爱智康八年级春季培优讲义第9讲一次函数概念与图象性质Word文档下载推荐.docx

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在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：

（1）整式：

自变量的取值范围是任意实数．

（2）分式：

自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数．

（3）根式：

当根指数为偶数时，被开方数为非负数．

（4）零次幂或负整数次幂：

使底数不为零的实数。

注意：

在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．

在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类。

典型例题

【例1】

（1）在下列等式中，y是x的函数的有（）

3x－2y＝0，x2－y2＝1，y＝，y＝|x|，x＝|y|．

A．1个B．2个C．3个D．4个

（2）图中，表示y是x的函数图象是（）

【例2】

（1）求出下列函数中自变量x的取值范围．

（1）y＝x2－x＋5

（2）y＝（3）y＝

（4）y＝（5）y＝（6）y＝

（7）y＝（8）y＝（9）y＝＋

【例2】己知：

等腰三角形的周长为50cm，若设底边长为xcm，腰长为ycm，求y与x的函数解析式及自变量x的取值范围。

【例3】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车的速度继续匀速行驶，下面是行使路程s（米）关于时间t（分）的函数图象，那么符合这个同学行使情况的图像大致是（）

【巩固】

（1）如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的距离为S，则S关于t的函数图象大致为（）

（2）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（）

模块二一次函数图象性质

4．函数图像：

（1）函数图象的概念：

对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象．

（2）函数图象的画法：

①列表；

②描点；

⑧连线．

（3）函数解析式与函数图象的关系：

由函数图象的定义可知，图象上任意一点P（x，y）中的x，y都是解析式方程的一个解，反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．

判断一个点是否在函数图象上的方法是：

将这个点的坐标值代入函数的解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．

二、一次函数的图象

（1）一次函数y＝kx＋b（k≠0，k，b为常数）的图象是一条直线．

（2）由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．

①如果这个函数是正比例函数，通常取（0，0），（1，k）两点；

②如果这个函数是一般的一次函数（b≠0），通常取（0，b），（－，0），即直线与两坐标轴的交点．

（3）由函数图象的意义知，满足函数关系式y＝kx＋b的点（x，y）在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l，反之，直线l上的点的坐标（x，y）满足y＝kx＋b，也就是说，直线l与y＝kx＋b是一一对应的，所以通常把一次函数y＝kx＋b的图象叫做直线l：

y＝kx＋b，有时直接称为直线y＝kx＋6．

三、一次函数的性质

1．一次函数图象的位置

一次

函数

y＝kx＋b（k≠0）

k，b

符号

k>

k<

b>

b<

b=0

图像

性质

y随x的增大而增大

y随x的增大而减小

在一次函数y＝kx＋b中：

（1）当k>

0时，其图象一定经过一、三象限；

当k<

0时，其图象一定经过二、四象限．

（2）当b>

0时，图象与y轴交点在x轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；

当b<

0时，图象与y轴交点在x轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．

当b＝0时，图象过原点．

反之，由一次函数y＝kx＋b的图象的位置也可以确定其系数k、b的符号．

2．一次函数图象的增减性

在一次函数y＝kx＋b中：

0时，一次函数y＝kx＋b的图象从左到右上升，y随x的增大而增大；

（2）当k<

0时，一次函数y＝kx＋b的图象从左到右下降，y随x的增大而减小．

（1）下列函数中，哪些是一次函数？

哪些是正比例函数？

（1）y＝－

（2）y＝－（3）y＝－2x－1

（4）y＝－3－（5）y＝x2－（x－1）（x－2）（6）x2－y＝1

（1）若y＝x＋2－3b是正比例函数，则b的值是（）

A．0B．－C．D．－

（2）己知y＝（m－1）x＋m2－1，当m取何值时，y是x的正比例函数？

【巩固】己知函数y＝（k－2）x|k|－1（k为常数）是正比例函数，则k＝．

【例3】

（1）函数y＝－2x的图象一定经过下列四个点中的（）

A．点（1，2）B．点（－2，1）C．点（，－1）D．点（－1，）

（2）己知正比例函数y＝kx（k≠0，k为常数），经过点（2，4），以下哪个点不在该正比例函数图图象上（）

A．点（－2，－4）B．点（0，0）C．点（1，2）D．点（1，－2）

【例4】

（1）一次函数y＝－x的图象平分（）

A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、三象限D．第二、四象限

【例5】

（1）己知y－2与x成正比例，当x＝3时，y＝1，求y与x之间的函数关系式，并判断它是不是正比例函数．

（2）己知z＝m＋y，m是常数，y是x的正比例函数，当x＝2时，z＝1;

