全国通用高考推荐高三数学《不等式与函数数列交汇》专题突破提升练3通用版文档格式.docx
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.又f(x)=lnx(x>
0)为增函数,所以f>
f(),即q>
p.又r=(f(a)+f(b))=(lna+lnb)=ln=p.
【答案】 B
2.(2015·
四川高考)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为( )
A.16 B.18C.25 D.
【解析】 ①当m=2时,∵f(x)在上单调递减,
∴0≤n<
8,mn=2n<
16.
②当m≠2时,函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)的对称轴方程为x=-.
a.当m>
2时,抛物线开口向上,∵f(x)在上单调递减,∴-≥2,即2m+n≤12.又2m+n≥2,∴2≤12,∴mn≤18.当2m=n=6,即m=3,n=6时取等号,∴mn的最大值为18.
b.当m<
2时,抛物线开口向下,∵f(x)在上单调递减,∴-≤,即m+2n≤18,即n≤9-m.又∵0≤m<
2,n≥0,∴mn≤9m-m2=-(m-9)2+<
-(2-9)2+=16.
综上所述,mn的最大值为18,故选B.
3.定义在R上的函数f(x)满足f(3)=1,f(-2)=3,f′(x)为f(x)的导函数,已知y=f′(x)的图象如图1所示,且f′(x)有且只有一个零点,若非负实数a,b满足f(2a+b)≤1,f(-a-2b)≤3,则的取值范围为( )
图1
A.∪[3,+∞)
B.
C.(-∞,3]
D.
【解析】 由y=f′(x)的图象可知,当x∈(-∞,0)时,y=f(x)为减函数,
当x∈(0,+∞)时,y=f(x)为增函数,所以f(2a+b)≤1可转化为f(2a+b)≤f(3),即2a+b≤3,f(-a-2b)≤3可转化为f(-a-2b)≤f(-2),即-a-2b≥-2,a+2b≤2,因此实数a,b满足画出所表示的平面区域,如图阴影部分所示,而表示阴影区域内的任意一点(a,b)与点M(-1,-2)连线的斜率,由图可知max=kMA==3,min=kMB==,故的取值范围为.故选D.
【答案】 D
4.(2015·
临沂二模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为减函数,若f+f-2f
(1)>0,则的取值范围是( )
A.(e,+∞)B.[2,e)
C.D.
【解析】 由于ln=-ln且函数f(x)为偶函数,故f+f-2f
(1)=2f-2f
(1)>0,即f>f
(1).又f=f>f
(1),所以<1,即<<e.又=+,令=t得g(t)=t+,易知函数g(x)在上单调递减,在[1,e)上单调递增,故g(t)min=g
(1)=2,g(t)<g(e)=e+,故选D.
5.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.
【解析】 ∵f(x)=x2+ax+b的值域为[0,+∞),
∴Δ=0,即a2-4b=0,∴b-=0,
∴f(x)=x2+ax+a2=2.
又∵f(x)<c的解集为(m,m+6),
∴m,m+6是方程x2+ax+-c=0的两根.由一元二次方程根与系数的关系得解得c=9.
【答案】 9
6.(2015·
云南一检)已知函数f(x)=lnx-.
(1)求证:
f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
(2)若f[x(3x-2)]<-,求实数x的取值范围.
【解】
(1)证明:
由已知得f(x)的定义域为(0,+∞).
∵f(x)=lnx-,
∴f′(x)=-=.
∵x>0,∴4x2+3x+1>0,x(1+2x)2>0,
∴当x>0时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)∵f(x)=lnx-,∴f
(1)=ln1-=-.
由f[x(3x-2)]<-得f[x(3x-2)]<f
(1).
由
(1)得解得-<x<0或<x<1,
∴实数x的取值范围为∪.
命题点二 数列与不等式交汇
选择、解答题
命题指数★★
中
北京高考)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( )
A.若a1+a2>
0,则a2+a3>
B.若a1+a3<
0,则a1+a2<
C.若0<
a1<
a2,则a2>
D.若a1<
0,则(a2-a1)(a2-a3)>
0
【解析】 设等差数列{an}的公差为d,若a1+a2>
0,a2+a3=a1+d+a2+d=(a1+a2)+2d,由于d正负不确定,因而a2+a3符号不确定,故选项A错;
若a1+a3<
0,a1+a2=a1+a3-d=(a1+a3)-d,由于d正负不确定,因而a1+a2符号不确定,故选项B错;
若0<
a2,可知a1>
0,d>
0,a2>
0,a3>
0,∴a-a1a3=(a1+d)2-a1(a1+2d)=d2>
0,∴a2>
,故选项C正确;
若a1<
0,则(a2-a1)(a2-a3)=d·
(-d)=-d2≤0,故选项D错.
