八年级数学平行线分线段成比例定理4docWord下载.docx

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（二）讲解新课

在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理．

首先复习一下平行线等分线段定理，如图5-5：

∵l1∥l2∥l3，且AB=BC，

∴DE=EF．

教师可带领学生阅读教材P．208的说明，然后强调：

（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）

由比例性质，还可得到：

平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例．

根据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可根据情况选用其中任何一个参见图5-6～图5-9．

∵l1∥l2∥l3，

其中图5-8，图5-9两种情况，为下一节学习推论作了准备．

例1　已知：

如图5-10，l1∥l2∥l3，AB=3，DE=2，EF=4，

求：

BC．

解：

让学生来完成．

注：

在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以减少错误，如例1可列比例式为：

有了5．1节例4的教学，学生作此例题不会有困难，建议让学生来完成．

小结：

（1）平行线分线段成比例定理正确性的说明．

（2）熟练掌握由定理得出的六个比例式．

（3）灵活运用定理解决问题．

（三）练习

教材P．210中1、2．

（四）作业

教材P．218中3（训练学生克服图形中各线段的干扰）．

补充作业：

抄写平行线分线段成比例定理，画出图形，并写出由此定理说出的六个比例式．

（五）板书设计

平行线分线段成比例定理（第二课时）

一、教学目标

1．使学生在巩固平行线等分线段定理的基础上掌握其推论及推论的应用．

2．通过推论探讨过程的教学，培养学生从一般到特殊的思想．

1．重点是让学生理解并会运用推论．

2．难点是推论的探讨及应用，由于推论在本章中应用最多，同时务必要求学生熟练地运用它．

3．疑点是关于推论中“或两边的延长线”的讲解．事实上，“两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线，教学中结合图形从正反两方面给学生讲清楚．

探索发现法．

叙述平行线分线段成比例定理（多人次背诵）．

（要求：

结合图形，做出六个比例式）

在黑板上画出图5-12，观察其特点：

l4与l5的交点A在直线l1上，

平行于△ABC的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比例．

在黑板上画出图5-14，观察其特点：

l4与l5的交点A在直线l2上，

平行于△ABC的边BC的直线DE截边BA、CA的延长线，所以对应线段成比例．

综上所述，可以得到：

推论：

（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

此推论是判定三角形相似的基础．

关于推论中“或两边的延长线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延长线，如果已知△ABC，DE是截线，这个推论包含了图5－16的各种情况．

