全国硕士研究生入学统一数学考试Word文档格式.docx

全国硕士研究生入学统一数学考试Word文档格式.docx

《全国硕士研究生入学统一数学考试Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国硕士研究生入学统一数学考试Word文档格式.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（a）＜0．（D）f"

（a）＞0．

（4），则当x充分大时有

（A）g（x）＜h（x）＜f（x）．（B）h（x）＜g（x）＜f（x）．

（C）f（x）＜g（x）＜h（x）．（D）g（x）＜f（x）＜h（x）．

（5）设向量组Ⅰ：

α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ：

β1，β2，…，β3线性表示，则下列命题正确的是

（A）若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s．（B）若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s．

（C）若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．（D）若向量组Ⅱ线性相关，则，r＞s.

（6）设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0，若A的秩为3，则A与A相似于

（7）设随机变量X的分布函数

（8）设f1（x）为标准正态分布的概率密度，f2（x）为[-1，3]上的均匀分布的概率密度，若

为概率密度，则a，b应满足

（A）2a+3b=4．（B）3a+2b=4．（C）a+b=1（D）a+b=2．

二、填空题（把答案填在题中横线上。

）

（9）设可导函数y=y（x）由方程______.

（10）设位于曲线下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为______．

（11）设某商品的收益函数为R（P），收益弹性为1+P3，其中P为价格，且R

（1）=1，则R（P）=______.

（12）若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点（-1，0），则b=______．

（13）设A，B为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=______．

（14）若X1，X2，…，Xn，为来自正态总体N（μ,σ2）（σ＞0）的简单随机样本，记统计量，则E（T）=______．

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

（15）

（16）

（17）

求函数u=xy+2yz在约束条件x2++y2+z2=10下的最大值和最小值．

（18）

（19）

设函数f（x）在闭区间[0，3]上连续，在开区间（0，3）内二阶可导，且

（Ⅰ）证明存在η∈（0,2），使得f（η）=f（0）；

（Ⅱ）证明存在ζ∈（0,3），使得f"

（ζ）=0．

（20）

已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解．

（Ⅰ）求λ，a；

（Ⅱ）求方程组Ax=b的通解．

（21）

（22）

设二维随机变量（X，y）的概率密度为

求常数A以及条件概率密度fY|X（y|x）．

（23）

箱中装有6个球，其中红、白、黑球个数分别为1，2，3，现从箱中随机地取出2个球，记X为取出红球的个数，Y为取出白球的个数．

（Ⅰ）求随机变量（X，Y）的概率分布；

（Ⅱ）求Cov（X，Y）．

参考解答

一、选择题

（1）C

（2）A（3）B（4）C（5）A（6）D（7）C（8）A

二、填空题

（9）-1（10）（11）

（12）3（13）3（14）μ2+σ2

三、解答题

（15）分析：

化为指数形式，用洛比达法则及等价无穷小替换．

（16）分析：

被积函数展开，利用二重积分的对称性．

解：

显然D关于x轴对称，且D=D1∪D2，其中

评注：

二重积分的对称性的考查一直是重要测试内容．

（17）分析：

本题为条件极值问题，用拉格朗日乘数法.

求多元函数的极值已连续几年考查，仍属基本题型。

（18）分析：

对（Ⅰ）比较被积函数的大小，对（Ⅱ）用分部积分法计算积分，再用夹逼定理求极限．

若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．

（19）分析：

需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。

证明：

（Ⅰ）因f（x）在闭区间[0，2]上连续，由积分中值定理得，至少存在一点η∈（0，2），使得

又f（x）在闭区间[2，3]上连续，从而介于f（x）在[2，3]上的最大值与最小值之间，由介值定理知，至少存在一点γ∈[2，3]，使得

f（y）=f（0）．

因此f（x）在区间[0，η]，[η，γ]上都满足罗尔中值定理条件，

于是至少存在点ζ1∈（0，η），ζ2∈（η，γ），

有f'

（ζ1）=f'

（ζ2）=0，

由f（x）在[0O，3]上连续，在（0，3）内二阶可导，知f'

（x）在[ζ1，ζ2]上连续，在（ζ1，ζ2）可导，用罗尔中值定理，至少存在一点ζ∈（ζ1，ζ2）（0，3），使得f'

'

（ζ）=0．

一般地有如下结论：

设f（x）在[a，b]上连续，

a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，（i=1，2，…，n），

（20）分析：

本题考查方程组解的判定与通解的求法．由非齐次线性方程组存在2个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解．

（Ⅰ）解法一

由线性方程组Ax=b存在2个不同解，得λ=-1，a=-2．

解法二由线性方程组Ax=b有2个不同的解，知r（A）=r（A|b）＜3，因此方程组的系数行列式

得λ=1或-1；

而当λ=1时，r（A）=1≠r（A|b）=2，此时，Ax=b无解，所以λ=-1．

由r（A）=r（A|b）得a=-2．

（Ⅱ）当λ=-1，a=-2时，

故方程组Ax=b的通解为，k为任意常数．

（21）分析：

本题考查实对称矩阵的正交对角化问题．由Q的列向量都是特征向量可得a的值以及对应的特征值，然后由A可求出其另外两个线性无关的特征向量，从而最终求出Q．

=（λ+4）（λ-2）（λ-5）=0

得A的特征值为λ1=2，λ2=-4，λ3=5，且对应于λ1=2的特征向量为

由（-4E-A）x=0得对应于λ2=-4的特征向量为α2=（-1，0，1）T。

南（5E-A）x=0得对应于λ3=5的特征向量为α3=（1，-1，1）T．

因A为实对称矩阵，α1，α2，α3为对应于不同特征值的特征向量，所以η1，η2，η3为单位正交向量组．令

（22）分析：

本题考查二维联合密度的性质与条件密度的计算，而求条件密度的本质还是求边缘密度．

由联合概率密度的性质有

（23）分析：

本题是计算二维离散型随机变量的联合分布律与数字特征，第一问实际上为古典概率问题解：

（Ⅰ）易知X的所有可能取值为0，1，Y的所有可能取值为O，1，2．{X=i，Y=j．}表示取到i个红球，j个白球．由古典概型得

故二维随机变量（X，Y）的概率分布为