建模作业PPT格式课件下载.ppt

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这是艇的动态特性。

3.所有桨手的体重都相同，记作；

在比赛中每个桨手的划桨功率保持不变，且与成正比。

由假设1，各种艇几何形状相同。

若艇浸没面积与某特征尺寸的平方成正比，则艇排水体积必与的立方成正比其中，代入得模型构成有名桨手的艇的总功率与阻力和速度的乘积成正比，即由假设1，各种艇几何形状相同而由阿基米德定律，艇排水体积与总重量成正比，即又根据艇重与桨手数成正比，所以艇和桨手数的总重量也与成正比，即式代入式，当是常数时得到为了分析所受阻力的情况，调查各种艇的几何尺寸和重量，可以看出，桨手数增加时，及艇重都随之增加，但是比值和变化不大。

若假定是常数，即各种艇的形状一样，则可得艇浸没面积与排水体积之间的关系。

若假定是常数，则可得到艇与桨手总重量与桨手数之间的关系。

此外还需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速的关系等方面作出简化且合理的假定，才能用合适的物理定律建立需要的模型。

初等模型之动物的身长和体重四足动物的躯干长度（不含头尾）与它的体重有什么关系，这个问题有一定实际意义。

比如，在生猪收购站或屠宰场工作的人们，往往希望能从生猪的身长估计出它的体重。

动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入对生物学复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的的有使用价值的模型。

类比法是建模中常用的一种方法。

在这个模型中将动物躯干类比作弹性梁实属一个大胆的假设，其可信程度自然应该用实际数据仔细检验。

但是这种充分发挥想象力，把动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题转化为已经有确切成果的弹性梁在自重下挠曲问题的作法，是值得借鉴的。

评评注注2.1.2分蛋糕问题分蛋糕问题妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给你。

哥哥利用高等数学知识解决了这个问题，你。

哥哥利用高等数学知识解决了这个问题，你知道他用的是什么办法吗？

你知道他用的是什么办法吗？

问题归结为如下一道证明题：

已知平面上一条已知平面上一条没有交叉点没有交叉点的的封闭曲线，封闭曲线，P是曲线所围图形上是曲线所围图形上任一点，求证：

一定存在一条过任一点，求证：

一定存在一条过P的直线，将这图形的面积二等的直线，将这图形的面积二等分。

分。

只证明了直线的存在性，只证明了直线的存在性，你能找到它么？

你能找到它么？

P?

PS1S2l若若S1S2不妨设不妨设S1S2（此时此时l与与x轴正向的夹角记为轴正向的夹角记为）以点以点P为旋转中心，将为旋转中心，将l按逆时按逆时针方向旋转，面积针方向旋转，面积S1，S2就就连连续依赖于续依赖于角角的变化，记为的变化，记为令：

令：

而而在在上连续，且上连续，且由零点定理得证由零点定理得证。

2.1.3出租车收费问题出租车收费问题某城市出租汽车收费情况如下：

起价某城市出租汽车收费情况如下：

起价10元元（4km以内），行以内），行程不足程不足15km，大于等于，大于等于4km部分，每公里车费部分，每公里车费1.6元元；

行程；

行程大于等于大于等于15km部分，每公里车费部分，每公里车费2.4元元。

计程器每。

计程器每0.5km记记一次价。

一次价。

例如，当行驶路程例如，当行驶路程x（km）满足）满足12x12.5时，按时，按12.5km计价；

当计价；

当12.5x13时，按时，按13km计价；

计价；

例如，等候时间例如，等候时间t（min）满足满足2.5t5时，按时，按2.5min计价收费计价收费0.8元；

元；

当当5t0为比例常数为比例常数）。

1.建立细菌繁殖的数学模型。

建立细菌繁殖的数学模型。

2.假设一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的假设一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的近似数据。

近似数据。

天数天数细菌个数细菌个数5936102190由于细菌的繁殖时连续变化的，由于细菌的繁殖时连续变化的，在很短的时间内数量变化得很小，在很短的时间内数量变化得很小，繁殖速度可近似看做不变。

繁殖速度可近似看做不变。

解解:

建立数学模型建立数学模型将时间间隔将时间间隔t分成分成n等分，在第一段时间等分，在第一段时间内，细菌繁殖的数内，细菌繁殖的数量为量为，在第一段时间末细菌的数量为，在第一段时间末细菌的数量为，同样，同样，第二段时间末细菌的数量为第二段时间末细菌的数量为；

以此类推，最后一段；

以此类推，最后一段时间末细菌的数量为时间末细菌的数量为，经过时间，经过时间t后，细菌的总数是后，细菌的总数是设细菌的总数为设细菌的总数为y,则所求的数学模型为：

则所求的数学模型为：

海报设计问题海报设计问题现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为128平方分米，上下空白个平方分米，上下空白个2分米，两边空白个分米，两边空白个1分米，如何分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？