这个推论不包含图5-17的情况．

后者，教学中如学生不提起，可不必向学生交待．

（考虑改用投影仪或小黑板）

例　3已知：

如图5-18，DE∥BC，AB=15，AC=9，BD＝4，求：

AE．

教材上采用了先求CE再求AE的方法，建议在列比例式时，把CE

让学生思考，是否可直接求出AE（找学生板演）．

（1）知道推论的探索方法．

（2）重点是推论的正确运用．

教材P．212中1、3．

（补例）已知：

如图5-19，在△APM中AM∥BN，CM∥DN．

求证：

PA∶PB=PC∶PD．

教师通过此题的讲解，初步培养学生类比两线段相等的情况，利用中间比证明两个比相等．

（1）教材P．212中2．

（2）教材P．218中A组9．

（3）选作教材P．219中B组1．

平行线分线段成比例定理（第三课时）

1．使学生掌握三角形一边平行线的判定定理，并会用其进行有关的论证和计算．

2．初步渗透和培养学生用同一法证题的数学思想，但教学中不必讲同一法这一概念．

1．重点是让学生理解和会运用这个定理．

2．难点是定理的探讨所采用的方法，这里只要求学生了解即可．

3．疑点是定理中关于“或两边的延长线”的情况，这在上节课已涉及过，这里从略．

另外，在定理的探索过程中，介绍了利用比例证明线段相等的方法以及利用中间比求证比例相等的方法．这些方法很重要，应让学生掌握．

四、教学过程

1．什么是三角形一边平行线的性质定理？

2．找学生试述提问1的逆命题．

（如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边）

刚才提问2中的逆命题是否是真命题呢？

下面我们来探讨一下：

（其实，在四边形一章里，我们学过的“三角形中位线定理”是这一

一般地：

过D点作DE′∥BC，交AC于点E′．

∴AE=AE′．

即：

直线DE′与直线DE重合

∴DE∥BC．

如果D、E分别是△ABC的两边延长线（指在第三边同一侧的延长

这里介绍了利用比例证两条线段相等的方法，教学中教师要把这种方法介绍给学生，让学生掌握．

则：

a=b

反之亦然．

定理（三角形一边平行线的判定定理）：

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．

说明：

如图5-21，①三角形被截的两边与所截得的四条线段，共六条线段（AB、AC、AD、BD、AE、CE）只要满足六个比例中其中一个，就可得出平行的结论．

②所列比例与横线段无关．

例4　求证：

见图5-22，

证明：

（略）．

如有时间，可补充一个例题：

已知：

如图5-23，在四边形ABCD中，E、C、H、F分别是AB、

通过补例的讲解，解决学生在做作业过程中可能遇到的利用“中间比”求比例的困难．

（1）三角形一边平行线的判定定理的导出与应用．

（2）重点掌握利用比例证线段相等的方法以及利用中间比介绍的方法证两个比相等．

教材P．214．

教材P．218中A组5、6（第一问）．

补充作业（选作）：

如图5-24，A、C、E和B、F、D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED、BC∥FE．

AF∥CD．

观察能力：

（五）板书设计（供参考）

平行线分线段成比例定理（第四课时）

1．使学生掌握分已知线段成已知比的作图问题．

2．使学生掌握例6定理的证明及使用．

3．通过例6的教学，使学生进一步巩固“平移”的教学思想．

1．重点是定理的证明与应用．

2．难点是定理证明中平移思想的使用，实际上它是将所要研究的线段中与其他线段关系不明显的线段平移到关系较明显的线段上去．

3．疑点是分线段成已知比，分点一定要在已知线段上，否则这样的点有无数个，这个要告诉学生．另外，要让学生分清平行线分线段成比例定理的推论与本节例6定理的区别．本节定理比例式与横线段有关，实际上，此定理包含了推论，是推论的扩充．

新授课．

平行线分线段成比例定理的推论是什么？

（多人次背诵）

给合图形，写出六个比例式）

例5　已知线段PQ，在PQ上求作点D，使PD∶DQ=2∶1．

如图5-25线段PQ，

求作：

在线段PQ上一点D，使PD∶DQ=2∶1．

作法：

强调点D在线段PQ上，否则这样的点有无数个，作图时要注意保留作图痕迹．

关于教材P．217“想一想”，供学有余力的同学课后完成．

例6　三角形一边的平行线的性质：

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例．

如图5-26，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．

教材上的分析很好，教师在教学中要结合本节已学过的定理，启发学生为什么要把DE“平移”到BC上，即添加辅助线的必然性和合理性．另外，证题过程中的“DE=FC”，也可由“夹在两条平行线间的平行线段相等”得到

（1）例6证明了一个常用的命题，可以作为定理使用．

（2）平行线截三角形两边延长线时，定理也正确（作为课后练习）．（可看成直线BC截△ADE两边如图5-27）（在AB或延长线上截AF=AD，过点F作FG∥ED，交AC或延长线于G，易证△ADE≌△AFG，如图5-27）

（3）注意此定理与前面推论的区别，这里比例与横线段有关，实际上此定理包含了推论，是推论的扩充，它也为以后证三角形相似的判定作了准备．

（1）学习了分已知线段成已知比的作图，要求掌握．

（2）重点学习了例6定理的证题思路及有关注意的问题．

教材P．216中1、2、3．

通过练习3，从反方面巩固了本节所学定理，很重要的练习教师可制作小卡片，再多写几个比例式，让学生进行判断．

教材P．218中A组4、6（第二问）、7、8．

选作：

教材P．219中B组2（教师提示）．

（五）板书设计（略）