计算机数值方法第二版第四章Word格式.docx

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联立二式的方程组:

用代入二次方程组

解得

代入一次方程得

于是当或

该求积公式具有二次代数精确度

（2）由欧拉---麦克劳林公式:

其中即

而对任意三次多项式.

当时.该求积分式的代数精确度为3

直接选取常数,对基函数

因为梯形公式代数精度为1,而对任意一次式.

解的

宜的证,当取时.该求积公式具有三次代数精度.

（3）对基函数,有:

即

而可得方程的解:

,当选取求积系数,

时,对.该求积公式也精确成立.故该求积公式的代数精确度为3.

思考:

对

（2）对被积函数是任意多项式三次是精确成立的.若不用基函数

的方法,还有哪些证明之途径.

2,若,证明梯形公式计算积分所得结果比准确值大,并证明几何意义.

证明:

由梯形公式误差:

.

,,

即

故

而推得,

3.说明中矩形公式的几何意义，并证明：

解：

几何意义：

用中矩形面积代替曲边梯形面积。

将f（x）在处Tayler展开有：

对上式在[a,b]上积分有：

而

有：

证明完。

4．不同截断误差的方法，直接证明Simpson公式对任意三次多项式是精确成立的。

证明：

方法一：

对基函数

于是曲积分性质可推的确对被积函数是多项式且次数小于3，SIMPSON公式精确成立。

方法二：

区间[a,b]二等分，,

对任意三次多项式

６．试用ＳＩＭＰＳＯＮ公式计算积分并估计误差。

ＳＩＭＰＳＯＮ公式：

7用下列方法计算,并比较结果（I=1.09861）

（1）梯形公式

（2）Simpson公式

（3）复合梯形公式

（4）Romberg方法

解

（1）梯形公式:

（2）Simpson公式:

（3）复合梯形公式:

L=1（二个小梯形面积之和）

L=2（四个小梯形面积之和）

L=3,（八个小梯形面积之和）

（4）Romberg求积法:

计算公式:

m=1,2,…l,k=1,2,…l-m.

列表如下:

0

1.333333

1.111112

1.099259

1.098629

1

1.166667

1.100000

1.098639

2

1.116667

1.098724

3

1.103210

8,试给出计算积分的两点计算公式,使之对于为三次多项式时精确成立.

构造Gauss型求积公式

待定结点,,求积系数,,使得对基函数精确成立,于是得到关于,,,的方程组

即

并有:

而

即

则可解得,,,则可得求积公式