盈不足术算法的应用及影响文档格式.docx

盈不足术算法的应用及影响文档格式.docx

《盈不足术算法的应用及影响文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《盈不足术算法的应用及影响文档格式.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

Keywords:

Insufficiency;

Algorithm;

Application;

Effect;

Development

1研究背景与简介

1.1研究背景

我国古典数学名著《九章算术》第七章的章名即为“盈不足”，在这一章节中，有20例题，均以此法解出。

盈不足术算法，这种在数学史上及其原始的解题算法，自汉代以后，就很少被我国数学家们所看重了。

经过它流传到西方国家以后，迎来了盈不足术的辉煌的发展历程，甚至在世界数学史上拥有着荣光的地位。

并对后世数学的发展历程也产生了极重要的影响，在解决盈亏类问题的应用方面影响深远，其算法所蕴含的模型化方法、近似逼近的方法也在线性方程及非线性方程的教学研究方面都有着深刻的启迪作用和借鉴价值。

盈不足术算法的思想方法，经过多个数学史家们的研究，发现该算法所蕴含的思想方法在解答线性应用与非线性应用问题时所具有的广泛性与拓展性，不但为线性问题给出了精确解，且为非线性问题带来了近似解。

该算法思想中有假设检验也有推理分析，且十分注重演算程序化和模式化，这在古代算法中完全能够称得上是“万能”的解题方式了。

对盈不足术算法的应用及影响的研究，在正视我国古代数学的卓著的造诣方面是有相当重要的作用的，并且也可以捕捉到现今数学在解题思路方面的演进。

但在收集相关资料与文献时，发现以往历史中对于盈不足术方面的研究却呈碎片化，零散式。

导致后来人想要全面的系统的了解九章算术中“盈不足术”算法在古今影响与应用，便存在严重的信息碎片化问题。

本篇论文便是将零散化信息经过本人的理解与探索，主要采用文献研究法梳理一版较为完整的盈不足术算法的应用及其影响。

1.2盈不足术算法简介

中国古代，一种用来解决盈亏类问题的著名算法——盈不足术算法。

是中国古人独创的一种古老且先进的算法，在我国数学名著《九章算术》中的第七章，章名为“盈不足”。

九章算术的音义李既说：

“剩余是满的；

不足就是空的[2]。

空而满，以使其适合[1]。

”《九章算术》的盈不足章节，一共有20个实例，1-12例，为常规的此类问题，可概括为三种：

（1）盈、不足。

（2）两个盈、两个不足。

（3）充分和不足。

13-20例，并非常规性盈不足问题，但是在通过两次假设之后，便转化成了盈不足类型的问题，继而就可以直接用盈不足术算法的既有公式算出。

[2]

《九章算术》第七章中一例如下：

“今有（人）共买物：

人出八钱，盈三钱；

人出七钱；

不足四钱。

问人数，物价各几何。

[3]”这属于盈不足术算法中的典型案例，可以通过数学符号表示如下：

设每人出a1，盈或者不足b1,每人出a2,盈或者不足b2，其中在“盈”时，b1、b2>

0,“不足”时，b1、b2<

0。

[3]

便对此问题，古法“盈不足”给出了解题方式，设平均每人应出钱数x，人数p和物价q,代入下列公式计算：

可解出，人数p=7，物价q=53。

盈不足术算法作为中国数学史上的一项辉煌与不朽的创造，除了可以解决盈亏类问题，还能解决其他更为复杂的问题。

2盈不足术算法的应用

“盈不足术算法”作为我国历史上古老且独特的算法，对后世数学的发展产生了重要的影响，此算法不仅在解决盈亏类问题的应用中影响深远，其所蕴含的模型化方法、近似逼近的方法也在线性方程及非线性方程的教学研究方面都有着深刻的启迪作用和借鉴价值。

不仅在线性方程问题里能给出精确解，且在非线性问题里也能给出近似解。

2.1盈不足术算法在线性方程里的应用

根据盈不足术算法逻辑，经过许多数学史家们的研究后发现其思想方法在解答线性应用问题时的拓展性，可用此算法为线性问题得出精确解值。

其经典案例——契丹算法，其中的双设法在线性方程的解答中便可找到盈不足术算法的映射。

如《九章算术》“盈不足”章中的第19例：

“现有一匹良马和一匹驽马从长安出发到齐，长安距离齐有三千里地，良马第一天行了一百九十三里地，每天增加十三里，驽马第一天行了九十七里地，每天减去半地，良马首先到复还迎驽马，问几何日相逢及各行几何”[2]。

运用“盈不足术”算法可以解出：

良马和驽马可以遇到一起的所需要的天数为：

=15

契丹算法中的双设法:

