新课标高考理科数学二轮复习教师用书第2部分 专题1 第2讲 三角恒等变换与解三角形Word文档下载推荐.docx
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C.2D.3+
[答案] A
4.在△ABC中,若AB=5,AC=3,BC=7,则sinA等于( )
A.-B.
C.-D.
[答案] B
5.在钝角三角形ABC中,已知AB=,AC=1,B=,则△ABC的面积为( )
A. B.C. D.
[答案] C
■扣要点·
查缺补漏·
1.和差公式及辅助角公式
(1)sin(α±
β)=sinαcosβ±
cosαsinβ.
(2)cos(α±
β)=cosαcosβ∓sinαsinβ.如T1.
(3)tan(α±
β)=.
(4)sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=.如T2.
(5)辅助角公式:
asinα+bcosα=sin(α+φ),其中cosφ=,sinφ=.
2.正弦定理和余弦定理
(1)===2R.如T3.
(2)a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC,cosA=,cosB=,cosC=.如T4.
3.三角形的面积公式
(1)S=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高).
(2)S=absinC=bcsinA=casinB.如T5.
(3)S=r(a+b+c)(r为△ABC内切圆的半径).
考点1 三角恒等变换
■高考串讲·
找规律·
[高考解读·
教师授课资源] 三角恒等变换是三角变换的工具,在高考中主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值.可单独考查,也可以与三角函数的性质综合考查.
1.(2019·
全国卷Ⅱ)已知α∈,2sin2α=cos2α+1,则sinα=( )
A. B.
B [由2sin2α=cos2α+1,得4sinαcosα=2cos2α.
∵α∈,∴2sinα=cosα.
又∵sin2α+cos2α=1,
∴sin2α=.
又α∈,∴sinα=.
故选B.]
2.[一题多解](2018·
全国卷Ⅱ)已知tan=,则tanα=________.
[法一:
因为tan=,
所以=,即=,
解得tanα=.
因为tan=,
所以tanα=tan
===.]
3.(2017·
全国卷Ⅰ)已知α∈,tanα=2,则cos=________.
[因为α∈,且tanα==2,所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以sinα=,cosα=,则cos=cosαcos+sinαsin=×
+×
=.]
[教师备选题]
1.(2016·
全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=________.
- [将θ-转化为-.
由题意知sin=,θ是第四象限角,所以cos>0,所以cos==.
tan=tan=-
=-=-=-.]
2.(2018·
江苏高考)已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-.
(1)求cos2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
[解]
(1)因为tanα=,tanα=,
所以sinα=cosα.
因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,
所以cos2α=2cos2α-1=-.
(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).
又因为cos(α+β)=-,
所以sin(α+β)==,
因此tan(α+β)=-2.
因为tanα=,
所以tan2α==-.
因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]
==-.
1.三角函数式的化简要遵循的“三看”原则
(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理拆分,从而正确使用公式;
(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”.
2.求值的基本类型
(1)“给角求值”:
一般给出的角都是非特殊角,从表面上看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角求解;
(2)“给值求值”:
给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数式的值,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系;
(3)“给值求角”:
实质是转化为“给值求值”,先求角的某一三角函数值,再求角的范围,确定角的度数.
■考题变迁·
提素养·
1.(给角求值)=( )
A.- B.-1 C. D.1
D [原式=2×
=2×
=2sin30°
=1.
故选D.]
2.(给值求值)已知cos=,则cosx+cos=( )
A.-1B.1C.D.
B [cosx+cos=cosx+cosxcos+sinxsin=cosx+sinx==cos=×
=1,故选B.]
3.(给值求角)若sin2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是( )
A.B.
C.或D.或
A [因为α∈,所以2α∈,又sin2α=,所以2α∈,α∈,所以cos2α=-.又β∈,所以β-α∈,故cos(β-α)=-,所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2α·
cos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-×
-×
=,又α+β∈,故α+β=,故选A.]
考点2 利用正、余弦定理解三角形
教师授课资源] 高考对该部分内容的考查重点是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用,且常和三角恒等变换相综合,考查形式为边、角、面积的计算.
角度一:
三角形的边、角计算
全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-,则=( )
A.6 B.5 C.4 D.3
切入点:
由asinA-bsinB=4csinC,利用正弦定理得出a,b,c的关系.
A [∵asinA-bsinB=4csinC,
∴由正弦定理得a2-b2=4c2,即a2=4c2+b2.
由余弦定理得cosA====-,∴=6.
故选A.]
2.(2017·
全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=( )
A.B.C.D.
化简sinB+sinA(sinC-cosC)=0.
关键点:
正确运用公式,由条件sinB+sinA(sinC-cosC),求得A的某一三角函数值,进而求A,再求C.
B [因为a=2,c=,
所以由正弦定理可知,=,
故sinA=sinC.
又B=π-(A+C),
故sinB+sinA(sinC-cosC)
=sin(A+C)+sinAsinC-sinAcosC
=sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC
=(sinA+cosA)sinC
=0.
又C为△ABC的内角,
故sinC≠0,
则sinA+cosA=0,即tanA=-1.
又A∈(0,π),所以A=.
从而sinC=sinA=×
=.
由A=知C为锐角,故C=.
角度二:
三角形的面积、周长的计算
3.(2018·
全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=( )
①S△ABC=;
②S△ABC=absinC.
利用上述①②求C的一个三角函数值.
C [因为S△ABC=absinC,所以=absinC.由余弦定理a2+b2-c2=2abcosC,得2abcosC=2absinC,即cosC=sinC,所以tanC=1.又因为C∈(0,π),所以在△ABC中,C=.故选C.]
4.(2018·
全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为________.
①利用正弦定理化简bsinC+csinB=4asinBsinC,求得sinA;
②利用余弦定理及b2+c2-a2=8求△ABC的面积.
[由bsinC+csinB=4asinBsinC,得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,因为sinBsinC≠0,所以sinA=.因为b2+c2-a2=8,cosA=,所以bc=,所以S△ABC=bcsinA=×
×
5.(2017·
全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
①S△ABC==acsinB,然后把边转化为角可求sinBsinC.
②利用①中的结论和6cosBcosC=1求B+C,进而求出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求bc的值,最后利用余弦定理求b+c.
正确利用S△ABC=,求sinBsinC以及利用6cosBcosC=1建立边b和c的关系式.
[解]
(1)由题设得acsinB=,即csinB=.
由正弦定理得sinCsinB=.
故sinBsinC=.
(2)由题设及
(1)得cosBcosC-sinBsinC=-,
即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.
由题设得bcsinA=,a=3,所以bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,
即(b+c)2-3bc=9.由bc=8,得b+c=.
故△ABC的周长为3+.
1.(2017·
全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°
,b=,c=3,则A=________.
75°
[如图,由正弦定理,得=,∴sinB=.
又∵c>
b,∴B=45°
,
∴A=180°
-60°
-45°
=75°
.]
2.[一题多解](2017·
全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+cco