【答案】 C
大连双基测试)数列{an}满足an-an+1=an·
an+1(n∈N*),数列{bn}满足bn=,且b1+b2+…+b9=90,则b4·
b6( )
A.最大值为99B.为定值99
C.最大值为100D.最大值为200
【解析】 将an-an+1=anan+1两边同时除以anan+1,可得-=1,即bn+1-bn=1,所以{bn}是公差d=1的等差数列,其前9项和为=90,所以b1+b9=20,所以b4·
b6≤2=2=100,当且仅当b4=b6时等号成立.
3.(2015·
邢台模拟)已知正项等比数列{an}满足S3-3a1-2a2=0,若存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值是( )
A.9 B.C. D.
【解析】 依题意,设等比数列{an}的公比为q(其中q>0),则有a3-a2-2a1=0,--2=0,即q2-q-2=0,(q-2)(q+1)=0,又q>0,因此q=2.由=4a1得a·
2m+n-2=16a>0,m+n=6(其中m,n∈N*),因此①此时+=;
②此时+=;
③此时+=;
④此时+=;
⑤此时+=.综上所述,+的最小值是,选C.
湖北八市联考)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn为数列的前n项和,若Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立,求实数λ的最小值.
【解】
(1)设公差为d.
由已知得
解得d=1或d=0(舍去),∴a1=2,故an=n+1.
(2)∵==-,
∴Tn=-+-+…+-=.
∵Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立,即≤λ(n+2)对∀n∈N*恒成立,
∴=≤=(当且仅当n=2时等号成立),
∴λ的最小值为.
5.(2015·
山师大附中模拟)数列{an}的通项an是关于x的不等式x2-x<nx的解集中正整数的个数,f(n)=++…+.
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Sn;
(3)求证:
对n≥2且n∈N*恒有≤f(n)<1.
【解】
(1)x2-x<nx等价于x(x-n-1)<0,解得x∈(0,n+1).
其中有正整数n个,于是an=n.
(2)bn==n·
n,
Sn=b1+b2+…+bn=1×
+2×
2+…+n×
Sn=1×
2+2×
3+…+n×
n+1,
两式相减得
Sn=+2+3+…+n-n×
n+1
=1-n-n×
故Sn=2-n-1-n×
n.
(3)证明:
f(n)=++…+
=++…+
<++…+=1.
由f(n)=++…+
=++…+,
知f(n+1)=++…+++
于是f(n+1)-f(n)=+->+-=0,
故f(n+1)>f(n),
∴当n≥2且n∈N*时f(n)为增函数,∴f(n)≥f
(2)=.
综上可知,对n≥2且n∈N*恒有≤f(n)<1.
命题点三 函数与数列交汇
1.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”,现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:
①f(x)=x2;
②f(x)=2x;
③f(x)=;
④f(x)=ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )
A.①②B.③④
C.①③D.②④
【解析】 不妨令an=2n.
①因为f(x)=x2,所以f(an)=4n.显然{f(2n)}是首项为4,公比为4的等比数列;
②因为f(x)=2x,所以f(a1)=f
(2)=22,f(a2)=f(4)=24,
f(a3)=f(8)=28,所以==4≠==16,所以{f(an)}不是等比数列;
③因为f(x)=,所以f(an)==()n.
显然{f(an)}是首项为,公比为的等比数列;
④因为f(x)=ln|x|,所以f(an)=ln2n=nln2.显然{f(an)}是首项为ln2,公差为ln2的等差数列.故应选C.
郑州模拟)已知函数f(x)=(a>0,a≠1).数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是单调递增数列,则实数a的取值范围是.
【解析】 ∵{an}是单调递增数列,
∴得
∴4<a<8.
【答案】 (4,8)
3.已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足=ax,且f′(x)g(x)<f(x)g′(x),+=,若有穷数列(n∈N*)的前n项和为,则n=.
【解析】 根据题意得′=,因为f′(x)g(x)<f(x)g′(x),
所以′=<0,即函数=ax单调递减,所以0<a<1.
又+=,即a+a-1=,即a+=,解得a=2(舍去)或a=.所以=x,
即数列为首项为a1=,公比q=的等比数列,
所以Sn==×
=1-n,由1-n=,得n=,解得n=5.
【答案】 5
4.定义函数f(x)={x·
{x}},其中{x}表示不小于x的最小整数,如{1.4}=2,{-2.3}=-2.当x∈(0,n](n∈N*)时,函数f(x)的值域为An,记集合An中元素的个数为an,则++…+=.
【解析】 由题意,a1=1,当x∈(n,n+1]时,{x}=n+1,x·
{x}∈(n2+n,n2+2n+1],{x·
{x}}的取值依次为n2+n+1,n2+n+2,…,n2+2n+1共n+1个,即an+1=an+n+1,由此可得an=1+2+3+…+n=,==2,所以++…+=2-.
【答案】 2-
5.(2013·
全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为.
【解析】 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由等差数列前n项和可得解得
∴nSn=n2a1+d=-3n2+(n3-n2)=n3-,∴(nSn)′=n2-,
令(nSn)′=0,解得n=0(舍去)或n=.
当n>时,nSn是单调递增的;
当0<n<时,nSn是单调递减的,故当n=7时