解析1.定义法过D作DE⊥PC于E，过E作EF⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角。

求解二面角B-PC-D的大小只需解△DEF即可

【解法一】过D作DE⊥PC于E，过E作EF⊥PC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-PC-D的平面角

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD且ABCD为矩形，∵AD⊥DC∴PD⊥DC

∵PA=a，AD=BC=2a，∴PD=,PC=,DE=,CE=

同理在Rt△PBC中，，

在Rt△EFC中,FC=,在Rt△DFC中,DF=,

在△DEF中由余弦定理cos=

所求二面角B-PC-D的余弦值为

解析2.垂面法　　易证面PAB⊥面PBC，过A作AM⊥BP于M，显然AM⊥面PBC，从而有AM⊥PC，同法可得AN⊥PC，再由AM与AN相交与A得PC⊥面AMN。

设面AMN交PC于Q，则为二面角B-PC-D的平面角；

再利用三面角公式可解

【解法二】略

解析3.利用三垂线求解　　把四棱锥P-ABCD补成如图的直三棱柱PAB-EDC，显然二面角E-PC-D与二面角D-PC-B互补，转化为求二面角E-PC-D。

易证面PEDA⊥PDC，过E作EF⊥PD于F，显然PF⊥面PDC，在面PCE内，过E作EG⊥PC于G，连接GF，由三垂线得GF⊥PC即为二面角E-PC-D的平面角，只需解△EFG即可

解析4.在面PDC内，分别过D、B作DE⊥PC

于E，

BF⊥PC于F，连接EF即可。

利用平面知识求BF、EF、DE的长度，

再利用空间余弦定理求出即可

【点评】.用几何法求二面角的方法比较多，常见的有：

（1）定义法,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析１

（2）三垂线求解,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析２

（3）垂面法,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析３

用几何法将二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：

①直接利用定义，图

（1）.②利用三垂线定理及其逆定理，图

（2）.最常用。

③作棱的垂面，图（3）.

4.空间几何中的向量方法

例13.如下图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°

，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.

（1）求BN的长；

（2）求异面直线BA与1CB1的余弦值；

（3）求证：

A1B⊥C1M.

【解法】：

∵AC⊥BC,CC1⊥面ABC，

∴可以建立如图所示的坐标系

（1）依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），

∴｜｜==.

（2）A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），

∴=（1,-1,2），=（0，1，2），·

=3，｜｜=，｜｜=.

∴cos〈，〉==.

所以，异面直线BA与1CB1的余弦值为

（3）证明：

C1（0，0，2），M（，，2），

=（-1,1,-2），=（，，0），∴·

=0，∴A1B⊥C1M.

【点评】底面有直角的直棱柱适合建立坐标系的条件，可以用两点间的距离公式，数量积的夹角公式，用坐标法求点点距、向量夹角。

特别注意异面直线角的范围（0,],而向量角的范围为[0,π]

【变式与拓展】在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°

，AC=2，BC=，SB=.

SC⊥BC；

（2）求SC与AB所成角的余弦值.

【解法一】：

如下图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0），=（2，，－2），=（－2，，0）.

（1）∵·

=0，∴SC⊥BC.

（2）设SC与AB所成的角为α，∵=（0，，0），·

=4，||||=4，∴cosα=，即为所求.

【解法二】：

（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC.

（2）如下图