全程复习方略学年高中数学人教A版必修四作业单元质量评估2 第二章平面向量Word格式.docx

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兰州高一检测）若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为　（　　）

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

8.已知△ABC满足2=·

+·

，则△ABC是　（　　）

A.等边三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

9.（2013·

西城高一检测）在矩形ABCD中，AB=，BC=1，E是CD上一点，且·

=1，则·

的值为　（　　）

A.3B.2C.D.

10.已知向量a=（1，2），b=（2，-3）.若向量c满足（c+a）∥b，c⊥（a+b），则c=

　（　　）

A.B.

C.D.

11.（2013·

六安高一检测）△ABC中，AB边上的高为CD，若=a，=b，a·

b=0，|a|=1，|b|=2，则=　（　　）

A.a-bB.a-b

C.a-bD.a-b

12.在△ABC所在平面内有一点P，如果++=，则△PAB与△ABC的面积之比是　（　　）

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）

13.已知a=（2，4），b=（-1，-3），则|3a+2b|=　　　　.

14.已知向量a=（1，），b=（-2，2），则a与b的夹角是　　　　.

15.（2013·

江西高考）设e1，e2为单位向量.且e1，e2的夹角为，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b方向上的射影为　　　　　.

16.（2013·

武汉高一检测）下列命题中：

①a∥b存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；

②e为单位向量，且a∥e，则a=±

|a|e；

③|a·

a·

a|=|a|3；

④a与b共线，b与c共线，则a与c共线；

⑤若a·

b=b·

c且b≠0，则a=c.

其中正确命题的序号是　　　　.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°

，CD=DA=AB.

求证：

AC⊥BC.

18.（12分）（2013·

无锡高一检测）设=（2，-1），=（3，0），=（m，3）.

（1）当m=8时，将用和表示.

（2）若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件.

19.（12分）在边长为1的等边三角形ABC中，设=2，=3.

（1）用向量，作为基底表示向量.

（2）求·

.

20.（12分）（2013·

唐山高一检测）已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2）.

（1）若|b|=2，且a∥b，求b的坐标.

（2）若|c|=，且2a+c与4a-3c垂直，求a与c的夹角θ.

21.（12分）（能力挑战题）已知a=（1，cosx），b=（，sinx），x∈（0，π）.

（1）若a∥b，求的值.

（2）若a⊥b，求sinx-cosx的值.

22.（12分）（能力挑战题）已知向量a，b满足|a|=|b|=1，

|ka+b|=|a-kb|（k>

0，k∈R）.

（1）求a·

b关于k的解析式f（k）.

（2）若a∥b，求实数k的值.

（3）求向量a与b夹角的最大值.

答案解析

1.【解析】选D.-+-

=+-=-=0.

2.【解析】选B.因为a，b都是单位向量，

所以|a|=|b|=1，所以|a|2=|b|2，即a2=b2.

3.【解析】选B.因为n·

=n·

（-）

-n·

，

又n·

=（1，-1）·

（1，1）=1-1=0，

所以n·

=2.

4.【解析】选C.由=知，||∶||=2∶3，且方向相反（如图所示），

所以=-，所以λ=-.

5.【解析】选A.因为a=（1，2），b=（-3，0），

所以2a+b=（-1，4），a-mb=（1+3m，2），

又因为（2a+b）∥（a-mb），

所以（-1）×

2=4（1+3m），

解得m=-.

【拓展提升】证明共线（或平行）问题的主要依据

（1）对于向量a，b，若存在实数λ，使得b=λa，则向量a与b共线（平行）.

（2）a=（x1，y1），b=（x2，y2），若x1y2-x2y1=0，则向量a∥b.

（3）对于向量a，b，若|a·

b|=|a|·

|b|，则a与b共线.

向量平行的等价条件有两种形式，其一是共线定理，其二是共线定理的坐标形式.其中，共线定理的坐标形式更具有普遍性，不必考虑向量是否为零和引入参数的存在性及唯一性.

6.【解析】选C.a·

c=[（a+b）-b]·

c=（a+b）·

c-b·

c.

因为a+b=（1，2），c=（-3，-4），且b⊥c，

所以a·

c

=（1，2）·

（-3，-4）=1×

（-3）+2×

（-4）=-11，

所以a在c方向上的投影是==-.

7.【解析】选C.因为c=a+b，c⊥a，

所以c·

a=（a+b）·

a=a2+b·

a=0，

b=-a2=-|a|2=-12=-1，

设向量a与b的夹角为θ，

则cosθ===-，

又0°

≤θ≤180°

所以θ=120°

8.【解析】选C.因为=·

所以2=·

所以·

（--）=·

（-）=·

=0，所以⊥，

所以△ABC是直角三角形.

【变式备选】在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为　（　　）

A.平行四边形B.矩形

C.梯形D.菱形

【解析】选C.因为=++=-8a-2b=2，

所以四边形ABCD为梯形.

9.【解析】选B.如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

A（0，0），B（，0），C（，1），

设点E坐标为（x，1），

则=（x，1），=（，0），

=（x，1）·

（，0）=x=1，x=，

=·

（，1）=×

+1×

1=2.

10.【解析】选D.设c=（x，y），则c+a=（x+1，y+2），

a+b=（1，2）+（2，-3）=，

因为（c+a）∥b，c⊥（a+b），

所以即

解得

所以c=.

【误区警示】解答本题易混淆向量平行和垂直的坐标表示，导致计算错误.

11.【解析】选D.因为a·

b=0，所以⊥，

所以AB==，

又因为CD⊥AB，

所以△ACD∽△ABC，

所以=，所以AD===，

所以==

=（a-b）=a-b.

12.【解题指南】先对++=进行变形，分析点P所在的位置，然后结合三角形面积公式分析△PAB与△ABC的面积的关系.

【解析】选A.因为++==-，

所以2+=0，=-2=2，

所以点P是线段AC的三等分点（如图所示）.

所以△PAB与△ABC的面积之比是.

13.【解析】因为3a+2b=3（2，4）+2（-1，-3）

=（6，12）+（-2，-6）=（4，6），

所以|3a+2b|==2.

答案：

2

14.【解析】设a与b的夹角为θ，

b=（1，）·

（-2，2）=1×

（-2）+×

2=4，

|a|==2，|b|==4，

所以cosθ===，又0°

所以θ=60°

60°

15.【解析】设a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=|a|=，而a·

b=（e1+3e2）·

2e1=2+6cos=5，|b|=2，所以所求射影为.

16.【解析】①错误.a∥b且a≠0存在唯一的实数λ∈R，使得b=λa；

②正确.e为单位向量，且a∥e，则a=±

③正确.===；

④错误.当b=0时，a与b共线，b与c共线，则a与c不一定共线；

⑤错误.只要a，c在b方向上的投影相等，就有a·

②③

17.【证明】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，

设AD=1，则A（0，0），B（2，0），

C（1，1），D（0，1），

所以=（-1，1），=（1，1），

·

=-1×

1+1×

1=0，

所以AC⊥BC.

18.【解析】

（1）当m=8时，=（8，3），设

=x+y，则

（8，3）=x（2，-1）+y（3，0）=（2x+3y，-x），

所以所以　

所以=-3+.

（2）因为A，B，C三点能构成三角形，

所以，不共线，

=（1，1），=（m-2，4），

所以1×

4-1×

（m-2）≠0，所以m≠6.

19.【解析】

（1）=+=-+.

（2）·

（-+）

（-）+·

=||·

||cos150°

+||·

||cos30°

=×

1×

+×

×

=-.

20.【解析】

（1）设b=（x，y），

因为a∥b，所以y=2x；

①

又因为|b|=2，所以x2+y2=20；

②

由①②联立，

解得b=（2，4）或b=（-2，-4）.　

（2）由已知（2a+c）⊥（4a-3c），

（2a+c）·

（4a-3c）=8a2-3c2-2a·

c=0，

又|a|=，|c|=，

解得a·

c=5，

所以cosθ==，θ∈[0，π]，

所以a与c的夹角θ=.

21.【解题指南】一方面要正确利用向量平行与垂直的坐标表示，另一方面要注意同角三角函数关系的应用.

【解析】

（1）因为a∥b，

所以sinx=cosx⇒tanx=，

所以===-2.

（2）因为a⊥b，

所以+sinxcosx=0⇒sinxcosx=-，

所以（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx=.

又因为x∈（0，π）且sinxcosx<

0，

所以x∈⇒sinx-cosx>

所以sinx-cosx=.

22.【解题指南】

（1）先利用a2=|a|2，将已知条件两边平方，然后根据数量积定义和运算律化简、变形求f.

（2）先根据k>

0和a∥b，判断a与b同向，再利用数量积的定义列方程求k的值.

（3）先用求向量a与b夹角的公式表示出夹角的余弦值，再利用配方法求余弦值的最小值，最后根据余弦函数的单调性求夹角的最大值.

（1）由已知|ka+b|=|a-kb|

有|ka+b|2=（|a-kb|）2，

k2a2+2ka·

b+b2=3a2-6ka·

b+3k2b2.

又因为|a|=|b|=1，得8ka·

b=2k2+2，

b=即f（k）=（k>

0）.

（2）因为a