当x＝3时，z＝－1，求z与x的函数关系．

【例6】

（1）下面哪个正比例函数的图象经过一、三象限（）

A．y＝（－）xB．y＝（3.14－π）xC．y＝xD．y＝（5－2）x

（2）己知一次函数y＝（3－k）x＋（k－2）（k为常数）的图象经过一、二、三象限，求k取值范围____．

（3）己知一次函数y＝（5－a）x＋a－1的图象如图所示，则a的取值范围是．

（4）关于x的一次函数y＝kx＋k2＋1的图像可能正确的是（）

（5）若ab>

0，bc<

0，则y＝－x＋经过（）

A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限

C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限

（1）如果直线y＝ax＋b不经过第四象限，那么ab0（填“≥”、“≤”、“＝”）．

（2）若一次函数y＝2（1－k）x＋－1的图象不经过第一象限，则k的取值范围是．

（3）函数y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一坐标系中的可能是（）

（4）如图所示，直线l1：

y＝ax＋b和l2：

y＝bx－a在同一坐标系中的图象大致是（）

（5）己知一次函数y＝kx＋k，若y随x的减小而减小，则该函数的图象经过（）

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限

（1）己知点（－4，y1），（2，y2）都在直线y＝－x＋2上，则y1，y2大小关系是（）

A．y1>

y2B．y1＝y2C．y1<

y2D．不能比较

（2）己知一次函数的图象过点（0，3）与（2，1），则这个一次函数y随x的增大而．

（3）己知一次函数y＝（1－2m）x＋m－2，函数y随x的增大而减小，且其图像不经过第一象限，则m的取值范围是．

模块三待定系数法求一次函数解析式

1．己知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂物质量x（千克）的一次函数，现己测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米，求这个一次函数的关系式，

分析：

己知y是x的函数关系式是一次函数，则关系式必是y＝kx＋b（k≠0）的形式，所以要求的就是系数k和b的值．而两个己知条件就是x和y的两组对应值，也就是当x＝0时，y＝6;

当x＝4时，y＝7.2．可以分别将它们代入函数式，转化为求k与b的二元一次方程组，进而求得k与b的值，

解：

设所求函数的关系式是y＝kx＋b（k≠0）

由题意，得

解这个方程组，得

∴所求函数的关系式是y＝0.3x＋6．（其中自变量有一定的范围）

本题中把两对函数值代入解析式后，求解k和b的过程，转化为关于k和b的二元一次方程组的问题，

这种先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．

【例1】

（1）己知一个一次函数当自变量x＝－2时，函数值y＝－1，当x＝3时，y＝－3．求出这个一次函数的解析式？

（2）己知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点（3，5）和点（－4，－9），求当x＝5时，函数y的值．

（3）己知一次函数图象经过点（1，1）和（－1，－5）．

①求这个一次函数的解析式；

②求这条直线和坐标轴的交点坐标．

（4）己知一次函数y＝（a－2）x＋3a2－12．

求：

①a为何值时，一次函数的图象经过原点．

②a为何值时，一次函数的图象与y轴交于点（0，9）．

模块四一次函数平移

【例1】

（1）在平面直角坐标系中，把直线y＝2x－1向右平移一个单位长度后，其直线解析式为（）

A．y＝2xB．y＝2x＋1C．y＝2x＋2D．y＝2x－3

（2）直线y＝2x＋2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式是．

（3）一次函数经过沿y轴向下平移3个单位，在向右平移2个单位，所得的直线的解析式为y＝2（x－3），则原来的一次函数解析式为．

（4）直线l1是正比例函数的图象，将l1沿y轴向上平移2个单位得到的直线l2经过点P（1，1），那么（）

A．l1过第一，三象限B．l2过第二，三，四象限

C．对于l1，y随x的增大而减小D．对于l2，y随x的增大而增大

能力提升

【例1】

（1）己知直线y＝x＋3的图象与x、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2∶1的两部分，求直线l的解析式。

（2）如图，已知一次函数图象为直线a，直线a过点A、B．

①求一次函数解析式；

②点（m，4）在图象上，求m的值；

③求图象和坐标轴围成的三角形面积．

（3）如图，直线y＝kx＋6分别与x轴、y轴交于点E、F，且点E的坐标为（－8，0），点A的坐标为（－6，0）．若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点．

①在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与