确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？

最小最小令此式对令此式对x的导数为的导数为0，解得：

，解得：

x=16,此时此时y=8,可使空白面积可使空白面积最小。

最小。

其中其中这个问题可用求一元函数最值的方法解决这个问题可用求一元函数最值的方法解决x21y思考思考：

若海报改为左右两栏，横：

若海报改为左右两栏，横向粘贴，印刷面积为向粘贴，印刷面积为180平方分米，平方分米，要求四周留下空白宽要求四周留下空白宽2分米，留分米，留1分米分米宽竖直中缝。

如何设计它的尺寸使总宽竖直中缝。

如何设计它的尺寸使总空白面积最小空白面积最小?

对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上水平的工人早上8：

00开始工作，在开始工作，在t小时之后，生产出小时之后，生产出Q（t）=-t3+9t2+12t个晶体管收音机。

个晶体管收音机。

问：

在早上几点钟这个工人的工作效率最高？

工人上班效率问题工人上班效率问题工作效率最高，即生产率最大，工作效率最高，即生产率最大，此题中，工人在此题中，工人在tt时刻的生产率为时刻的生产率为产量产量QQ关于时间关于时间tt的变化率：

的变化率：

Q（t）Q（t），则问题转化为求，则问题转化为求Q（t）Q（t）的最大值的最大值解：

工人的生产率为解：

工人的生产率为比较比较R（0）=12,R（3）=39,R（4）=36,知知t=3时，即上午时，即上午11：

00，工人的工作效率最高。

工人的工作效率最高。

一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子进价每听进价每听30美分，外地牌子的进价每听美分，外地牌子的进价每听40美分。

店主估计，美分。

店主估计，如果当地牌子的每听卖如果当地牌子的每听卖x美分，外地牌子卖美分，外地牌子卖y美分，则每天可美分，则每天可卖出卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁，听当地牌子的果汁，80+6x-7y听外地牌子的果听外地牌子的果汁。

汁。

店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？

收益？

最大利润问题最大利润问题想一想高等数学中二想一想高等数学中二元函数求最值的方法元函数求最值的方法解：

解：

每天的总收益为二元函数：

令令，则有驻点，则有驻点x=53,y=55判断可知判断可知（53，55）为最大值点。

为最大值点。

某公路管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平某公路管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平均车连行驶速度，数据统计表明：

一个普通工作日的下午均车连行驶速度，数据统计表明：

一个普通工作日的下午1：

00至至6：

00之间，次口在之间，次口在t时刻的平均车辆行驶速度为：

时刻的平均车辆行驶速度为：

S（t）=2t3-21t2+60t+40（km/h）左右，试计算下午左右，试计算下午1：

00内的平均车辆行驶速度？

内的平均车辆行驶速度？

车辆平均行驶速度问题车辆平均行驶速度问题解解：

平均车辆行驶速度为平均车辆行驶速度为此题是求函数此题是求函数s（t）s（t）在区间【在区间【11，66】内的平均值】内的平均值一般地，连续函数在区间上一般地，连续函数在区间上的平均值，等于函数在此区的平均值，等于函数在此区间上的定积分除以区间长度。

间上的定积分除以区间长度。

（5）收益函数收益函数：

（6）利润函数利润函数：

（7）边际成本函数边际成本函数：

（8）边际收益函数：

边际收益函数：

（9）边际利润函数：

边际利润函数：

例例1某品牌收音机每台售价某品牌收音机每台售价90元，成本为元，成本为60元，厂家为鼓励元，厂家为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多台以上的，每多订购一台，售价就降低订购一台，售价就降低1分（例如某商行订购分（例如某商行订购300台，订购量台，订购量比比100台多台多200台，于是每台就降价台，于是每台就降价0.01200=2元，商行可元，商行可按每台按每台88元的价格购进元的价格购进300台）。

但最低价格为台）。

但最低价格为75元元/台。

台。

（1）建立订购量）建立订购量x与每台的实际售价与每台的实际售价p的数学模型。

的数学模型。

（2）建立利润）建立利润L与订购量与订购量x的数学模型。

（3）当一商行订购了）当一商行订购了1000台时，厂家可获利润多少？

台时，厂家可获利润多少？

据此不难将售价与订购量归纳为如下的数学模型：

当当x100时，每台售价，每台售价90元；

当元；

当订购量超量超过1600台台时，每台售价，每台售价75元；

当当订购量在量在100到到1600台之台之间时，每，每台售价台售价为90-（x-100）0.01每台利润是实际售价每台利润是实际售价p与成本与成本60元之差，所以元之差，所以L=（p-60）x设产品产量为设产品产量为q,产品价格为产品价格为p,固定成本固定成本c0，可变