专题15 平面向量概念及线性运算平面向量基本定理高考数学理考点分析与突破性讲练解析版Word文档格式.docx

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1.证明向量共线：

对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线.

2.证明三点共线：

若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线.

3.求参数的值：

利用共线向量定理及向量相等的条件列方程组，求参数的值.

三、高考考题题例分析：

例1.（2015·

全国卷Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则（　　）

A．＝－＋B．＝－

C．＝＋D．＝－

【答案】A

【解析】：

（1）＝＋＝＋＝＋（－）＝－＝－＋.故选A．

例2.（2015高考新课标1）设为所在平面内一点，则（）

（A）（B）

（C）（D）

【答案】A

由题知=，故选A.

例3.（2015湖南）已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B.

例4.（2015高考北京）在中，点，满足，．若，

则；

．

【答案】

【解析】:

特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.学科*网

例5.（2015江苏高考）已知向量a=，b=,若ma+nb=（）,则的值为______.

由题意得：

例6．（2015高考新课标2）设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．

因为向量与平行，所以，则所以

例7.（2018全国卷I）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（　　）

A．﹣B．﹣

C．+D．+

【答案】A．

例8.（2018全国卷III）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=　　．

例9.（2018天津卷）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°

，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（　　）

A．B．C．D．3

如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，

以DC所在的直线为y轴，

过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°

，AB=AD=1，

∴AN=ABcos60°

=，BN=ABsin60°

=，

∴DN=1+=，

∴BM=，

∴CM=MBtan30°

∴DC=DM+MC=，

∴A（1，0），B（，），C（0，），

平面向量概念及线性运算练习

一、选择题：

1．D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（　　）

A．－＋B．－－

C．－D．＋

如图，

＝＋＝＋

＝－＋.

2．给出下列命题：

①零向量的长度为零，方向是任意的；

②若a，b都是单位向量，则a＝b；

③向量与相等．则所有正确命题的序号是（　　）

A．①　　　　　　　　B．③

C．①③D．①②

3.设a0为单位向量，下述命题中：

①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；

②若a与a0平行，则a＝|a|a0；

③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.

假命题的个数是（　　）

A．0　　　　B．1C．2　　　　D．3

【答案】D　

向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；

若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：

一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

4.设a是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是（　　）A．a与－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|

C．a与λ2a的方向相同D．|－λa|≥|λ|a

【答案】C

　【解析】：

A中，当λ＜0时，a与－λa方向相同，故A不正确；

B中，当－1＜λ＜1时，|－λa|＜|a|，故B不正确；

C中，因为λ2＞0，所以a与λ2a方向相同，故C正确；

D中，向量不能比较大小，故D不正确，故选C．

5.给出下列四个命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中正确命题的序号是（　　）

A．②③　　B．①②C．③④D．②④

【答案】A　

③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，

又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，

∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．

综上所述，正确命题的序号是②③.故选A．

6．已知＝3，＝a，＝b，＝c，则下列等式中成立的是（　　）

A．c＝b－a

B．c＝2b－a

C．c＝2a－b

D．c＝a－b

因为＝3，＝a，＝b，所以＝＋＝＋＝＋（－）＝－＝b－a，故选A．学科*网

7.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于（　　）

A．B．2

C．3D．4

【答案】D　

因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4.

8．（2017·

全国卷Ⅱ）设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则（　　）

A．a⊥bB．|a|＝|b|

C．a∥bD．|a|＞|b|

9．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ（λ，μ为实数），则λ2＋μ2＝（　　）

A．　　　　B．C．1　　　　D．

＝＋＝＋＝＋（＋）＝－，所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A．

10．在△ABC中，＝，若P是直线BN上的一点，且满足＝m＋，则实数m的值为（　　）

A．－4B．－1

C．1D．4

【答案】B

11.已知向量i，j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n应满足的条件是（　　）

A．m＋n＝1B．m＋n＝－1

C．mn＝1D．mn＝－1

【答案】C　

因为A，B，D三点共线，所以∥，存在非零实数λ，使得＝λ，即i＋mj＝λ（ni＋j），所以（1－λn）i＋（m－λ）j＝0，又因为i与j不共线，

所以

则mn＝1，故选C．

12．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为（　　）

A．3　　B．4

C．5　　　　D．6

【答案】B　

如图，∵D为AB的中点，则＝（＋），又＋＋2＝0，

∴＝－，∴O为CD的中点，

又∵D为AB中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4.

二、填空题

13．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________．

【答案】平行四边形　

由＋＝＋得－＝－，

所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．

14．（2015·

全国卷Ⅱ）设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.

【答案】　

∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t（a＋2b），

即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得

15．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；

y＝________.

【答案】　－　

16．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°

，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

因为AB＝2，∠ABC＝60°

，AH⊥BC，所以BH＝1.因为BC＝3，所以BH＝BC．

因为点M为AH的中点，所以＝＝（＋）＝＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.

三、解答题

17．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.

【答案】a＋b；

＝a＋b.

18．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.

（1）求证：

A，B，D三点共线；

（2）若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．

【解析】　

（1）证明：

由已知得＝－＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2，

∵＝2e1－8e2，∴＝2.

又∵与有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

（2）由

（1）可知＝e1－4e2，

∵＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，

∴＝λ（λ∈R），

即3e1－ke2＝λe1－4λe2，

即解得k＝12.学科*网

19．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n（m，n∈R）.

（1）若m＋n＝1，求证：

A，P，B三点共线；

（2）若A，P，B三点共线，求证：

m＋n＝1.

【解析】[证明]　

（1）若m＋n＝1，

则＝m＋（1－m）

＝＋m（－），

∴－＝m（－），

即＝m，∴与共线．

∴A，P，B三点共线．