届《步步高》高考数学大一轮总复习人教新课标文科配套学案16 定积分及其简单的应用Word文档格式.docx
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g(x)>
0时,由直线x=a,x=b(a≠b)和曲线y=f(x),y=g(x)围成的平面图形的面积S=______________________.
(4)若f(x)是偶函数,则ʃf(x)dx=2ʃf(x)dx;
若f(x)是奇函数,则ʃf(x)dx=0.
5.定积分在物理中的应用
(1)匀变速运动的路程公式
做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a,b]上的定积分,即________________________.
(2)变力做功公式
一物体在变力F(x)(单位:
N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与F相同的方向从x=a移动到x=b(a<
b)(单位:
m),则力F所做的功W=__________________________.
自我检测
1.计算定积分ʃ3xdx的值为( )
A.B.75
C.D.25
2.定积分ʃ[-x]dx等于( )
A.B.-1
C.D.
3.如右图所示,阴影部分的面积是( )
A.2B.2-
C.D.
4.(2010·
湖南)ʃdx等于( )
A.-2ln2B.2ln2
C.-ln2D.ln2
5.若由曲线y=x2+k2与直线y=2kx及y轴所围成的平面图形的面积S=9,则k=________.
探究点一 求定积分的值
例1 计算下列定积分:
(1);
(2);
(3)ʃ(2sinx-3ex+2)dx;
(4)ʃ|x2-1|dx.
变式迁移1 计算下列定积分:
(1)ʃ|sinx|dx;
(2)ʃsin2xdx.
探究点二 求曲线围成的面积
例2 计算由抛物线y=x2和y=3-(x-1)2所围成的平面图形的面积S.
变式迁移2 计算曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围图形的面积.
探究点三 定积分在物理中的应用
例3 一辆汽车的速度-时间曲线如图所示,求此汽车在这1min内所行驶的路程.
变式迁移3 A、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车开出ts后到达途中C点,这一段速度为1.2tm/s,到C点时速度达24m/s,从C点到B点前的D点以匀速行驶,从D点开始刹车,经ts后,速度为(24-1.2t)m/s,在B点恰好停车,试求:
(1)A、C间的距离;
(2)B、D间的距离;
(3)电车从A站到B站所需的时间.
函数思想的应用
例 (12分)在区间[0,1]上给定曲线y=x2.试在此区间内确定点t的值,使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小,并求最小值.
【答题模板】
解 S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t所围成的面积,即S1=t·
t2-ʃx2dx=t3.[2分]
S2的面积等于曲线y=x2与x轴,x=t,x=1围成的面积去掉矩形面积,矩形边长分别为t2,1-t,即S2=ʃx2dx-t2(1-t)=t3-t2+.[4分]
所以阴影部分面积S=S1+S2=t3-t2+(0≤t≤1).[6分]
令S′(t)=4t2-2t=4t=0时,得t=0或t=.[8分]
t=0时,S=;
t=时,S=;
t=1时,S=.[10分]
所以当t=时,S最小,且最小值为.[12分]
【突破思维障碍】
本题既不是直接求曲边梯形面积问题,也不是直接求函数的最小值问题,而是先利用定积分求出面积的和,然后利用导数的知识求面积和的最小值,难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中,突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识.
1.定积分ʃf(x)dx的几何意义就是表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积;
反过来,如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值,如ʃdx=π(半径为2的个圆的面积),ʃdx=2π.
2.运用定积分的性质可以化简定积分计算,也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差.
3.计算一些简单的定积分问题,解题步骤是:
第一步,把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差;
第二步,把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;
第三步,分别用求导公式找到一个相应的使F′(x)=f(x)的F(x);
第四步,再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值.
(满分:
75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列值等于1的积分是( )
A.ʃxdxB.ʃ(x+1)dx
C.ʃdxD.ʃ1dx
2.(2011·
汕头模拟)设函数f(x)=则ʃf(x)dx等于( )
A.B.
