第四编平面向量13页docWord格式.docx

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=＋.

又

∴＝c＋（b－c）＝b＋c.

答案　b＋c

4.（2010·

泰州模拟）如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2

将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.

若且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满

足a______0，b______0（用“>

”，“<

”或“＝”填空）．

解析由于点P落在第Ⅲ部分，且

则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a>

0，b<

0.

答案　>

　<

5.（2009·

江苏南京二模）设＝x＋y，且A、B、C三点共线（该直线不过端点O），

则x＋y＝________.

解析　∵A、B、C三点共线，∴存在一个实数λ，

=λ，即－＝λ（－）．

＝（1－λ）＋λ.

又∵＝x＝x＋y，∴x＋y＝（1－λ）＋λ＝1.

答案　1

6.（2009·

广东茂名一模）在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若

则λ＝________.

①

解析由图知

②

且＋2＝0.

①＋②×

2得3＝＋2，

∴＝＋，∴λ＝.

答案　

7．（2009·

浙江改编）设向量a，b满足：

|a|＝3，|b|＝4，a·

b＝0，以a，b，a－b的模为边长构

成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为________．

解析　由|a|=3，|b|=4及a·

b=0知a⊥b，故a，b，a-b构成直角三角

形，且|a-b|=5.又其内切圆半径为如图所示．将内切圆向

上或向下平移可知该圆与该直角三角形最多有4个交点．

答案　4

8．（2009·

北京改编）设D是正△P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0

是△P1P2P3的中心．若集合S＝{P|P∈D，|PP0|≤|PPi|，i＝1,2,3}，则

集合S表示的平面区域是________．

解析　如图所示，AB、CD、EF分别为P0P1、P0P2、P0P3的垂直平

分线，且AB、CD、EF分别交P1P2、P2P3、P3P1于点A、C、D、E、

F、B.若|PP0|=|PP1|，则点P在线段AB上，若|PP0|≤|PP1|，则点P在

梯形ABP3P2中．

同理，若|PP0|≤|PP2|，则点P在梯形CDP3P1中．

若|PP0|≤|PP3|，则点P在梯形EFP1P2中．

综上可知，若|PP0|≤|PPi|，i=1,2,3，则点P在六边形ABFEDC中．

答案　六边形区域

9.（2009·

山东改编）设P是△ABC所在平面内的一点，+＋＝2，

则＋＝________.

解析因为＋＋＝2，所以点P为线段AC的中点，即＋＝0.

答案　0

二、解答题（本大题共3小题，共46分）

10.（14分）（2010·

南京调研）在△OAB中，延长BA到C，使＝

在OB上取点D，使＝.DC与OA交于E，设＝a，＝b，

用a，b表示向量，.

解因为A是BC的中点，所以＝（＋），

即＝2－＝2a－b；

＝－＝－

＝2a－b－b＝2a－b.

11.（16分）（2010·

江苏苏州调研）已知：

任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的

中点，求证：

证明　方法一　如图，

∵E、F分别是AD、BC的中点，

∴＋＝0，＋＝0，

又∵＋＋＋＝0，

∴=＋＋①

同理=+＋②

由①＋②得，

2=+＋（＋）＋（＋）=+.

方法二连结

则

12.（16分）（2009·

上海宝山模拟）已知点G为△ABC的重心，过点G作直线与AB、AC

两边分别交于M、N两点，且求＋的值．

解　根据题意G为三角形的重心，

＝（＋），

=－＝（＋）－x

由于与共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得

即＋

即，因此＝

即x＋y－3xy＝0两边同除以xy整理得＋＝3.

4.2平面向量的坐标运算

1．（2009·

天津汉沽一中模拟）已知平面向量a＝（1,1），b＝（1，－1），则向量a－b＝__________.

解析　a－b＝（1,1）－（1，－1）＝－＝＝（－1,2）．

答案　（－1,2）

2．（2010·

湖南衡阳四校联考）已知向量a＝（2,3），b＝（－1,2），若ma＋nb与a－2b共线，则＝

________.

解析　ma＋nb＝（2m,3m）＋（－n,2n）＝（2m－n,3m＋2n），

a－2b＝（2,3）－（－2,4）＝（4，－1）．

由于ma＋nb与a－2b共线，则有＝，

∴n－2m＝12m＋8n，∴＝－.

答案　－

3．（2009·

宁夏、海南改编）已知a＝（－3,2），b＝（－1,0），向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ

的值为__________．

解析　∵a＝（－3,2），b＝（－1,0），

∴λa＋b＝（－3λ－1,2λ），

a－2b＝（－3,2）－2（－1,0）＝（－1,2）．

由（λa＋b）⊥（a－2b）知4λ＋3λ＋1＝0.∴λ＝－.

4．（2009·

湖北理改编）已知P＝{a|a＝（1,0）＋m（0,1），m∈R}，Q＝{b|b＝（1,1）＋n（－1,1），n∈R}

是两个向量集合，则P∩Q＝________.

