课堂新坐标教师用书学年高中数学 32 导数的计算教案 新人教A版选修11Word文档格式.docx

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●教学流程

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（对应学生用书第52页）

课标解读

1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则．（难点）

2．掌握几种常见函数的导数公式．（重点）

3．能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．（重点）

基本初等函数的导数公式

【问题导思】　

1．用导数的定义求导数的步骤是怎样的？

【提示】　①求函数值的变化量；

②求平均变化率；

③取极值，得导数．

2．我们发现，用导数的定义求导数很复杂，能不能总结出常用函数的求导公式呢？

【提示】　能．

　基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f（x）＝c

f′（x）＝0

f（x）＝xα（α∈Q*）

f′（x）＝α·

xα－1

f（x）＝sinx

f′（x）＝cos_x

f（x）＝cosx

f′（x）＝－sin_x

续表　　

f（x）＝ax

f′（x）＝axln_a（a>

0且a≠1）

f（x）＝ex

f′（x）＝ex

f（x）＝logax

f′（x）＝（a>

f（x）＝lnx

f′（x）＝

导数的运算法则

　一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？

　设两个函数f（x），g（x）可导，则

和的

导数

[f（x）＋g（x）]′＝f′（x）＋g′（x）

差的

[f（x）－g（x）]′＝f′（x）－g′（x）

积的

[f（x）·

g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）

商的

′＝（g（x）≠0）

（对应学生用书第53页）

用求导公式求函数的导数

　求下列函数的导数

（1）y＝x8　

（2）y＝　（3）y＝

（4）y＝2x　（5）y＝log2x　（6）y＝cosx

【思路探究】　

（1）以上函数分别是什么类型的函数？

（2）这种函数的求导公式是怎样的？

【自主解答】　

（1）y′＝（x8）′＝8x8－1＝8x7.

（2）y′＝（）′＝（x－4）′＝－4x－5.

（3）y′＝（）′＝（x）′＝x－1＝x－.

（4）y′＝（2x）′＝2xln2.

（5）y′＝（log2x）′＝.

（6）y′＝（cosx）′＝－sinx.

1．基本初等函数的求导公式是求导数基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导．

2．对于形如y＝，y＝的函数一般先转化为幂函数的形式，再用幂函数的求导公式求导．

3．要区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆．

　求下列函数的导数；

（1）y＝10；

（2）y＝x10；

（3）y＝；

（4）y＝；

（5）y＝3x；

（6）y＝log3x.

【解】　

（1）y′＝（10）′＝0

（2）y′＝（x10）′＝10x10－1＝10x9.

（3）y′＝（x）′＝x－1＝x－＝.

（4）y′＝（x－）′＝－x－－1＝－x－＝－.

（5）y′＝（3x）′＝3xln3.

（6）y′＝（log3x）′＝.

用求导公式和导数运算法则求导

　求下列函数的导数：

（1）f（x）＝（x＋2）（x－3）；

（2）f（x）＝lgx－3x；

（3）f（x）＝＋；

（4）f（x）＝.

【思路探究】　

【自主解答】　

（1）∵f（x）＝x2－x－6，

∴f′（x）＝（x2－x－6）′＝2x－1.

（2）f′（x）＝（lgx）′－（3x）′＝－3xln3.

（3）y＝＋＝＝，

∴y′＝（）′＝＝.

（4）∵f（x）＝＝1－，

∴f′（x）＝1′－（）′

＝－＝.

1．应用导数运算法则求函数的导数的技巧：

（1）求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．

（2）利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．

（3）在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．

2．应用导数运算法则求函数的导数的原则：

结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除运算，再套运算法则．

（1）y＝x5－3x3－5x2＋6；

（2）y＝（2x2＋3）（3x－2）；

　（4）y＝－sin（1－2cos2）．

【解】　

（1）y′＝（x5－3x3－5x2＋6）′

＝（x5）′－（3x3）′－（5x2）′＋6′

＝5x4－9x2－10x.

（2）法一　y′＝（2x2＋3）′（3x－2）＋（2x2＋3）（3x－2）′

＝4x（3x－2）＋3（2x2＋3）＝18x2－8x＋9.

法二　∵y＝（2x2＋3）（3x－2）＝6x3－4x2＋9x－6，

∴y′＝18x2－8x＋9.

（3）法一　y′＝（）′＝

＝＝.

法二　∵y＝＝＝1－，

∴y′＝（1－）′＝（－）′

（4）y＝－sin（1－2cos2）＝－sin（－cos）＝sinx，y′＝（sinx）′＝（sinx）′＝cosx.