C.6D.17
3.已知f(x)为偶函数且ʃf(x)dx=8,则ʃf(x)dx等于( )
A.0B.4C.8D.16
4.(2011·
深圳模拟)曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面区域的面积为( )
A.ʃ0(sinx-cosx)dx
B.2ʃ0(sinx-cosx)dx
C.ʃ0(cosx-sinx)dx
D.2ʃ0(cosx-sinx)dx
5.(2011·
临渭区高三调研)函数f(x)=ʃt(t-4)dt在[-1,5]上( )
A.有最大值0,无最小值
B.有最大值0,最小值-
C.有最小值-,无最大值
D.既无最大值也无最小值
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.若1N的力使弹簧伸长2cm,则使弹簧伸长12cm时克服弹力做的功为__________J.
7.ʃ(2xk+1)dx=2,则k=________.
8.(2010·
山东实验中学高三三诊)若f(x)在R上可导,f(x)=x2+2f′
(2)x+3,则ʃf(x)dx=________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)计算以下定积分:
(1)ʃdx;
(2)ʃ2dx;
(3)ʃ0(sinx-sin2x)dx;
(4)ʃ|3-2x|dx.
10.(12分)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x-2.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
11.(14分)求曲线y=ex-1与直线x=-ln2,y=e-1所围成的平面图形的面积.
答案自主梳理
1.x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x) 面积
2.
(1)kʃf(x)dx
(2)ʃf1(x)dx±
ʃf2(x)dx(3)ʃf(x)dx+ʃf(x)dx(其中a<
c<
b)
3.微积分基本定理 F(x)| 4.
(1)ʃf(x)dx
(2)-ʃf(x)dx(3)ʃ[f(x)-g(x)]dx
5.
(1)s=ʃv(t)dt
(2)ʃF(x)dx
1.A 2.A 3.C 4.D
5.±
解析 由
得(x-k)2=0,
即x=k,
所以直线与曲线相切,如图所示,
当k>
0时,S=ʃ(x2+k2-2kx)dx
=ʃ(x-k)2dx=(x-k)3|=0-(-k)3=,
由题意知=9,∴k=3.
由图象的对称性可知k=-3也满足题意,故k=±
3.
课堂活动区
例1 解题导引
(1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数.
①分段函数在区间[a,b]上的积分可分成几段积分的和的形式.
②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,按照原函数分段的情况分即可,无需分得过细.
(2)f(x)是偶函数,且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续,则ʃf(x)dx=2ʃf(x)dx.
解
(1)ʃdx
=ʃxdx+ʃdx+ʃdx
=x2|+lnx|-|
=(e2-1)+(lne-ln1)-
=e2-+.
(2)ʃ0(sinx-2cosx)dx
=ʃ0sinxdx-2ʃ0cosxdx
=(-cosx)|0-2sinx|0
=-cos-(-cos0)-2
=-1.
(3)ʃ(2sinx-3ex+2)dx
=2ʃsinxdx-3ʃexdx+ʃ2dx
=2(-cosx)|-3ex|+2x|
=2[(-cosπ)-(-cos0)]-3(eπ-e0)+2(π-0)
=7-3eπ+2π.
(4)∵0≤x≤2,
于是|x2-1|=
∴ʃ|x2-1|dx=ʃ(1-x2)dx+ʃ(x2-1)dx
=|+|=2.
变式迁移1 解
(1)∵(-cosx)′=sinx,
∴ʃ|sinx|dx=ʃ|sinx|dx+ʃ|sinx|dx
=ʃsinxdx-ʃsinxdx
=-cosx|+cosx|
=-(cosπ-cos0)+(cos2π-cosπ)=4.
(2)ʃsin2xdx=ʃdx
=ʃdx-ʃcos2xdx
=x|-|
=-
=.
例2 解题导引 求曲线围成的面积的一般步骤为:
(1)作出曲线的图象,确定所要求的面积;
(2)联立方程解出交点坐标;
(3)用定积分表示所求的面积;
(4)求出定积分的值.
解 作出函数y=x2和y=3-(x-1)2的图象(如图