胡不归问题专题Word文档格式.doc

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次数

1

课题

胡不归问题专题

一．选择题（共2小题）

1．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是　　s．

2．如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（　　）

A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）

二．填空题（共1小题）

3．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过　　小时可到达居民点B．（友情提醒：

消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）

三．解答题（共5小题）

4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为　　；

（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有　　个；

②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°

，求t的取值范围．

5．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°

，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

（1）试说明CE是⊙O的切线；

（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；

（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

6．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．

（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

（3）在

（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

7．

（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；

（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为　　，PD﹣的最大值为　　．

（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°

，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为　　，PD﹣的最大值为　　．

8．如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若=，求m的值；

（3）如图2，在

（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°

＜α＜90°

），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．

2018年05月25日187****4779的初中数学组卷

参考答案与试题解析

1．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是　　s．

【分析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到tan∠HED=tan∠EBA==，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，利用两点之间线段最短得到AD+DH的最小值为AQ的长，接着求出A点和B点坐标，再利用待定系数法求出BE的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定E点坐标，从而得到AQ的长，然后计算爬行的时间．

【解答】解：

过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，

∵EH∥AB，

∴∠HEB=∠ABE，

∴tan∠HED=tan∠EBA==，

设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，

∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4（s）

若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间==4（s），

∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，

∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，

作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，

∴AD+DH的最小值为AQ的长，

当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），

直线BE交y轴于C点，如图，

在Rt△OBC中，∵tan∠CBO==，

∴OC=4，则C（0，4），

设直线BE的解析式为y=kx+b，

把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，

∴直线BE的解析式为y=﹣x+4，

解方程组得或，则E点坐标为（﹣，），

∴AQ=，

∴蚂蚁从A爬到G点的时间==（s），

即蚂蚁从A到E的最短时间为s．

故答案为．

【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点：

把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是确定蚂蚁在DH和DE上爬行的时间相等．

【分析】假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，首先表示出总的时间，再根据根的判别式求出t的取值范围，进而求出D的坐标．

假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，

设D坐标为（0，y），则AD=2﹣y，CD==，

∴设t=+，

等式变形为：

t+y﹣=，则t的最小值时考虑y的取值即可，

∴t2+（y﹣）t+（y﹣）2=y2+1，

∴y2+（﹣t）y﹣t2+t+1=0，

△=（﹣t）2﹣4×

（﹣t2+t+1）≥0，

∴t的最小值为，

∴y=，

∴点D的坐标为（0，），

故选D．

解法二：

假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，

总时间t=+=（+CD），要使t最小，就要+CD最小，

因为AB=AC=3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以==3，所以=DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD=CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以=，即=，所以OD=，

所以点D的坐标应为（0，）．

【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大．

3．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过　　小时可到达居民点B．（友情提醒：

【分析】要求所用行车时间最短，就要计算好行驶的路线，可以设在公路上行驶x千米，根据题意，找出可以运用勾股定理的直角三角形，运用勾股定理求解．

如图所示，公路上行驶的路线是AD，草地上行驶的路线是DB，设AD的路程为x千米，

由已知条件AB=10千米，BC=5千米，BC⊥AC，知

AC==15千米．

则CD=AC﹣AD=（15﹣x）千米，

BD==km，

设走的行驶时间为y，则

y=+．

整理为关于x的一元二次方程得

3x2+（160y﹣120）x﹣6400y2+1200=0．

因为x必定存在，所以△≥0．即

（160y﹣120）2﹣4×

3×

（1200﹣6400y2）≥0．

化简得102400y2﹣38400y≥0．

解得y≥，

即消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．

故答案为：

．

【点评】本题考查的是在直角三角形中勾股定理的运用，画出图形构建直角三角形是关键，根据一元二次不等式的求解，可以计算出解的最小值，以便求出最短路程．

（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为　　；

①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有　5　个；

【分析】

（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．

（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．

（3）①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．

②作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°

，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60°

，从而线段FG上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题．

（1）由题意解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，

∵y=x2﹣x﹣=（x﹣）2﹣，

∴顶点坐标（，﹣）．

（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，

此时PB+PD最小．

理由：

∵OA=1，OB=，

∴tan∠ABO==，