新课标高考理科数学二轮复习教师用书第2部分 专题1 第2讲 三角恒等变换与解三角形Word文档下载推荐.docx

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C．2D．3＋

[答案]　A

4．在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，BC＝7，则sinA等于（　　）

A．－B.

C．－D.

[答案]　B

5．在钝角三角形ABC中，已知AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积为（　　）

A.　　B.C.　　D.

[答案]　C

■扣要点·

查缺补漏·

1．和差公式及辅助角公式

（1）sin（α±

β）＝sinαcosβ±

cosαsinβ.

（2）cos（α±

β）＝cosαcosβ∓sinαsinβ.如T1.

（3）tan（α±

β）＝.

（4）sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝.如T2.

（5）辅助角公式：

asinα＋bcosα＝sin（α＋φ），其中cosφ＝，sinφ＝.

2．正弦定理和余弦定理

（1）＝＝＝2R.如T3.

（2）a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC，cosA＝，cosB＝，cosC＝.如T4.

3．三角形的面积公式

（1）S＝aha＝bhb＝chc（ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高）．

（2）S＝absinC＝bcsinA＝casinB．如T5.

（3）S＝r（a＋b＋c）（r为△ABC内切圆的半径）．

考点1　三角恒等变换

■高考串讲·

找规律·

[高考解读·

教师授课资源]　三角恒等变换是三角变换的工具，在高考中主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值.可单独考查，也可以与三角函数的性质综合考查.

1．（2019·

全国卷Ⅱ）已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝（　　）

A.　　　　　　　　　　B.

B　[由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.

∵α∈，∴2sinα＝cosα.

又∵sin2α＋cos2α＝1，

∴sin2α＝.

又α∈，∴sinα＝.

故选B.]

2．[一题多解]（2018·

全国卷Ⅱ）已知tan＝，则tanα＝________.

　[法一：

因为tan＝，

所以＝，即＝，

解得tanα＝.

因为tan＝，

所以tanα＝tan

＝＝＝.]

3．（2017·

全国卷Ⅰ）已知α∈，tanα＝2，则cos＝________.

　[因为α∈，且tanα＝＝2，所以sinα＝2cosα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝，cosα＝，则cos＝cosαcos＋sinαsin＝×

＋×

＝.]

[教师备选题]

1．（2016·

全国卷Ⅰ）已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.

－　[将θ－转化为－.

由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝.

tan＝tan＝－

＝－＝－＝－.]

2．（2018·

江苏高考）已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α＋β）＝－.

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α－β）的值．

[解]　

（1）因为tanα＝，tanα＝，

所以sinα＝cosα.

因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，

所以cos2α＝2cos2α－1＝－.

（2）因为α，β为锐角，所以α＋β∈（0，π）．　

又因为cos（α＋β）＝－，

所以sin（α＋β）＝＝，

因此tan（α＋β）＝－2.

因为tanα＝，

所以tan2α＝＝－.

因此tan（α－β）＝tan[2α－（α＋β）]

＝＝－.

1．三角函数式的化简要遵循的“三看”原则

（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式；

（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”．

2．求值的基本类型

（1）“给角求值”：

一般给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角求解；

（2）“给值求值”：

给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值，解题关键在于“变角”，使角相同或具有某种关系；

（3）“给值求角”：

实质是转化为“给值求值”，先求角的某一三角函数值，再求角的范围，确定角的度数．

■考题变迁·

提素养·

1．（给角求值）＝（　　）

A．－　　B．－1　　C.　　D．1

D　[原式＝2×

＝2×

＝2sin30°

＝1.

故选D.]

2．（给值求值）已知cos＝，则cosx＋cos＝（　　）

A．－1B．1C.D.

B　[cosx＋cos＝cosx＋cosxcos＋sinxsin＝cosx＋sinx＝＝cos＝×

＝1，故选B.]

3．（给值求角）若sin2α＝，sin（β－α）＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是（　　）

A.B.

C.或D.或

A　[因为α∈，所以2α∈，又sin2α＝，所以2α∈，α∈，所以cos2α＝－.又β∈，所以β－α∈，故cos（β－α）＝－，所以cos（α＋β）＝cos[2α＋（β－α）]＝cos2α·

cos（β－α）－sin2αsin（β－α）＝－×

－×

＝，又α＋β∈，故α＋β＝，故选A.]

考点2　利用正、余弦定理解三角形

教师授课资源]　高考对该部分内容的考查重点是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，且常和三角恒等变换相综合，考查形式为边、角、面积的计算.

角度一：

三角形的边、角计算

全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝（　　）

A．6　　　B．5　　　　C．4　　　D．3

切入点：

由asinA－bsinB＝4csinC，利用正弦定理得出a，b，c的关系．

A　[∵asinA－bsinB＝4csinC，

∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.

由余弦定理得cosA＝＝＝＝－，∴＝6.

故选A.]

2．（2017·

全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA（sinC－cosC）＝0，a＝2，c＝，则C＝（　　）

A.B.C.D.

化简sinB＋sinA（sinC－cosC）＝0.

关键点：

正确运用公式，由条件sinB＋sinA（sinC－cosC），求得A的某一三角函数值，进而求A，再求C.

B　[因为a＝2，c＝，

所以由正弦定理可知，＝，

故sinA＝sinC.

又B＝π－（A＋C），

故sinB＋sinA（sinC－cosC）

＝sin（A＋C）＋sinAsinC－sinAcosC

＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC

＝（sinA＋cosA）sinC

＝0.

又C为△ABC的内角，

故sinC≠0，

则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.

又A∈（0，π），所以A＝.

从而sinC＝sinA＝×

＝.

由A＝知C为锐角，故C＝.

角度二：

三角形的面积、周长的计算

3．（2018·

全国卷Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝（　　）

①S△ABC＝；

②S△ABC＝absinC.

利用上述①②求C的一个三角函数值．

C　[因为S△ABC＝absinC，所以＝absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC，所以tanC＝1.又因为C∈（0，π），所以在△ABC中，C＝.故选C.]

4．（2018·

全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．

①利用正弦定理化简bsinC＋csinB＝4asinBsinC，求得sinA；

②利用余弦定理及b2＋c2－a2＝8求△ABC的面积．

　[由bsinC＋csinB＝4asinBsinC，得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，因为sinBsinC≠0，所以sinA＝.因为b2＋c2－a2＝8，cosA＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsinA＝×

×

5．（2017·

全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.

（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．

①S△ABC＝＝acsinB，然后把边转化为角可求sinBsinC.

②利用①中的结论和6cosBcosC＝1求B＋C，进而求出A，然后利用三角形的面积公式和a的值求bc的值，最后利用余弦定理求b＋c.

正确利用S△ABC＝，求sinBsinC以及利用6cosBcosC＝1建立边b和c的关系式．

[解]　

（1）由题设得acsinB＝，即csinB＝.

由正弦定理得sinCsinB＝.

故sinBsinC＝.

（2）由题设及

（1）得cosBcosC－sinBsinC＝－，

即cos（B＋C）＝－.所以B＋C＝，故A＝.

由题设得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8.

由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，

即（b＋c）2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.

故△ABC的周长为3＋.

1．（2017·

全国卷Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°

，b＝，c＝3，则A＝________.

75°

　[如图，由正弦定理，得＝，∴sinB＝.

又∵c>

b，∴B＝45°

，

∴A＝180°

－60°

－45°

＝75°

.]

2．[一题多解]（2017·

全国卷Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋cco