高三数学解答题难题突破 利用代数运算探究图形的性质Word文档下载推荐.docx

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类型二四边形形状探究

例2.【2015高考新课标2，理20】已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．

（Ⅰ）证明：

直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？

若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．

．解得，．因为，，，所以当的斜率为

或时，四边形为平行四边形．

类型三探究角是否相等

例3【2015高考北京，理19】已知椭圆：

的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．

（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；

（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：

轴上是否存在点，使得？

若存在，求点的坐标；

若不存在，说明理由．

），则，存在点使得.

类型四探究两直线的位置关系

例4.【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？

说明理由；

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

【扩展链接】

1.给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角；

2.给出,等于已知是的平分线；

3.在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

4.在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

5.已知抛物线方程为，定点M，直线过点M交抛物线于A，B两点，，则有；

【同步训练】

1．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？

若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

【思路点拨】

（1）设出P的坐标，利用|OP|的值求得x0和y0的关系式，同时利用求得x0和y0的另一关系式，进而求得c，通过椭圆的离心率求得a，最后利用a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．

（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），则可利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则可表示出，利用=0求得m的值．

假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则．

=

由假设得对于任意的恒成立，

即解得m=1．

因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，

点M的坐标为（0，1）

2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N；

（2）以MN为直径的圆是否经过定点？

若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由．

（1）由题意可设椭圆标准方程，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；

（2）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±

2，0）．

AE所在直线方程为，取x=0，得y=，

∴M（0，）．

则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），

半径r=，

3.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若△F1AB的周长为8．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l的斜率不为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；

（3）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？

若存在，求出m的值；

若不存在，请说明理由．

（1）由椭圆的性质可知：

4a=8，e==及b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；

（2）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x1+x2及x1•x2，根据中点坐标公式，求得P点坐标，求得直线PQ方程，令x=0，yQ=∈[﹣，0）∪（0，]，即可求得Q的纵坐标的范围；

（3）假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，+=0，由（Ⅱ）可知，代入即可求得m的值．

【详细解析】

4a=8，a=2，

e==，c=1，

b2=a2﹣c2=4﹣1=3，b=，

∴椭圆的方程；

（3）存在m=4，

假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，kMA+kMB=0，

即+=0，

k（x1﹣1）（x2﹣m）+k（x2﹣1）（x1﹣m）=0，

∴2x1•x2﹣（m+1）（x1+x2）+2m=0，

∴8k2﹣24﹣8k2m﹣8k2+6m+8mk2=0，

解得：

m=4．

4.已知圆E：

（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q

（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；

（2）若直线y=k（x﹣1）与

（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？

说明理由．

（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；

（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）．

（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．

设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，

得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，

由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），

故kTS+kTR=0即②，

由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，

故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，

即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，

将①代入③，即有：

④，

要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，

综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．

5.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4．

（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：

x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？

证明你的结论．

（1）由题意列关于a，b，c的方程，联立方程组求得a2=4，b2=3，c2=1，则椭圆方程可求；

（2）设P（x0，2）（x0≠0），当x0=时和x0=﹣时，求出A的坐标，代入椭圆方程验证知，A在椭圆上，当x0≠±

时，求出过点O且垂直于0P的直线与椭圆的交点，写出该交点与P点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A在椭圆C上．

PA1所在直线方程为（2+x0）x﹣（x0﹣6）y﹣x02﹣12=0．

此时原点O到该直线的距离d==，

∴说明A点在椭圆C上；

同理说明另一种情况的A也在椭圆C上．

综上可得，点A在椭圆C上．

另解：

设切点为（x0，y0），由圆上一点的切线方程可得

切线l的方程为x0x+y0y=3，代入y=2，可得x=，

即有P（，2），kOP=，

与OP垂直的直线，且过O的直线为y=x，

代入x0x+y0y=3，结合x02+y02=3，可得x=，

y=，

即为A（，），

由3（）2+4（）2==12，

则点A在椭圆C上．

6.已知椭圆E过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=，∠F1AF2的平分线所在直线为l．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设l与x轴的交点为Q，求点Q的坐标及直线l的方程；

（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？

若存在，请找出；

（1）设出椭圆方程，根据椭圆E经过点A（2，3），离心率，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；

（2）求得AF1方程、AF2方程，利用角平分线性质，即可求得∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；

（3）假设存在B（x1，y1）C（x2，y2）两点关于直线l对称，设出直线BC方程代入椭圆E的方程，求得BC中点代入直线2x﹣y﹣1=0上，即可得到结论．

7.）如图，已知F1、F2是椭圆G：

的左、右焦点，直线l：

y=k（x+1）经过左焦点F1，且与椭圆G交于A、B两点，△ABF2的周长为．

（1）求椭圆G的标准方程；

（2）是否存在直线l，使得△ABF2为等腰直角三角形？

若存在，求出直线l的方程；

（1）由题意可知：

c=1，4a=4，b2=a2﹣c2=3﹣1=2．即可求得椭圆方程；

（2）分类讨论，假设|AF2|=|BF2|，利用作差法，即可求得x1+x2=6．（与x1≤，x2≤，x1+x2≤2＜6，矛盾），将直线方程代入椭圆方程由韦达定理：

=6，矛盾．故|AF2|≠|BF2|．再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰．由勾股定理得：

，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．

（2）不存在．理由如下：

先用反证法证明AB不可能为底边，即|AF2|≠|BF2|．

由题意知F2（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），假设|AF2|=|BF2|，

则，

又，，代入上式，消去，得：

（x1﹣x2）（x1+x2﹣6）=0．

因为直线l斜率存在，所以直线l不垂直于x轴，所以x1≠x2，故x1+x2=6（与x1≤，x2≤，x1+x2≤2＜6，矛盾）．

联立方程，得：

（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，

所以=6，矛盾．

故|AF2|≠|BF2|．

再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰．

假设△ABF2为等腰直角三角形，不妨设A为直角顶点．

设|AF1|=m，则，

在△AF1F2中，由勾股定理得：

，此方程无解．

故不存在这样的等腰直角三角形．

8.已知椭圆C：

+=1（a＞b＞0）经过点（，1