导数的应用

　在抛物线y＝－x2上求一点，使之到直线4x＋3y－8＝0的距离最小．

【思路探究】　

（1）平行于直线4x＋3y－8＝0且与抛物线相切的直线与抛物线y＝－x2的切点是否满足题意？

（2）该切点的坐标如何求出？

【自主解答】　如图所示，由题意知作与4x＋3y－8＝0平行的直线l，当l与y＝－x2相切时，切点P到直线4x＋3y－8＝0的距离最小．

设切点为（x0，－x），又y′＝（－x2）′＝－2x，

∴－2x0＝－，∴x0＝，y0＝－x＝－，

∴点P（，－），

即抛物线y＝－x2上的点（，－）到直线的距离最小．

利用导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以求解一些与距离、面积有关的几何问题，解题的关键是正确运用曲线的切线．

　已知点P是曲线y＝x2－lnx上一点，求点P到直线y＝x－2的最小距离．

【解】　过p作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－lnx相切，设P（x0，x－lnx0），则k＝y′|x＝x0＝2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－（舍去），∴p的坐标为（1,1），∴dmin＝＝.

（对应学生用书第54页）

因公式记忆不准确致误

　求函数y＝sinx－cosx的导数．

【错解】　y′＝（sinx）′－（cosx）′＝cosx－sinx

【错因分析】　（cosx）′＝－sinx，错解中因漏掉负号致误．

【防范措施】　应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，以防因记忆不牢而致误．

【正解】　y′＝（sinx）′－（cosx）′＝cosx＋sinx.

本堂课的主要内容是利用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则求导数的运算．在运算中，熟记有关的求导公式是关键，但对运算法则更应熟练掌握，特别是对商的运算，应与积的运算予以区别记忆，同时也要注意它们之间的联系.

1．已知函数f（x）＝，则f′（－3）等于（　　）

A．4　　　B.　　　C．－　　　D．－

【解析】　∵（）′＝－，∴f′（－3）＝－＝－.

【答案】　D

2．下列各式中正确的是（　　）

A．（lnx）′＝xB．（cosx）′＝sinx

C．（sinx）′＝cosxD．（x－5）′＝－x－6

【解析】　∵（lnx）′＝，（cosx）′＝－sinx，（x－5）′＝－5x－5－1＝－，∴A、B、D均不正确；

C正确．

【答案】　C

3．下列求导正确的是（　　）

A．（x＋）′＝1＋

B．（log2x）′＝

C．（3x＋ln3）′＝3x·

ln3＋

D．（x2cosx）′＝－2xsinx

【解析】　′＝1＋′＝1－，A不正确．

（3x＋ln3）′＝（3x）′＋（ln3）′＝3xln3，C不正确．

（x2cosx）′＝2xcosx－x2sinx，D不正确．

【答案】　B

4．求曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程．

【解】　y′＝（）′＝.

∴k＝y′|x＝1＝－2

∴切线方程为y＋1＝－2（x－1），即2x＋y－1＝0.

（对应学生用书第107页）

一、选择题

1．（2013·

普宁高二检测）设函数f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（　　）

A．e2　　　B．e　　　C.　　　D．ln2

【解析】　∵f′（x）＝lnx＋1，∴f′（x0）＝lnx0＋1＝2.

∴lnx0＝1，x0＝e.

2．（2013·

广元高二检测）曲线y＝xex＋2x＋1在点（0,1）处的切线方程为（　　）

A．x＋3y－3＝0B．3x－y＋1＝0

C．3x＋y－1＝0D．x－3y＋3＝0

【解析】　y′＝ex＋xex＋2，∴y′|x＝0＝3＝k.

∴曲线在点（0,1）处的切线方程为y－1＝3x，即3x－y＋1＝0.

3．设曲线y＝ax2在（1，a）处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于（　　）

A．1B.C．－D．－1

【解析】　y′＝2ax，∴在点（1，a）处切线的斜率k＝y′|x＝1＝2a.

由题意可得2a＝2，∴a＝1.故选A.

【答案】　A

4．函数y＝的导数是（　　）

A.B.

C.D.

【解析】　y′＝＝.

5．设函数f（x）＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′

（1）的取值范围是（　　）

A．[－2,2]B．[，]

C．[，2]D．[，2]

【解析】　f′（x）＝x2sinθ＋xcosθ，

∴f′

（1）＝sinθ＋cosθ＝2sin（θ＋），

∵θ∈[0，]，∴sin（θ＋）∈[，1]，

∴f′

（1）∈[，2]．

二、填空题

6．设函数f（x）＝x3－2x2＋x＋5，则f′

（1）＝________.

【解析】　∵f′（x）＝3x2－4x＋1，∴f′

（1）＝3×

12－4×

1＋1＝0.

【答案】　0

7．（2013·

张家港高二检测）设函数f（x）＝（x－a）（x－b）（x－c），（a，b，c是两两不等的常数），则＋＋＝________.

【解析】　∵f′（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）