解析　∵P＝{a|a＝（1,0）＋m（0,1），m∈R}

＝{a|a＝（1，m）}，Q＝{b|b＝（1－n,1＋n），n∈R}，

由得∴a＝b＝（1,1），

∴P∩Q＝{（1,1）}．

答案　{（1,1）}

5．（2009·

山东潍坊一模）已知向量a＝，b＝（x,1），其中x>

0，若（a－2b）∥（2a＋b），则

x的值为____________．

解析　a－2b＝（8－2x，x－2）,2a＋b＝（16＋x，x＋1），

由已知（a－2b）∥（2a＋b），显然2a＋b≠0，

故有（8－2x，x－2）＝λ（16＋x，x＋1）

即，解得x＝4（x>

0）．

6．（2010·

泰州模拟）已知向量a＝（2,4），b＝（1,1），若向量b⊥（a＋λb），则实数λ的值是

______________．

解析　a＋λb＝（2,4）＋λ（1,1）＝（2＋λ，4＋λ）．

∵b⊥（a＋λb），∴b·

（a＋λb）＝0，

即（1,1）·

（2＋λ，4＋λ）＝2＋λ＋4＋λ＝6＋2λ＝0，

∴λ＝－3.

答案　－3

7.（2008·

辽宁文）已知四边形ABCD的顶点A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1），且

则顶点D的坐标为________．

解析　∵A（0,2），B（－1，－2），C（3,1），

＝（3,1）－（－1，－2）＝（4,3）．

设D（x，y），∵＝（x，y－2），＝2，

∴（4,3）＝（2x,2y－4）．∴x＝2，y＝.

辽宁改编）在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知

A（－2,0），B（6,8），C（8,6），则D点的坐标为______________．

解析设D点的坐标为（x,y）,由题意知=，

即（2，－2）＝（x＋2，y），所以x＝0，y＝－2，∴D（0，－2）．

答案　（0，－2）

9．（2009·

浙江改编）已知向量a＝（1,2），b＝（2，－3）．若向量c满足（c＋a）∥b，c⊥（a＋b），则

c＝________.

解析　设c＝（x，y），则c＋a＝（x＋1，y＋2），

又（c＋a）∥b，∴2（y＋2）＋3（x＋1）＝0.①

又c⊥（a＋b），∴（x，y）·

（3，－1）＝3x－y＝0.②

解①②得x＝－，y＝－.

10.（14分）（2009·

江苏金陵中学三模）已知A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4）且

＝3，＝2，求点M、N及的坐标.

解　∵A（－2,4）、B（3，－1）、C（－3，－4），

设M（x，y），则有=（x+3，y+4），

∴，∴，

∴M点的坐标为（0,20）．

同理可求得N点坐标为（9,2），

因此=（9，-18），

故所求点M、N的坐标分别为（0,20）、（9,2），

的坐标为（9，－18）．

江苏丹阳高级中学一模）已知A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4）.设

=a，=b，=c，且3c,,2b.

（1）求3a＋b－3c；

（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n.

解　由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1,8）．

（1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1,8）

＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）．

（2）∵mb＋nc＝（－6m＋n，－3m＋8n），

∴，解得.

12.（16分）（2010·

山东济宁模拟）在ABCD中，A（1，1），=（6，0），

点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.

（1）若＝（3,5），求点C的坐标；

（2）当||=||时，求点P的轨迹．

解　

（1）设点C的坐标为（x0，y0），

又＝（3,5）＋（6,0）＝（9,5），

即（x0－1，y0－1）＝（9,5），

∴x0＝10，y0＝6，即点C（10,6）．

（2）由三角形相似,不准得出

设P（x，y），则

＝（x－1，y－1）－（6,0）＝（x－7，y－1），

∴ABCD为菱形，

∴AC⊥BD.

即（x-7，y-1）·

（3x-9，3y-3）=0.

即（x-7）（3x-9）+（y-1）（3y-3）=0，

∴x2+y2-10x-2y+22=0（y≠1）.

∴（x-5）2+（y-1）2=4（y≠1）.

故点P的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点.

4.3平面向量的数量积

常州模拟）向量a＝（cos15°

，sin15°

），b＝（－sin15°

，－cos15°

），则|a－b|的值是

__________．

解析　由题设，|a|＝1，|b|＝1，

a·

b＝－sin（15°

＋15°

）＝－.

∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·

b＝1＋1－2×

＝3.

∴|a－b|＝.

2.（2009·

浙江温州十校联考）在边长为1的正三角形ABC中，设＝a，＝c，＝b，

则a·

b＋b·

c＋c·

a＝______________________.

解析　如图所示，a+c=b，

b+b·

c+c·

a

=b·

（a+c）+a·

c=b2+a·

c

=1+|a|·

|c|cos〈a，c〉

=1+cos120°

=

3．（2010·

广东韶关一中模拟）若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°

，则a·

b的值为________．

解析　a·

b＝|a|·

|b|·

cos60°

＋|b|2