经典原创学年北师大版初中数学九年级下册《直角三角形的边角关系》单元检测题及答案Word格式.docx
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A.5mB.2mC.4mD.m
8.如图，在菱形中，，，，则tan∠的值是（）
A．B．2C．D．
9.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A.5B.C.7D.
10.（2015·
哈尔滨中考）如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°
，则飞机A与指挥台B的距离为（）
A.1200mB.1200mC.1200mD.2400m
第10题图
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.（2014·
山东东营中考）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_________米．
12.（2015·
陕西中考）如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为________.（用科学计算器计算，结果精确到0.1°
）
第12题图
13.如图，小兰想测量南塔的高度.她在处仰望塔顶，测得仰角为30°
，再往塔的方向前进
50m至处，测得仰角为60°
，那么塔高约为_________m.（小兰身高忽略不计，）
14.等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________．
15.如图，已知Rt△中，斜边上的高，，则________.
16.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则_．
17.（2015·
江西中考）如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC=BD＝15cm，∠CBD=40°
，则点B到CD的距离为___________cm（参考数据：
sin20°
≈0.342，cos20°
≈0.940，sin40°
≈0.643，cos40°
≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）.
第17题图
18.如图，在四边形中，，，，，则__________.
三、解答题（共66分）
19.（8分）计算下列各题：
（1）；
（2）.
20.（7分）在数学活动课上，九年级
（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：
（1）在大树前的平地上选择一点A，测得由点看大树顶端C的仰角为35°
；
（2）在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°
（3）量出A，B两点间的距离为4.5.
请你根据以上数据求出大树CD的高度.（精确到0.1m）
21.（7分）每年的5月15日是“世界助残日”.某商场门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过，已知此商场门前的人行道距商场门的水平距离为8米（斜坡不能修在人行道上），问此商场能否把台阶换成斜坡?
（参考数据：
）
22.（8分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°
，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°
.已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取≈1.732，结果精确到1m）
23.（8分）已知：
如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为
45°
，沿着坡度为30°
的斜坡前进400米到D处（即
∠，米），测得A的仰角为，求
山的高度AB．
24.（8分）一段路基的横断面是直角梯形，如左下图所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部充分利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图所示的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？
25.（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH＝2CH.
（1）求sinB的值；
（2）如果CD＝，求BE的值.
26.（10分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°
方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°
方向上．
（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）.
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？
≈1.41，≈1.73）
第一章直角三角形的边角关系检测题参考答案
一、选择题
1.C2.C3.Ｃ4.A5.D6.A7.B8.B9.A10.D
二、填空题
11.10解析：
如图，过点A作AC⊥BC,则AC=8米,BC=12-6=6（米）.在Rt△ACB中,根据勾股定理，得AB====10（米）.
12.27.8°
解析：
根据正切的定义可知,
然后使用计算器求出的度数约为27.8°
.
13.43.3解析：
因为，所以所以所以）.
14.15°
或75°
如图，.
在图中，，所以∠∠；
在图中，，所以∠∠.
15.解析：
在Rt△中，∵，∴sinB=，．
在Rt△中，∵，sinB=，∴．
在Rt△中，∵，∴．
16.解析：
设每个小方格的边长为1，利用网格,从点向所在直线作垂线,利用勾股定理得,所以sinA=.
17.14.1解析：
如图，过点B作BE⊥CD于点E，∵BC=BD，根据等腰三角形的“三线合一”性质，得∠CBE=∠CBD=20°
在Rt△BCE中，cos∠CBE=，∴BE=BC·
cos∠CBE≈15×
0.940=14.1（cm）.
第17题答图
18.解析：
如图，延长、交于点，
∵∠，∴．
∵，∴，
∴．∵，
∴．
三、解答题
19.解：
（1）
（2）
20.解：
∵∠90°
∠45°
，∴
∵，∴
则m，
∵∠35°
，
∴tan∠tan35°
整理，得≈10.5.
故大树的高约为10.5
21.解：
因为所以斜坡的坡角小于，
故此商场能把台阶换成斜坡.
22.解：
设，则由题意可知，m．
在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°
＝，
∴，即3x（x＋100），解得x50＋50.
经检验，50＋50是原方程的解．
∴
故该建筑物的高度约为
23.解:
如图，过点D分别作⊥于点，⊥于点，
在Rt△中，∠，米，
所以（米），
（米）.
在Rt△ADE中，∠ADE=60°
，设米，
则（米）.
在矩形DEBF中，BE=DF=200米，
在Rt△ACB中，∠，∴，
即，
∴，∴米．
24.解：
由原题左图可知：
BE⊥DC，m，.
在Rt△BEC中，（m）.
由勾股定理得，m.
在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形的面积＝梯形的面积．
解得＝80（m）.
∴改造后坡面的坡度.
25.分析：
（1）根据已知条件得出∠B＝∠DCB＝∠CAE，可以在Rt△ACH中求出sinB的值.
（2）通过解Rt△ABC求出AC与BC的长，解Rt△ACH求出CE的长，利用BE=BC-CE得到答案.
解：
（1）∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BD,∴∠B＝∠DCB.
∵∠ACB＝90°
，AE⊥CD，
∴∠DCB=∠CAE,∴∠B=∠DCB=∠CAE.
∵AH＝2CH，
∴sinB=sin∠CAE==＝.
（2）∵CD=，∴AB=2.
∴BC=2·
cosB=4，AC=2·
sinB=2,
∴CE=AC·
tan∠CAE=1,
∴BE=BC-CE=3.
点拨：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形.
26.分析：
（1）过点C作CE⊥AB于点E，构造直角三角形.设AE=a海里，通过解直角三角形，用含a的代数式表示出CE，AC.在Rt△BCE中，根据BE=CE，列出方程，求出a，进而求出AC.
（2）判断巡逻船A在沿直线AC去营救船C的途中有无触礁危险，只要求出观测点D到AC的距离，然后与100海里比较即可.因此，过点D作DF⊥AC，构造出Rt△ADF，求出DF，将DF与100海里进行比较.
（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，
设AE=a海里，则BE=AB-AE=100（+1）-a（海里）.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°
∠EAC=60°
∴AC===2a（海里），
CE=AE·
tan60°
=a（海里）.
在Rt△BCE中，BE=CE，
∴100（+1）-a=a，∴a=100（海里）.
∴AC=2a=200（海里）.
在△ACD和△ABC中，∠ACB=180°
-45°
-60°
=75°
=∠ADC,∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，∴=,即=.
∴AD=200（-1）（海里）.
答：
A与C间的距离为200海里，A与D间的距离为200（-1）海里.
（2）如图，过点D作DF⊥AC于点F.
在Rt△ADF中，∠DAF=60°
∴DF=AD·
sin60°
=200（-1）×
=100（3-）≈127>
100.
∴船A沿直线AC航行，前往船C处途中无触礁危险.
（1）解斜三角形的问题时，一般通过作高构造直角三角形求解；
（2）已知两个直角三角形边长的和或边长的差，常通过列方程的方法解直角三角形.
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