斐波那契的《计算之书》被研究时，就有声音指出“双设法”就是“契丹算法”中的一种，且跟我国古代数学中的盈不足术算法思想类似。

但不能说双设法就是盈不足术算法，但盈不足术算法的模型化方法却在双设法中得以应用。

例如以《发赫里》第三部分中的第40题为例，我们分别设第一，第二，第三个人分得的财产数分别为x,y,z进行论证。

而后列出一组方程组如下所示：

第1次假设:

若第1人分得迪拉姆（x1）,第2人分得8个迪拉姆（y1=8）。

将y1=8代入

（1）,

（2）,（3）。

分别可以得出解z1=50-x1-y1=42-x1、z1=15-x1、z1=5+x1。

由上述z1得出的结果，可知x1=,z1=7。

此时x1+y1+z1=1945,x1,y1,z1的值不满足

（1）。

第2次假设:

若三者和是50,是正确结果。

再假设第1人分得x2,第2个人分得y2=12。

将y2=12代入

（2）、（3）,解得z2=30-x2,z2=+x2。

得x2=10,z2=12,此时x2+y2+z2=34,显然x2,y2,z2的值也不满足方程式

（1）。

以上,可设财产的总和为Σ,则Σ=50。

y1=8,Σ1=x1+y1+z1=；

y2=12,Σ2=x2+y2+z2=34。

两次假设中，第2人能够分得的迪拉姆相差:

Δy=y2-y1=4

三人相差:

ΔΣ=15,ΔΣ的值依赖于Δy的值。

比例关系:

得y=16。

再把y值代入方程式

（2）（3）,解得x=16,y=16,z=17。

且x+y+z=16+16+17=50,满足方程式

（1）,是线性方程组的解.

以上2个实例，均属于使用了两次假设的方法后，将一个不是典型的盈亏类问题转变为可以使用“盈不足术算法”来解决的应用题型。

在契丹算法里面使用到的双设法，同样也是运用了两次假设，得出线性方程的解。

这种模型化思想便是由盈不足术算法在契丹算法的双设法里对解线性方程组的映射与延伸。

2.2盈不足术算法在非线性方程中的应用

盈不足术算法不仅在解决盈亏类问题的应用中影响深远，在非线性方程领域里都有着卓越的启迪与借鉴价值。

此算法不但能为线性问题给出精确解，还可以为非线性问题带来了近似解。

一种运用逼近手段刻画出准确值的近似方法。

如《九章算术》中第七章的最后一题里,其大意概括如下:

有两只老鼠没日没夜地同时从同一堵有五尺厚的墙的两侧打洞。

第1天，两只老鼠都打了一尺。

第2天开始,大老鼠的速度每天加倍、小老鼠的速度每天减半。

问题是两只老鼠几天后可以相逢?

相逢时，两只老鼠各打了几尺的洞?

（如图3）

图2-1两鼠打洞

由题意,大鼠打洞:

1,2,22,23,·

·

小鼠打洞:

1,12,122,123,·

。

均等比关系,运用等比关系法则，可根据公式列出：

（-1）+（2-1/-1）=5、-2/=4。

以下为盈不足术算法解答思路:

设2天后可相逢，大鼠共打3尺洞,小鼠共打1尺5寸洞,共计4尺5寸,不足5寸；

若3天后两鼠相遇,大鼠共打7尺洞,小鼠共打洞1尺712寸,合计8尺712寸,盈（余）3尺712寸,由此建立模型为:

在有关代数方法，目前还未能被充分发展之际,盈不足术算法不失为解决非线性方程近似问题的一种有效方法[7]

2.3盈不足术算法在中小学数学教学中的应用

在我国古代的“盈不足”这种独特算法思想里，包含的模型化思想、化归思想及近似逼近思想，在之后的数学发展中都是有着卓越意义的，特别是对于现代数学教学的研究有着非凡的启迪性作用！

2.3.1盈不足术算法解中小学应用题

《九章算术》第七章“盈不足”中，有20例盈亏类问题，都是用盈不足术算法得出结果，同样，在现代中小学的数学教学中，我们也可以将中国古代数学家的方法运用在解决相关应用题领域的教学中，解决问题的同时，也能通过这古老的算法开拓学生的思维。

比如说以下实例：

鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来足有一百只，鸡兔各几?

根据盈不足术建立解题模型如下:

故，鸡：

22（只），兔:

36－22=14（只）。

此例，为经典案例中盈不足术算法解决盈亏类问题。

2.3.2盈不足术算法解不等式问题的应用

在中学教学中，不等式问题早已不会使用古代的古老算法了，但这并不代表古代算法就退出了历史舞台。

相反的，我们更应该传承并发扬中国古代这一伟大创造，如下便是用“古法”解决当代中学数学教育中不等式问题的实例：

“有若干个同学,住若干间寝室,假如每间寝室里住下4个人,那么还剩余20个人没有寝室去住。

假如说每间寝